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摘 要：当翻阅历年全国各省的高考试卷，我们会发现与不等式有关的题目比重依然相当大。不等式与高中数学所有章节的知识都有着千丝万缕的关系，因此它们结合形成的综合题，经常在不少试卷中，被列入了压轴的位置，让许多考生望而生畏，束手无策。本文着重阐述构造函数在求解和证明某些不等式的重要作用，以求为考生拓宽思维和提高解题能力提供帮助。
关键词：不等式证明；构造；辅助函数
第一章 引言
不等式是中学数学的基础和重要内容，高考题中，不仅考查不等式的基本性质、基本方法，而且还考查学生分析问题、解决问题的能力。由于不等式与函数、数列、导数等内容都有着十分密切的联系，因此它们所结合形成的综合题，在高考试题和各种数学竞赛试题中屡见不鲜。
证明不等式的方法灵活多变，技巧层出不穷。在高中数学教材中，简要地介绍了比较法、综合法、分析法，而在其他文章中还涉及到了常考常用方法，如换元法、判别式法、反证法、放缩法、构造法等。其中，如何更有效、更科学、更精确地构造辅助函数是使不等式得证的关键。
第二章 函数性质的相关理论与结论
2.1 函数的单调性
设函数 在定义区间 上连续且可导，则①如果在定义区间 内 ，那么函数 在 上单调递增；②如果在定义区间 内 ，那么函数 在 上单调递减。
相应地，根据函数单调性证明不等式，可以得到如下结论。
设 在定义区间 上可导，且满足如下条件：① 时，则有 ；② 时，则有 .
2.2函数的凹凸性
2.2.1定义
已知函数 ，若对定义区间 内任意两个值 和 ，均有
（或 ），当且仅当 时等号成立，则称函数 在区间 内为凸函数（或凹函数）.
2.2.2推论
在初等数学中，基本初等函数的凹凸性可以通过观察函数图像得到。若函数在定义域上具有二阶导数，则可以通过判断二阶导数的符号得到函数凹凸性，我们可以由如下结论得出：
设函数 在定义区间 上连续，在 内具有一阶和二阶可导，则①如果在 内恒有 ，那么函数 在 上为凹函数；②如果在 内恒有 ，那么函数 在 上为凸函数。
利用以上几个结论，下面我将利用函数的单调性，函数的奇偶性、函数凹凸性证明不等式，来谈谈不等式证明的函数应用。
第三章 例析函数在不等式证明中的应用
3.1利用函数的单调性证明不等式，指点迷津
作差法和作商法是最常用的两种构造辅助函数的方法，也是比较容易被学生接纳和采用的方法。作差法，就其步骤而言，是首先移向作差，构造新的函数，再通过导数法，利用函数的单调性证明结论。
例1.设函数 ，求证：对任意x 0，a ，都有 .
证明：构造函数 .
因为 = = ，
所以 = = + = + ，
易知 ，由已知 得 ，
即函数 在 上单调递增.
又因为 ，所以当 时， ，即 .
上一题通过作差法构造了新的函数，再根据导数法使不等式获证。在证明不等式时，学生比较容易掌握作差法构造新函数，但是在证明某些不等式倘若采用作差法构造新函数，紧接着的证明过程就会难以进行下去。因此，我们不妨考虑采用作商法来构造新的函数。
作差法和作商法是两种最普遍的构造辅助函数的方法，从它们的形式上来看，就是将要证的不等式形式为 > ，通过恒等式变形为固定模式： >0或者 >1。将比较两个函数转化为只需研究一个函数与常数0或1比较大小，为不等式的证明带来了不少便利。但是在辅助函数的构造方法，由于题型的特点和差异，也应做到有所创新。
3.2利用函数的奇偶性证明不等式，妙手偶得
函数的奇偶性是对函数图像对称性的诠释。首先，它要求函数的定义域关于原点对称，其次，它的生成取决于函数的单调性。尤为一提的是，偶函数，由于单调性的作用，突现出了函数最高点或最低点，也能得到函数的最大值和最小值。因此，函数的奇偶性为不等式的证明也提供了别样的作用。下面给出两道利用函数的奇偶性证明不等式的例题，加以分析。
例2 求证： （x 0）.
分析：一般的，遇到此类题目，按照常规思维可以构造出辅助函数 ，然后对x进行分类讨论来解题。要证 ，只需证 ，当x>0时，容易得到 .再由函数为偶函数这一结论，该不等式获证。
证明：构造辅助函数 ，当x>0时， ，所以易得 .
x 0，该函数的定义域关于原点对称，且 = =
= = = ，即 在其定义域上为偶函数.
所以当x<0时，同理可得 ，综上可得x 0时， .
例9 求证：当 时， .
分析：构造函数 ，不难证得 ，即 且 时，函数为奇函数. 要证 时， ，只需证 时， .当 时， 且 ，所以 得证.由于函数是奇函数，得当 时， .
3.3利用函数凹凸性证明不等式，迎刃而解
例3. 在△ABC中，求证： .
分析：由题意得，∠A、∠B、∠C为△ABC的内角，
所以A，B，C ， .令 ， 在 上存在二阶导数，且 函数 在 上为凹函数。由函数凹凸性的推论得： ，
代入得， = = ，
即
利用函数的凹凸性证明不等式，尤为关键的是要根据不等式的特征，寻找一个适当的函数。利用函数凹凸性证明不等式的方法具有一定的局限性，但是，它也是解决此类题目无与伦比的方法，学会了该方法，就可达到触类旁通的效果。
第四章 结 语
本文以分析例题的形式论述了函数在不等式证明中广泛的应用。在构造法等证明方法中，可以依据不等式的结构构造出函数模型，并适当地利用初等函数的性质证明不等式。由函数的单调性、最值、奇偶性、凹凸性等组成的函数性质，在不等式证明中发挥了各式各样的作用。掌握了函数思想，解决不等式证明问题就游刃有余了。
关键词：不等式证明；构造；辅助函数
第一章 引言
不等式是中学数学的基础和重要内容，高考题中，不仅考查不等式的基本性质、基本方法，而且还考查学生分析问题、解决问题的能力。由于不等式与函数、数列、导数等内容都有着十分密切的联系，因此它们所结合形成的综合题，在高考试题和各种数学竞赛试题中屡见不鲜。
证明不等式的方法灵活多变，技巧层出不穷。在高中数学教材中，简要地介绍了比较法、综合法、分析法，而在其他文章中还涉及到了常考常用方法，如换元法、判别式法、反证法、放缩法、构造法等。其中，如何更有效、更科学、更精确地构造辅助函数是使不等式得证的关键。
第二章 函数性质的相关理论与结论
2.1 函数的单调性
设函数 在定义区间 上连续且可导，则①如果在定义区间 内 ，那么函数 在 上单调递增；②如果在定义区间 内 ，那么函数 在 上单调递减。
相应地，根据函数单调性证明不等式，可以得到如下结论。
设 在定义区间 上可导，且满足如下条件：① 时，则有 ；② 时，则有 .
2.2函数的凹凸性
2.2.1定义
已知函数 ，若对定义区间 内任意两个值 和 ，均有
（或 ），当且仅当 时等号成立，则称函数 在区间 内为凸函数（或凹函数）.
2.2.2推论
在初等数学中，基本初等函数的凹凸性可以通过观察函数图像得到。若函数在定义域上具有二阶导数，则可以通过判断二阶导数的符号得到函数凹凸性，我们可以由如下结论得出：
设函数 在定义区间 上连续，在 内具有一阶和二阶可导，则①如果在 内恒有 ，那么函数 在 上为凹函数；②如果在 内恒有 ，那么函数 在 上为凸函数。
利用以上几个结论，下面我将利用函数的单调性，函数的奇偶性、函数凹凸性证明不等式，来谈谈不等式证明的函数应用。
第三章 例析函数在不等式证明中的应用
3.1利用函数的单调性证明不等式，指点迷津
作差法和作商法是最常用的两种构造辅助函数的方法，也是比较容易被学生接纳和采用的方法。作差法，就其步骤而言，是首先移向作差，构造新的函数，再通过导数法，利用函数的单调性证明结论。
例1.设函数 ，求证：对任意x 0，a ，都有 .
证明：构造函数 .
因为 = = ，
所以 = = + = + ，
易知 ，由已知 得 ，
即函数 在 上单调递增.
又因为 ，所以当 时， ，即 .
上一题通过作差法构造了新的函数，再根据导数法使不等式获证。在证明不等式时，学生比较容易掌握作差法构造新函数，但是在证明某些不等式倘若采用作差法构造新函数，紧接着的证明过程就会难以进行下去。因此，我们不妨考虑采用作商法来构造新的函数。
作差法和作商法是两种最普遍的构造辅助函数的方法，从它们的形式上来看，就是将要证的不等式形式为 > ，通过恒等式变形为固定模式： >0或者 >1。将比较两个函数转化为只需研究一个函数与常数0或1比较大小，为不等式的证明带来了不少便利。但是在辅助函数的构造方法，由于题型的特点和差异，也应做到有所创新。
3.2利用函数的奇偶性证明不等式，妙手偶得
函数的奇偶性是对函数图像对称性的诠释。首先，它要求函数的定义域关于原点对称，其次，它的生成取决于函数的单调性。尤为一提的是，偶函数，由于单调性的作用，突现出了函数最高点或最低点，也能得到函数的最大值和最小值。因此，函数的奇偶性为不等式的证明也提供了别样的作用。下面给出两道利用函数的奇偶性证明不等式的例题，加以分析。
例2 求证： （x 0）.
分析：一般的，遇到此类题目，按照常规思维可以构造出辅助函数 ，然后对x进行分类讨论来解题。要证 ，只需证 ，当x>0时，容易得到 .再由函数为偶函数这一结论，该不等式获证。
证明：构造辅助函数 ，当x>0时， ，所以易得 .
x 0，该函数的定义域关于原点对称，且 = =
= = = ，即 在其定义域上为偶函数.
所以当x<0时，同理可得 ，综上可得x 0时， .
例9 求证：当 时， .
分析：构造函数 ，不难证得 ，即 且 时，函数为奇函数. 要证 时， ，只需证 时， .当 时， 且 ，所以 得证.由于函数是奇函数，得当 时， .
3.3利用函数凹凸性证明不等式，迎刃而解
例3. 在△ABC中，求证： .
分析：由题意得，∠A、∠B、∠C为△ABC的内角，
所以A，B，C ， .令 ， 在 上存在二阶导数，且 函数 在 上为凹函数。由函数凹凸性的推论得： ，
代入得， = = ，
即
利用函数的凹凸性证明不等式，尤为关键的是要根据不等式的特征，寻找一个适当的函数。利用函数凹凸性证明不等式的方法具有一定的局限性，但是，它也是解决此类题目无与伦比的方法，学会了该方法，就可达到触类旁通的效果。
第四章 结 语
本文以分析例题的形式论述了函数在不等式证明中广泛的应用。在构造法等证明方法中，可以依据不等式的结构构造出函数模型，并适当地利用初等函数的性质证明不等式。由函数的单调性、最值、奇偶性、凹凸性等组成的函数性质，在不等式证明中发挥了各式各样的作用。掌握了函数思想，解决不等式证明问题就游刃有余了。