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非阿基米德动力系统是目前国际上广受关注的新方向,涉及(复)动力系统、数论和代数等多个方向.全纯非阿基米德动力系统始于1981年菲尔茨奖得主Yoccoz和Herman等人的研究,目前是一个十分活跃的研究领域.与复数域C类似,p-adic复数域Cp是代数闭且完备的,那么Cp是研究非阿基米德动力系统的一个非常自然的空间.但是,Cp在超度量下是一个非局部紧且是完全不连通的拓扑空间,研究起来非常困难.Berkovich射影空间是1990年才引入的一个新空间,这个空间十分抽象、艰深但具有很好的拓扑性质(Hausdorff、局部紧且是道路连通的),而且包含Cp作为一个子空间.Berkovich射影空间上的动力系统则始于2000年Rivera-Letelier、Baker和aumley等人的研究.这是一个全新的研究方向.
本文主要研究非阿基米德动力系统.分为三部分:Berkovich空间和Cp上交换有理映射动力系统的一致性问题;Cp上超越整函数动力系统的基本性质;p-adic整数环Zp上多项式的极小分解问题.
第一部分,我们主要研究Cp上的可交换有理函数系统的Julia集的一致性问题.法国数学家Julia在1922年建立了可交换有理函数系统的Julia集的一致性定理.但是在Cp上,已有的相关工具和方法均不再适用.我们将问题提升到Berkovich射影空间上来考虑和研究,主要获得了下面的结果:证明了Berkovich射影空间上可交换有理函数系统的Julia集的一致性定理;作为一个推论,肯定回答了Cp上可交换有理函数系统的Julia集的一致性问题;进一步证明了Berkovich射影空间上可交换有理函数系统的Julia集上的典型测度一致性定理.此外,在Berkovich射影空间上有理函数是可能有游荡Fatou分支的,证明了交换有理函数有一致的游荡Fatou分支.
第二部分,我们主要研究Cp上超越整函数的动力系统性质.目前关于这方面的研究很少.我们研究了超越整函数在Berkovich仿射空间上的动力系统性质,讨论了Berkovich仿射空间上Fatou集和Julia集的一些基本性质.主要结果包括:证明了Berkovich空间上Julia集为斥性周期点集的闭包;证明了多连通的Fatou.分支总是游荡的,而且这个分支中的点在迭代下都会一致趋向于∞等等.
最后一部分,我们主要研究平方映射平方映射。F=x2在p-adic整数环Zp上的极小分解问题,且刻画了其所有的极小子系统.对于任意多项式f∈Zp[x],有很多关于系统(Zp,f)极小性的研究.当系统(Zp,f)不是极小的时,Fan和Liao证明了(Zp,f)至多有可数多个极小子系统,而且有一个“极小分解”.关于多项式极小分解,Fan、Li、Yao和Zhou解决了仿射函数的极小分解,当p=2,Fan和Liao研究了二次多项式的极小分解.这是目前己知的结果.我们基于Rogers关于平放映射f=x2在素域Fp上的作用迭代图的结果,我们给出平方映射f=x2在p-adic整数环Zp上的确切的极小分解,且刻画了其所有的极小子系统.此外,我们还研究了Chebyshev多项式在2-adic整数环Z2上的极小分解,且刻画了其极小子系统.