【摘 要】
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算子型奇异微分方程初边值问题具有广泛的数学以及物理应用背景,现在已经引起了人们的广泛关注,近年来在这方面的研究非常多,已经取得了很大程度的发展.这类初边值问题,主要来源于应用数学的各个领域和物理学中的模型,具有重要的理论和应用价值,受到了许多中外学者的广泛关注,尤其是p-Laplacian型的奇异型微分方程,是近年来非常活跃的微分方程理论的一个重要分支,当p=2,即φp（x）=x时,目前在不同条件
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算子型奇异微分方程初边值问题具有广泛的数学以及物理应用背景,现在已经引起了人们的广泛关注,近年来在这方面的研究非常多,已经取得了很大程度的发展.这类初边值问题,主要来源于应用数学的各个领域和物理学中的模型,具有重要的理论和应用价值,受到了许多中外学者的广泛关注,尤其是p-Laplacian型的奇异型微分方程,是近年来非常活跃的微分方程理论的一个重要分支,当p=2,即φp（x）=x时,目前在不同条件下已经得到了很多解的存在性结果,比如,国内的杨光崇,葛渭高,国外的Donal O’Regan,Ravi P.Agarwal以及Stanek等人在这一方面都已经做了很多研究工作.目前非线性项f＞0时正解的存在性的研究结果较多,f可变号时正解的存在性的研究结果还很少.本论文研究的就是f可变号时正解的存在性.本论文一共分为两章,主要方法是利用锥上的不动点指数理论来讨论奇异以及非线性项可变号对微分方程所产生的影响,从而得出非线性项可变号的二阶p-Laplacian算子型的奇异微分方程初边值问题的正解的存在性. 在第一章中,我们研究了二阶p-Laplacian算子型的奇异微分方程初值问题正解的存在性,其中,f（t,y,y’）可变号并且在y=0处奇异,φp（s）是p-Laplacian算子：φ（s）=|s|p-2s,p＞1,s∈R.记φq（s）为φp（s）的逆,则φq（s）=|s|q-2s,s∈R,并且 在第二章中,我们研究了二阶p-Laplacian算子型的奇异微分方程边值问题正解的存在性,其中f（t,y,y’）可变号并且在y=0或y’=0处奇异,φp（s）是p-Laplacian算子：φp（s）=|s|p-2s,p＞1,s∈R.记φq（s）为φp（s）的逆,则φq（s）=|s|q-2s,s∈R,并且1/p+1/q=1. Donal O’Regan和Ravi P.Agarwal讨论了f＞0时正解的存在性,其中,f（t,y,y’）可变号并且在y=0和y’=0处奇异,和正解的存在性,其中,f（t,y,py’）可变号并且在y=0和py’=0处奇异.他们利用了条件：（a）f（t,u,p）≤h（u）[g（p）+r（p）]；（b）f（t,u,p）≥ΨH,L（t）uγ,（t,u,p）∈[0,1]×[O,H]×[O,L],通过构造不带奇异的近似方程,使讨论的问题得到解决.本论文将他们研究的问题进一步改进,考虑f变号时p-Laplacian算子型奇异初边值问题正解的存在性.解决的方法是：通过构造特殊的算子序列,结合于条件（a）类似的条件以及f（t,y,y’）≥β（t）,|y’|≤δ,使得非线性项f（t,y,y’）克服f变号以及在y=0或y’=0处奇异带来的困难,再用锥上的不动点指数理论得到算子序列的不动点,最后,再用Arzela-Ascoli定理得出所研究方程的近似解,得到了正解的存在性结果.
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