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[摘 要]匈牙利哲学家波兰尼将知识分为明确知识与默会知识，他认为只有借助于默会知识的力量，明确知识才能得以发生和发展，人类的知识、创新才有根基。对于学习者而言，默会知识常常比明确知识更重要，但默会知识处于“缄默”状态，难以明确表达，因而一直没有得到教师的足够重视。在实际教学中，教师可以通过创设情境、指导学生交流、引导学生自主评价的教学策略，使默会知识明确化，促进学生思维能力的提升。
[关键词]默会知识;创新思维;思维显性化
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0036-03
长期以来，知识的增长和不断创新，极大地推动了社会发展和人类文明的进步。中小学数学教师们致力于将数学知识转化为学生可以灵活应用的本领，让学生在学习知识的同时，形成一定的技能，并引导学生以新颖独创的方法解决问题，促进他们的思维实现创新。当前的小学数学教学，虽然也是组织儿童“学知识”，但是其意义早已突破局限，发展为使学生在学知识的过程中“学会学习”，提升创新思维能力。
匈牙利哲学家波兰尼根据知识是否可以通过语言符号的方式加以表述这一角度，将知识分为明确知识与默会知识。前者是指能言传的，可以用语言、文字、符号（包括公式、图表）表达的知识，后者是只能意会而不能言传的知识。人类的默会知识远远多于明确知识，而且默会知识有着明显区别于明确知识的特征：第一，默会知识镶嵌于实践活动之中，是情境性和个性化的，常常是不可言传的;第二，默会知识很难以常规形式加以传递;第三，默会知识是不能被批判性反思的。默会知识（怎么想，怎么做）本质上是理解力和悟性，存在于个人经验（指个体性），镶嵌于实际活动中（指情境性）。学生只有通过活动，并且在活动中获得体验，才能达到学会和提高的目的。在实际教学中，明确默会知识能促进学生的创新思维发展，具体可以通过以下教学策略加以实施。
一、创设活动化学习情境，追求默会知识明确化
学生的认知是有一定规律可循的，教师无论对课堂怎样演绎，都要尊重学生的认知规律。学生往往对与自己有关的，或者自己熟悉的材料（事件）比较感兴趣。课堂教学中，教师应考虑学生的家庭或地域背景，对学习材料进行包装或加工，即教学设计要从学生的生活经验与知识经验出发，找准学习的切入点。为了优化教学，教师应创设与学生实际生活密切相关的学习情境，促进学生通过调动自身经验主动思考，从而在学习中不断明确“怎样想”“怎样做”。
【案例一】认识百分数。
1.让学生结合生活经验，说说自己对概念的理解
教师提供一组典型的生活情境，要求学生说说各自对百分数的理解。
师：这是生活中常见的百分数，你认为这两个百分数表达了怎样的意思呢？以第一幅图为例说一说。
生1：一份材料有100页，已经下载了其中80页，还有20页没有下载。（用页数来描述）
生2：把一份材料看作单位“1”，已经下载的是單位“1”的[80100]。（结合分数的意义来描述）
生3：我觉得已下载的部分比未下载的部分多很多，但是不知道如何表述。
事实上，每个学生都在头脑中对这个图文进行了加工，这种加工是以个体经验为基础的，带有强烈的自我感受，而加工的结果也是个性化的。教师引导学生交流自己加工图文信息的过程与结果，以活动化的形式追求默会知识的明确化。受到发言学生的启发，其他学生也能采用更有效的方式描述自己的理解。
2.通过个性化多元表征概念含义，使默会知识得以明确
对于一个百分数的理解，可以从多个角度思考。鉴于不同学生内在知识结构和思维方式的区别，学生怎样理解百分数，在个体之间存在较大差异。这值得教师在教学环节中关注并挖掘这一差异性，凸显学生的个性化想法与做法。
师：一家水果店运来一些苹果和梨，运来的苹果比梨多20%。你知道这里的20%表示什么？你能用自己的方式表示出来吗？
生1：梨有100份，苹果比梨多20份，也就是说苹果有120份。（用份数来描述）
生2：梨有100个，苹果比梨多20个，也就是说苹果有120个。（用个数来描述）
生3：我画线段图时遇到困难，因为平均分成100份比较麻烦，于是我先把百分数写成了分数并约分，再画线段图就比较简单了。（用线段图来描述）
总之，学生采用各种各样的表征方式，并且在表示的过程中遇到各种各样问题，但最终都能顺利解决。在反思过程中，学生感悟到，把百分数转化成分数，然后用画图等方式呈现20%的意义，这样理解起来更容易。
3.引导积极联想，通过“头脑风暴”形式激发对概念的创意思维
让学生恰当地同化知识，需要积极沟通知识间的联系。由于不同学生的已有知识经验不同，导致他们思考问题的方式和得出的结论大相径庭。恰恰是这种不同的思维方式，有利于为学生创造性解决问题提供多种途径。
例如，在表述百分数意义的教学过程中，教师积极引导学生思考：“你能把这个百分数想成什么样的数？”这时，学生有了前面一系列学习经历的铺垫后，就会比较容易形成多种联想，用比、倍数、份数以及分数的形式来理解和表达百分数。
二、指导学生交流各自的想法与做法，促进默会知识明确化
黄焕金对默会知识的描述更为形象，“知识一离开产生它的人的头脑，便像鸡蛋那样获得一个坚固的外壳”，别人不能直接看到知识的内核。无论任何类型的知识，要转化为个体的默会知识，就要通过默会认识，使知识在另一个体的头脑中复活。我们的教学力争通过积极的交流活动，使学生头脑中的想法和做法得以呈现，在交流的过程中，学生相互理解、感悟，常常能够捕捉到别人思维的闪光点。
【案例二】图2中阴影部分的面积是大长方形面积的几分之几？ 笔者本以为学生会很轻松地解决这个问题，可实际上，学生存在一定的困惑：对平均分的份数不容易确定，对于阴影部分的份数也不清晰。这时，学生需要寻找创造性的解决方法，这种思考、探寻的过程中就蕴含着丰富的默会知识。比如，有的学生试图去改变图形的形状，然后加以分析;有的学生看见图形立刻联想到自己曾经见过的类似图形;有的学生拿起手中的笔画一画，想把图形平均分一分;有的学生思考能否将题目变简单点……教学中，笔者先鼓励学生自由发挥，主动思考，尝试解决，然后组织学生用恰当的方式再现自己的探索过程，将运用默会知识的成果展示出來。
第一种思考（如图3）比较理性：首先圈出大长方形的[35]，然后观察发现阴影部分是其中的[12]，可以得出阴影部分面积就是大长方形面积的[35]的[12]。于是通过计算得出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
第二种思考（如图4）比较容易理解：首先通过等底等高的三角形面积相等的知识将阴影部分进行变形，然后通过计算得出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
第三种思考（如图5）：把大长方形平均分成若干等分，再进行判断。首先，在大长方形中间画一条横线，将大长方形平均分成10等分，接着将阴影部分通过剪、移、拼的方法等积变形。经过这样的转化，就能一眼看出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
整个学习过程中，学生交流了从不同角度的理解和不同方法的变化。这里，多元的思考彰显了知识与方法的融合，思维与思维的碰撞。
三、引导学生自主比较和评价，推动默会知识明确化
“数学是思维的体操。”数学有其独特的思维方式，其中比较、类比是聚焦数学事实关键特征常用的思维方式。在教学过程中，教师只有引导学生经历多样化思维方式，才能提高他们对知识的理解和对解题方法的把握。学生结合自己的认知经验，推动认知水平，展开创造性思维。
【案例三】较复杂的分数乘法实际问题。
学生感到数量关系比较简单，很容易理解和掌握。教师不能因此就轻易简单带过，可以组织学生充分比较两种不同的解法，感悟知识与方法中的变与不变，从而领悟：相同的数量关系中有不同的内涵。比较的思维方式可使学生收获个性化的感悟，有助于默会知识明确化。
岭南小学六年级有45人参加学校运动会，其中男生占[59]。女生有多少人？
以上两种解法都有减法运算的步骤，学生对它们的含义有怎样的理解呢？刚开始，学生都认为两个算式中减法的含义是一样的，此时，教师保持沉默。很快，学生开始了观察、联系、对比、分析……慢慢地，学生有了新的理解：解法一是用总人数减去男生人数得到女生人数，解法二是借助单位“1”减去表示男生的分率得到表示女生的分率，虽然同样是减法运算，但是内在的含义不一样。那么，两种解法中，乘法运算步骤的含义又有什么不同呢？
图7中，同样是单位“1”与分率相乘得出对应数量，要注意的是，单位“1”与不同分率相乘，对应着不同的数量。
由此可见，教学应以人为本，注重个体的默会认识，这是强化明确知识教学的有效途径。这就要求教师应积极探索个性化教学手段，重视人的能动性、多样性和独立性，要积极调用、发挥默会知识的认知潜能。在自由的学习氛围中，要采取有效措施，促使个体的默会思维因素被激活，以激发学生的创造性思维，提升学生数学学习的创造力。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 戴曙光.简单教数学——一个特级教师的小学数学教学智慧[M].上海：华东师范大学出版社，2012.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第3版）[M].北京：北京师范大学出版社，2020.
（责编 李琪琦）
[关键词]默会知识;创新思维;思维显性化
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0036-03
长期以来，知识的增长和不断创新，极大地推动了社会发展和人类文明的进步。中小学数学教师们致力于将数学知识转化为学生可以灵活应用的本领，让学生在学习知识的同时，形成一定的技能，并引导学生以新颖独创的方法解决问题，促进他们的思维实现创新。当前的小学数学教学，虽然也是组织儿童“学知识”，但是其意义早已突破局限，发展为使学生在学知识的过程中“学会学习”，提升创新思维能力。
匈牙利哲学家波兰尼根据知识是否可以通过语言符号的方式加以表述这一角度，将知识分为明确知识与默会知识。前者是指能言传的，可以用语言、文字、符号（包括公式、图表）表达的知识，后者是只能意会而不能言传的知识。人类的默会知识远远多于明确知识，而且默会知识有着明显区别于明确知识的特征：第一，默会知识镶嵌于实践活动之中，是情境性和个性化的，常常是不可言传的;第二，默会知识很难以常规形式加以传递;第三，默会知识是不能被批判性反思的。默会知识（怎么想，怎么做）本质上是理解力和悟性，存在于个人经验（指个体性），镶嵌于实际活动中（指情境性）。学生只有通过活动，并且在活动中获得体验，才能达到学会和提高的目的。在实际教学中，明确默会知识能促进学生的创新思维发展，具体可以通过以下教学策略加以实施。
一、创设活动化学习情境，追求默会知识明确化
学生的认知是有一定规律可循的，教师无论对课堂怎样演绎，都要尊重学生的认知规律。学生往往对与自己有关的，或者自己熟悉的材料（事件）比较感兴趣。课堂教学中，教师应考虑学生的家庭或地域背景，对学习材料进行包装或加工，即教学设计要从学生的生活经验与知识经验出发，找准学习的切入点。为了优化教学，教师应创设与学生实际生活密切相关的学习情境，促进学生通过调动自身经验主动思考，从而在学习中不断明确“怎样想”“怎样做”。
【案例一】认识百分数。
1.让学生结合生活经验，说说自己对概念的理解
教师提供一组典型的生活情境，要求学生说说各自对百分数的理解。
师：这是生活中常见的百分数，你认为这两个百分数表达了怎样的意思呢？以第一幅图为例说一说。
生1：一份材料有100页，已经下载了其中80页，还有20页没有下载。（用页数来描述）
生2：把一份材料看作单位“1”，已经下载的是單位“1”的[80100]。（结合分数的意义来描述）
生3：我觉得已下载的部分比未下载的部分多很多，但是不知道如何表述。
事实上，每个学生都在头脑中对这个图文进行了加工，这种加工是以个体经验为基础的，带有强烈的自我感受，而加工的结果也是个性化的。教师引导学生交流自己加工图文信息的过程与结果，以活动化的形式追求默会知识的明确化。受到发言学生的启发，其他学生也能采用更有效的方式描述自己的理解。
2.通过个性化多元表征概念含义，使默会知识得以明确
对于一个百分数的理解，可以从多个角度思考。鉴于不同学生内在知识结构和思维方式的区别，学生怎样理解百分数，在个体之间存在较大差异。这值得教师在教学环节中关注并挖掘这一差异性，凸显学生的个性化想法与做法。
师：一家水果店运来一些苹果和梨，运来的苹果比梨多20%。你知道这里的20%表示什么？你能用自己的方式表示出来吗？
生1：梨有100份，苹果比梨多20份，也就是说苹果有120份。（用份数来描述）
生2：梨有100个，苹果比梨多20个，也就是说苹果有120个。（用个数来描述）
生3：我画线段图时遇到困难，因为平均分成100份比较麻烦，于是我先把百分数写成了分数并约分，再画线段图就比较简单了。（用线段图来描述）
总之，学生采用各种各样的表征方式，并且在表示的过程中遇到各种各样问题，但最终都能顺利解决。在反思过程中，学生感悟到，把百分数转化成分数，然后用画图等方式呈现20%的意义，这样理解起来更容易。
3.引导积极联想，通过“头脑风暴”形式激发对概念的创意思维
让学生恰当地同化知识，需要积极沟通知识间的联系。由于不同学生的已有知识经验不同，导致他们思考问题的方式和得出的结论大相径庭。恰恰是这种不同的思维方式，有利于为学生创造性解决问题提供多种途径。
例如，在表述百分数意义的教学过程中，教师积极引导学生思考：“你能把这个百分数想成什么样的数？”这时，学生有了前面一系列学习经历的铺垫后，就会比较容易形成多种联想，用比、倍数、份数以及分数的形式来理解和表达百分数。
二、指导学生交流各自的想法与做法，促进默会知识明确化
黄焕金对默会知识的描述更为形象，“知识一离开产生它的人的头脑，便像鸡蛋那样获得一个坚固的外壳”，别人不能直接看到知识的内核。无论任何类型的知识，要转化为个体的默会知识，就要通过默会认识，使知识在另一个体的头脑中复活。我们的教学力争通过积极的交流活动，使学生头脑中的想法和做法得以呈现，在交流的过程中，学生相互理解、感悟，常常能够捕捉到别人思维的闪光点。
【案例二】图2中阴影部分的面积是大长方形面积的几分之几？ 笔者本以为学生会很轻松地解决这个问题，可实际上，学生存在一定的困惑：对平均分的份数不容易确定，对于阴影部分的份数也不清晰。这时，学生需要寻找创造性的解决方法，这种思考、探寻的过程中就蕴含着丰富的默会知识。比如，有的学生试图去改变图形的形状，然后加以分析;有的学生看见图形立刻联想到自己曾经见过的类似图形;有的学生拿起手中的笔画一画，想把图形平均分一分;有的学生思考能否将题目变简单点……教学中，笔者先鼓励学生自由发挥，主动思考，尝试解决，然后组织学生用恰当的方式再现自己的探索过程，将运用默会知识的成果展示出來。
第一种思考（如图3）比较理性：首先圈出大长方形的[35]，然后观察发现阴影部分是其中的[12]，可以得出阴影部分面积就是大长方形面积的[35]的[12]。于是通过计算得出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
第二种思考（如图4）比较容易理解：首先通过等底等高的三角形面积相等的知识将阴影部分进行变形，然后通过计算得出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
第三种思考（如图5）：把大长方形平均分成若干等分，再进行判断。首先，在大长方形中间画一条横线，将大长方形平均分成10等分，接着将阴影部分通过剪、移、拼的方法等积变形。经过这样的转化，就能一眼看出阴影部分面积是大长方形面积的[310]。
整个学习过程中，学生交流了从不同角度的理解和不同方法的变化。这里，多元的思考彰显了知识与方法的融合，思维与思维的碰撞。
三、引导学生自主比较和评价，推动默会知识明确化
“数学是思维的体操。”数学有其独特的思维方式，其中比较、类比是聚焦数学事实关键特征常用的思维方式。在教学过程中，教师只有引导学生经历多样化思维方式，才能提高他们对知识的理解和对解题方法的把握。学生结合自己的认知经验，推动认知水平，展开创造性思维。
【案例三】较复杂的分数乘法实际问题。
学生感到数量关系比较简单，很容易理解和掌握。教师不能因此就轻易简单带过，可以组织学生充分比较两种不同的解法，感悟知识与方法中的变与不变，从而领悟：相同的数量关系中有不同的内涵。比较的思维方式可使学生收获个性化的感悟，有助于默会知识明确化。
岭南小学六年级有45人参加学校运动会，其中男生占[59]。女生有多少人？
以上两种解法都有减法运算的步骤，学生对它们的含义有怎样的理解呢？刚开始，学生都认为两个算式中减法的含义是一样的，此时，教师保持沉默。很快，学生开始了观察、联系、对比、分析……慢慢地，学生有了新的理解：解法一是用总人数减去男生人数得到女生人数，解法二是借助单位“1”减去表示男生的分率得到表示女生的分率，虽然同样是减法运算，但是内在的含义不一样。那么，两种解法中，乘法运算步骤的含义又有什么不同呢？
图7中，同样是单位“1”与分率相乘得出对应数量，要注意的是，单位“1”与不同分率相乘，对应着不同的数量。
由此可见，教学应以人为本，注重个体的默会认识，这是强化明确知识教学的有效途径。这就要求教师应积极探索个性化教学手段，重视人的能动性、多样性和独立性，要积极调用、发挥默会知识的认知潜能。在自由的学习氛围中，要采取有效措施，促使个体的默会思维因素被激活，以激发学生的创造性思维，提升学生数学学习的创造力。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 戴曙光.简单教数学——一个特级教师的小学数学教学智慧[M].上海：华东师范大学出版社，2012.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第3版）[M].北京：北京师范大学出版社，2020.
（责编 李琪琦）