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文章分为两个部分。第一部分（第一章到第五章）主要研究分关于两维不可压欧拉方程的自由边值问题。 不可压欧拉方程的自由边值问题一直是流体方程里面一个重要的研究方向，在近几十年来有着非常活跃的研究，涌现出不少成果。特别是以调和分析为主要工具去研究欧拉方程的自由边值问题的解的存在唯一性、奇性、全局解和爆破准则等核心数学问题上，人们已经取得了非常多的进展。然而当初始涡度非0时，系统本身的相互作用关系变得非常复杂。例如:尽管二维欧拉方程在固定边界区域内有全局解，但二维欧拉方程的自由边值问题，当初始涡度非0时，全局解的存在性依然是一个未解决的难题。本文以调和分析和复分析为工具，在全纯坐标框架下，研究了二维欧拉方程的自由边值问题，当初始涡度非0时，在低正则Sobolev空间中的局部适定性和爆破准则。此外，文章研究飞溅奇性（曲面自交）的产生，构造了一类会产生飞溅奇性的光滑初值。 在第一章中，作者主要回顾不可压欧拉方程的自由边值问题的发展历史，并阐述了本文的主要结果。第二章，给出了本文定理证明的主要思路，并列举和证明了与欧拉方程的自由边值问题相关的一些调和分析结论。第三章，证明了本文的第一个主要结论:Beale-Kato-Majda型的爆破准则（定理1.2），即，当速度场是一个Lipschtiz向量场，自由边界满足C3/2正则性和不自交条件，并且Taylor符号条件满足的情况下，方程的解还能延拓一段时间。第四章，证明了本文第二个主要结论:自由边值欧拉方程在低正则Sobolev空间中的局部适定性（定理1.1），区别于[28，29]的结果，本文不再对初始速度场加涡度为0的条件。在第五章中，作者构造了一类光滑初值，并证明了在有限时间内会出现飞溅奇性。 在第二部分（第六章）作者列举了博士期间有关基础调和分析的一些研究结果。这一部分主要研究了双线性算子的积分限制。对于一个核为K(x，y)的线性积分算子Tf(x)=∫R K(x，y)f(y) dy，满足‖T f‖Lp≤C‖f‖Lq，则该算子在可测子集Ω上的积分限制算子TΩf(x)=∫Ω K(x，y)f(y)dy，依然保持‖TΩf‖Lp≤C‖f‖Lq。而这一性质对于双线性算子是并不全然成立。事实上，我们证明了当(s，p1，p2)满足1/p1+1/p2≥2/min{1,s}时，对于任意开集Ω，TΩ依然保持原双线性算子T所具备的Lp1×Lp2→Ls有界性。而对于特殊的Ω我们证明了(s，p1，p2)所满足的条件可以减弱到1/p1+1/p2＞1/min{1,s}。