论文部分内容阅读
摘要：勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式與证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）。（3，4，5）就是勾股数。
关键词：勾股定理;历史;意义
中图分类号：G712文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）03-0033-01
一、勾股定理的历史
在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。在中国公元前十一世纪，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”;《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
在西方公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法（详见加菲尔德证法）。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。
二、勾股定理的验证推导
1、标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法
如右图所示：大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形。
图示
∵（a+b）2=c2+4×ab2
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
2、毕达哥拉斯定律
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用。古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角。他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形。他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理;给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的;如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
3、加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国总统，所以人们又叫它总统定理。
在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC△CDB，
AE=CD=b，AE=BD=a，AC=BC=c
S△AEC=S△CDB=12abS△ACB=12c2
SAEDB=（a+b）×（a+b）÷2
∵S△ACE+S△CDB+S△ACB=SAEDB
∴12ab+12ab+12c2=（a+b）2÷2
∴c2=a2+b2
三、勾股定理定理推广和运用的意义
1、逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法（依据），其中C为最长边：
如果a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。（若无先前条件C为最长边，则仅满足∠C是锐角）
如果a2+b2>c2，则△ABC是钝角三角形。
2、推广定理
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用，通常是在一个直角三角形中，已知两条边的长度，求第三边。对于这类问题，可以直接代入公式进行计算，比较容易。
3、勾股定理意义
它是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的
勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。
（作者单位：中共法库县委党校）
关键词：勾股定理;历史;意义
中图分类号：G712文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）03-0033-01
一、勾股定理的历史
在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。在中国公元前十一世纪，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”;《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
在西方公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法（详见加菲尔德证法）。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。
二、勾股定理的验证推导
1、标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法
如右图所示：大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形。
图示
∵（a+b）2=c2+4×ab2
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
2、毕达哥拉斯定律
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用。古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角。他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形。他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理;给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的;如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
3、加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国总统，所以人们又叫它总统定理。
在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC△CDB，
AE=CD=b，AE=BD=a，AC=BC=c
S△AEC=S△CDB=12abS△ACB=12c2
SAEDB=（a+b）×（a+b）÷2
∵S△ACE+S△CDB+S△ACB=SAEDB
∴12ab+12ab+12c2=（a+b）2÷2
∴c2=a2+b2
三、勾股定理定理推广和运用的意义
1、逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法（依据），其中C为最长边：
如果a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。（若无先前条件C为最长边，则仅满足∠C是锐角）
如果a2+b2>c2，则△ABC是钝角三角形。
2、推广定理
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用，通常是在一个直角三角形中，已知两条边的长度，求第三边。对于这类问题，可以直接代入公式进行计算，比较容易。
3、勾股定理意义
它是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的
勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。
（作者单位：中共法库县委党校）