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我们所使用的数学教材中的很多几何题都是由基本元素（基本题或基本图形（特别是例题！））组合而成的，许多题都是相互关联的。只要我们将一些基本题进行简单的“改头换面”，就可以组成一个“崭新”的数学题。现举例说明如下。
数学教材中有这样一个证明题：
如图，⊙O1与⊙O2内切于T，直线AB、CD都经过点T
交⊙O1于A、C，交⊙O2于B、D 。
求证：AC∥BD.
证明：过TA作公切线TM，
∠3是弦切角，∠1=∠3=∠2
∴AC∥BD
这个证明题是很简单的，可以说是“基本题”。正是这种“简单”，正是这种“基本”，才给我们留下了太多的思考。
下面，我们就来看看它的几种“简单”的变换：
变式1 原“题设” （⊙01与⊙02内切于T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C交⊙O2于B、D）不变，把结论变成：“求证：TA： TB = TC：TD。”
变式2如图2，原题设（⊙01与⊙O2内切于T，直线AB、TD
都经过点T交⊙O1于A、O2 ，交⊙O2于B、D）不变，
增加条件“TD是大圆O2的直径，且点O2在小⊙O1上”，
结论改成“求证：点A是TB的中点”。
变式3在“变式2”中，题设（⊙01与⊙O2内切于T，
直线AB、TD都经过点T交⊙O1于A、O2 ，交⊙O2于B、D，TD
是大圆O2的直径，且点O2在小⊙O1上）不变，二把结论变成“求证：弓形TmB和弓形TnA的面积之比为4 ：1”。
上面三个题的证明是很简单的。它们都是在上题题设不变的情况下，改变“结论”而得到的。
事实上，教材中有很多这样的题。只要将这些基本题稍加改变就可以达到训练学生的目的。如下面一组题就是改变原题的“条件”而得到一组题：
变式4如图3，⊙O1与⊙O2内切于T，TD是
大⊙O2的直径，圆心O2在小⊙O1上，过O2作大
⊙O2的半径O2F交小⊙O1与E，交大⊙O2于F。
求证：劣弧TE和劣弧TF的长相等。
变式5如图4，在原题中，题设（⊙01与⊙02内切于
T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C，交⊙O2于
B、D ）不变，再增加条件“设BD切小圆O1与F，TF是
小圆的直径，且大圆和小圆的半径分别为R和r ”。结论
改为“求证： BF2BT2〗= R-rR”
略证：连结O1A、O2B
有平行线的性质定理切割线定理即可证明。
变式6如图4，原题设（⊙01与⊙02内切于T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C，交⊙O2于B、D交⊙O2于B、D）不变，增加条件“ BD切小圆O1与F，TF是小圆的直径”，结论改为：“求证，则BF ：FD=BT ： TD”。
变式7在“变式5”题设下，结论则变为“求证：
（1） ∠BTF=∠DTF⑵ S△ABF DEF= sin∠D sin∠B”
略证： 由切线的性质、弦切角定理和三角形全等即可证明。
变式8 如图，⊙O1与⊙O2内切于T，直线TB交⊙O1于A、
交⊙O2于B，⊙O2的直径TD⊥BC，圆心O2在⊙O1上。结
论则变为“求证： TA AB 〗= TB2DB2〗”
略证：由题意易知，⊿TO2A、⊿TO2B、⊿TDB是直角三角形
由平行线性质定理和切割线性质定理即可证明。
变式9 在原题中，如果AC是小⊙O1的直径，过A作
小⊙O1的切线交BD于G，交⊙O2于M、N。结论则改
为“M A·A N =AC·BG”
略证：由Rt⊿TAC∽Rt⊿GBA 和
AC⊥MNBD⊥MN 即可证明
以上的变换，都是在“两圆内切”的前提下，只让大圆
的两条弦TD、TB的相对位置发生变化或改变题设或改变结论
的的前提下得到的一组学生练习题。如果让两圆变“内切”为
“外切”或变“相切”为“相交”，那么，又可以得到一组题：
变式10 如图，⊙O1 与⊙O2内切于T，直线AD、BC交
⊙O1 、⊙O2于A、D、B、C.连结AB、DC.
求证：AB∥CD
略證：过T作公切线，由弦切角定理即可得证。
变式11：如图8，在变式10中，题设不变，只
把“结论”改为 “求证：AT：TD=BT：CT
略证：由⊿ABT∽⊿DCT即可得证。
变式12，如图9，⊙O1 与⊙O2相交于E、F，过E、F
的直线交⊙O1 、⊙O2于A、C、B、D.连结AB、CD.
求证：AB∥CD
如果在两圆的相对位置发生变化的同时使两条
弦”TA、TB“的位置也发生变化，那么，又可以变换出几组不同的练习题。在此就不赘述了。
如果我们在教学中，认真研究教材，注意挖掘教材潜力，注意教材中例题、习题、练习题之间的相互联系，注意对这些习题进行开发，把课本用好用活，对于减轻学生负担、开发学生智力、培养学生能力，提高教学质量都会起到积极的作用。
数学教材中有这样一个证明题：
如图，⊙O1与⊙O2内切于T，直线AB、CD都经过点T
交⊙O1于A、C，交⊙O2于B、D 。
求证：AC∥BD.
证明：过TA作公切线TM，
∠3是弦切角，∠1=∠3=∠2
∴AC∥BD
这个证明题是很简单的，可以说是“基本题”。正是这种“简单”，正是这种“基本”，才给我们留下了太多的思考。
下面，我们就来看看它的几种“简单”的变换：
变式1 原“题设” （⊙01与⊙02内切于T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C交⊙O2于B、D）不变，把结论变成：“求证：TA： TB = TC：TD。”
变式2如图2，原题设（⊙01与⊙O2内切于T，直线AB、TD
都经过点T交⊙O1于A、O2 ，交⊙O2于B、D）不变，
增加条件“TD是大圆O2的直径，且点O2在小⊙O1上”，
结论改成“求证：点A是TB的中点”。
变式3在“变式2”中，题设（⊙01与⊙O2内切于T，
直线AB、TD都经过点T交⊙O1于A、O2 ，交⊙O2于B、D，TD
是大圆O2的直径，且点O2在小⊙O1上）不变，二把结论变成“求证：弓形TmB和弓形TnA的面积之比为4 ：1”。
上面三个题的证明是很简单的。它们都是在上题题设不变的情况下，改变“结论”而得到的。
事实上，教材中有很多这样的题。只要将这些基本题稍加改变就可以达到训练学生的目的。如下面一组题就是改变原题的“条件”而得到一组题：
变式4如图3，⊙O1与⊙O2内切于T，TD是
大⊙O2的直径，圆心O2在小⊙O1上，过O2作大
⊙O2的半径O2F交小⊙O1与E，交大⊙O2于F。
求证：劣弧TE和劣弧TF的长相等。
变式5如图4，在原题中，题设（⊙01与⊙02内切于
T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C，交⊙O2于
B、D ）不变，再增加条件“设BD切小圆O1与F，TF是
小圆的直径，且大圆和小圆的半径分别为R和r ”。结论
改为“求证： BF2BT2〗= R-rR”
略证：连结O1A、O2B
有平行线的性质定理切割线定理即可证明。
变式6如图4，原题设（⊙01与⊙02内切于T，直线AB、CD都经过点T交⊙O1于A、C，交⊙O2于B、D交⊙O2于B、D）不变，增加条件“ BD切小圆O1与F，TF是小圆的直径”，结论改为：“求证，则BF ：FD=BT ： TD”。
变式7在“变式5”题设下，结论则变为“求证：
（1） ∠BTF=∠DTF⑵ S△ABF DEF= sin∠D sin∠B”
略证： 由切线的性质、弦切角定理和三角形全等即可证明。
变式8 如图，⊙O1与⊙O2内切于T，直线TB交⊙O1于A、
交⊙O2于B，⊙O2的直径TD⊥BC，圆心O2在⊙O1上。结
论则变为“求证： TA AB 〗= TB2DB2〗”
略证：由题意易知，⊿TO2A、⊿TO2B、⊿TDB是直角三角形
由平行线性质定理和切割线性质定理即可证明。
变式9 在原题中，如果AC是小⊙O1的直径，过A作
小⊙O1的切线交BD于G，交⊙O2于M、N。结论则改
为“M A·A N =AC·BG”
略证：由Rt⊿TAC∽Rt⊿GBA 和
AC⊥MNBD⊥MN 即可证明
以上的变换，都是在“两圆内切”的前提下，只让大圆
的两条弦TD、TB的相对位置发生变化或改变题设或改变结论
的的前提下得到的一组学生练习题。如果让两圆变“内切”为
“外切”或变“相切”为“相交”，那么，又可以得到一组题：
变式10 如图，⊙O1 与⊙O2内切于T，直线AD、BC交
⊙O1 、⊙O2于A、D、B、C.连结AB、DC.
求证：AB∥CD
略證：过T作公切线，由弦切角定理即可得证。
变式11：如图8，在变式10中，题设不变，只
把“结论”改为 “求证：AT：TD=BT：CT
略证：由⊿ABT∽⊿DCT即可得证。
变式12，如图9，⊙O1 与⊙O2相交于E、F，过E、F
的直线交⊙O1 、⊙O2于A、C、B、D.连结AB、CD.
求证：AB∥CD
如果在两圆的相对位置发生变化的同时使两条
弦”TA、TB“的位置也发生变化，那么，又可以变换出几组不同的练习题。在此就不赘述了。
如果我们在教学中，认真研究教材，注意挖掘教材潜力，注意教材中例题、习题、练习题之间的相互联系，注意对这些习题进行开发，把课本用好用活，对于减轻学生负担、开发学生智力、培养学生能力，提高教学质量都会起到积极的作用。