跳过程的Lp-导数及其转移半群的梯度估计

• 作 者: 宋玉林
• 机 构: 中国科学院大学
• 出 处: 中国科学院研究生院 中国科学院大学
• 发表日期: 2012年期
• 关键词: Lévy过程 分布等价性 梯度估计 强Feller性 Harnack不等式

本文主要研究有限维纯跳Lévy过程的分部积分公式,并利用分部积分公式得到了纯跳Lévy过程驱动的非线性随机微分方程对应转移半群的强Feller性和Harnack不等式。　　
第一部分对可分Hilbert空间上两个Lévy过程轨道分布的等价性作了研究。利用有限维逼近的方法,得到了可分Hilbert空间上Lévy过程轨道分布等价的允要条件。此充要条件由Lévy过程的特征三元组完全描述。　　
第二部分的研究对象是特征测度具有局部正则性(关于Rn上的Lebesgue测度绝对连续)的Poisson测度。首先,定义了这类Poisson测度函数的Lp-导数。这种定义的思想来自于维纳过程的Malliavin导数,可视之为方向导数。该定义基于[6]的研究工作,并对其结果进行了有意义的推广。进一步地,利用纯跳Lévy过程的Girsanov定理可以得到Lp-导数对应的分部积分公式。作为分部积分公式的一个应用,本文给出跳测度泛函的密度函数存在的判定准则。　　
在第三部分,我们研究可加的纯跳Lévy过程驱动的非线性随机微分方程。首先,根据Lp导数的定义,我们证明了此方程的解在某些给定的方向上存在L1-导数。其次,选取合适的求导方向,结合分部积分公式,可以得到对应转移半群的梯度估计,进而说明转移半群具有强Feller性。最后,我们还得到了Harnack不等式。　　
最后一部分足讨论可乘的纯跳Lévy过程驱动的非线性随机微分方程。同第三部分的结构一样,我们得到了方程解的L2-导数的存在性、半群的梯度估计、强Feller性以及Harnack不等式。