【摘 要】
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脉冲微分方程理论是微分方程理论中的一个新的重要分支,它在生物学,医学,经济学和航天技术等领域都有广泛的应用.关于脉冲微分方程的研究已经取得了相当丰富的结果,见[6]-[24],其中专著Theory of Impulsive Differential Equations和脉冲微分系统引论详细总结了近二十年来的成果. 在文献[38]中,有系统如下： 其中J=[0,+∞),J+=（0
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脉冲微分方程理论是微分方程理论中的一个新的重要分支,它在生物学,医学,经济学和航天技术等领域都有广泛的应用.关于脉冲微分方程的研究已经取得了相当丰富的结果,见[6]-[24],其中专著Theory of Impulsive Differential Equations和脉冲微分系统引论详细总结了近二十年来的成果. 在文献[38]中,有系统如下： 其中J=[0,+∞),J+=（0,+∞）,0＜t1＜…＜tk＜…,tk→+∞,J’+=J+\{ti,…,tk,…｝,f∈C[J+×p0λ×P1λ×…×pn-1λ×P×P,P],（?）λ＞0,Iik∈C[P0λ×P1λ×…×Pn-1λ,P],（?）λ＞0（i=0,1,…,n-1,k=1,2,3,…）,uoi≥ui*（i=0,1,…,n-1）,β＞1,u（n-1）（∞）=（?）u（n-1）（t）,且（Tu）（t）=∫0tK（t,s）u（s）ds,（Su）（t）=∫0∞H（t,s）u（s）ds,其中K∈c[D,J]D=｛（t,s）∈J×J：t≥s｝,H∈C[J×J,J].Δu（i）|t=tk=u（i）（tk+）-u（i）（tk-）. 在文中,郭大均教授利用不动点定理研究了Banach空间中n阶非线性脉冲奇异积分微分方程正解的存在性问题. 脉冲微分方程理论还存在很多尚未解决的问题,一是脉冲函数具有奇异性和非线性项奇异同时存在的研究成果尚未多见；二是非线性项若含积分项的情形下二阶方程正解的存在性尚未解决. 本文主要讨论上述文献的特殊情况,当n=2,β=0时的情形.在第一章中,我们得出了二阶非线性脉冲奇异微分方程两点边值问题正解的存在性,系统如 下：这里Δu |t=tk=u（tk+）-u（tk-）,Δu’|t=tk=u’（tk十）-u’（tk-）,u（t）在tk左连续.在文中f（t,x,y）∈c（（0,+∞）3,（-∞,+∞））,I0,k,I1,k∈c（（0,+∞）2,（0,+∞））,同时不但ｆ（t,x,y）在￡=0,x=0,y=0具有奇异性,而且I0,k（x,y）,I1,k（x,y）在x=0,y=0也具有奇异性. 本文第二章还研究了二阶非线性脉冲奇异积分微分方程两点边值问题正解的存在性：这里Δu|t=tk=u（tk+）-u（tk-）,Δu’|t=tk=u’（tk+）-u’（tk-）,u（t）在tk左连续,（Au）（t）=（?）k（t,s）u（s）ds,（su）（t）=（?） H（t,s）u（s）ds,,∈C（（0,+∞）5,（-∞,+∞））,I0,k,I1,k∈C（（0,+∞）2,（0,+∞））,同样的,非线性项具有奇异性. 本文研究的主要方法是首先利用Schauder不动点定理得到有限区间上两点边值问题正解的存在性,然后利用Arzela-Ascli定理得到了所研究方程的一个近似解的收敛子列,其极限就是对应方程的解,进而推广到无穷区间上.本文的定理1.3.1解决了脉冲函数具有奇异性和ｆ（t,x,y）在t=0,x=0,y=0奇异同时存在的情况下方程（1.1.1）正解的存在性问题,而定理2.3.1解决了非线性项含积分项的情况下,方程（2.1.1）的正解的存在性问题.
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