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本文主要涉及分段连续型延迟微分方程(EPCA)及随机延迟微分方程(SDDE)数值解的稳定性。这两类方程在物理、生物和控制中有着广泛的应用。
经典的分段连续型延迟微分方程包含一些项，这些项在一些区间上是常数。在这些区间上方程的解是满足方程的连续分段光滑的函数。方程的解是由初始值所决定的，而不像一般的延迟微分方程是由初始函数所决定的。
随机延迟微分方程的显式解表达式很难获得，因此构造使用的数值方法和研究数值解的性质就成为了既有理论意义又有应用价值的研究课题。近几年来，许多作者研究了随机常延迟微分方程及其数值方法。但对于随机变延迟微分方程，尤其是对随机无界延迟微分方程及其数值方法的研究很少，例如对随机比例方程及其数值方法的研究刚刚开始。
本文应用线性θ—方法，单腿θ—方法和Runge-Kutta方法解带有延迟项[t][t-1][t+1]的延迟微分方程。主要研究这些方法的稳定性和收敛阶。应用线性θ—方法和单腿θ—方法解这些方程时，由于这些方程是定义在[n，n+1)上，即不包含区间的右端点，结果两种θ—方法得到了相同的差分方程。本文也证明了数值解趋于零与其在整数节点上的值趋于零等价，并且证明了数值方法保持了它们的收敛阶。更进一步，对于随机比例延迟微分方程讨论了解析解和数值解p阶矩稳定性。
对于带有两个延迟项[t]和[t-1]的分段连续型延迟微分方程，Wiener给出解析解的稳定性条件太复杂，本文简化了这个条件。本文给出了θ—方法的稳定区域，同时给出了解析解的稳定区域包含在数值解的稳定区域的条件。同时，应用v级Runge-Kutta方法解分段连续型延迟微分方程，利用Padé逼近和Order Star理论得到了Runge-Kutta方法的稳定性条件。解析解的稳定区域包含在数值解的稳定区域内的充分必要条件，对于Gauss-Legendre方法和LobattoⅢC方法v是奇数，对于RadauⅠ A、RadauⅡA方法如果a＞0，v是偶数；如果a＜0，v是奇数。
对于带有两个延迟项[t]和[t+1]的分段连续型分段连续型延迟微分方程，解析解的稳定区域分两部分，其中一部分和带有两个延迟项[t]和[t-1]分段连续型延迟微分方程的稳定区域相同。给出了θ—方法的稳定区域，得到了解析解的稳定区域包含在数值解的稳定区域内的条件。
对于随机比例方程，利用Razumikhin技巧研究了其解析解和数值解的P阶矩渐近稳定，特别得到了线性随机比例方程及其半隐式Euler方法的P阶矩渐近稳定条件，给出了一些数值试验。