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【摘要】 《数学课程标准》（2011年版）指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础. 作为一线教师，在课堂教学中只有遵循知识本身的逻辑，并准确把握学生已有的生活经验和真实的学习起点，才能有效提高课堂实效. 本文以《解决问题的策略—列举》一课为例从教学前的思考、课前预学案的设计与分析、课堂教学实践、教学后的思考四个方面来剖析如何构筑高效的数学课堂.
【关键词】 教学起点；列举策略；课前预学案；高效课堂
此文为江苏省重点自筹项目《求真课堂：基于陶行知儿童哲学的实践研究》阶段性案例成果.
一、教学前的思考
1. 陶行知先生在《教学合一》文中指出：“先生的责任不在教，而在教学生学. ” 《数学课程标准》（2011年版）的课程基本理念中也明确指出“有效的教学活动是学生学与教师教的统一”，“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教”. 崔允漷教授在《有效教学》第二章“怎样教得有效”的开篇设计了一个问题“请你设想一下，如果安排你上一节课，你在上课前会想什么，将做什么样的准备”. 如果说陶行知先生道出了课堂教学的本质，即教学的根本目的是促进学生愿学、会学、能学. 那么，《数学课程标准》则指明了课堂教学的方向，崔允漷教授则明示了要上好一节有效、高效课的路径与方法.
2. 《解决问题的策略——列举》是苏教版五年级上册第七单元内容，列举策略是生活中解决问题时常用的策略之一，因此学生并不陌生，关键是如何让学生在不重复、不遗漏地列举出符合要求的各种情况的同时，体会列举策略的特点和价值，掌握列举解决问题的方法.
3. 这节课的内容如何让学生学得更好，需要把握四个问题：
（1）对于例题学生解决的方式、解决的程度、能够独立解决此问题的学生范围等学情情况需要明晰.
（2）学生对应用列举策略解决实际问题的方法用语言描述时能否精当.
（3）学生能否熟练应用列举策略解决生活中的实际问题. （4）能否正确选择相应的策略解决生活中的不同问题.
综上所述，教学前的思考涵盖三方面：一是以“学生学”为教学中心；二是努力寻求学生的最近发展区；三是帮助学生建立科学规范的数学基本知识和基本能力.
二、课前预学案探寻学生认知状况
1. 课前预学案的设计
本节课的内容从知识体系的角度分析，学生已经有了初步的认知储备，例如：低年级时学习过数的拆分，中年级时学习过帽子与木偶的搭配问题等，这些个案的学习为学生有序地解决问题奠定了基础. 此外，关于例1中已知周长为22米，如何摆出大小不同的长方形，此类型数学活动在三年级下册第六单元《长方形和正方形的面积》学习时，已经安排了数学活动. 可以说学生已经具备了独立解决例1的数学活动能力. 基于以上认识，我设计了课前预学案，以便找准课堂教学的起点.
2. 学生认知状况分析
例1是学生关于列举策略内涵认知的示例，通过个案让学生感知列举策略的价值与方法，是学生学习列举策略的基础. 因此，正确了解学生对例1学习的状况，是找准教学起点的关键.
①本班共有学生45人，完成课前预学案45人. 对于例1的学习，所有同学都能够通过逐个罗列的方法，找到问题的答案. 其中44名同学没有出现重复与遗漏情况，只有1名同学出现了一例重复的列举. 说明用22根1米长的小棒围成不同形状的长方形，学生的思路与方法比较清晰.
②运用列举策略解决例1的过程中，学生运用了不同的形式，具体情况如下表：
从表中数据可以看出，形象直观的画图形式并不是学生首选，学生还是比较倾向于逻辑性强、条理清晰、便于操作的列表形式.
③ 为了进一步了解“学生对应用列举策略解决实际问题的方法的语言描述”状态时，我采取了访谈法. 访谈对象共10名学生，含三种情况：写两种方式以上的学生3人，写一种方式的学生6人，出现重复情况的学生1人. 通过对学生的访谈可以得出以下三个结论：
第一、在访谈的学生中，有90%的孩子能够清楚地表述出解题思路和解题过程，并且能感受到，解决本题时，需要进行有序地一一列举.
第二、学生能够感受到有序列举的价值，即有序能够做到不重复和不遗漏，但是学生对这样的价值的表述还不够完整和准确.
第三、对于画图、分合式计算、列表三种方式之间的关系不够清晰.
3. 基本结论
（1）列举策略的序化思考学生已经有了比较清晰的理解，课堂教学可基于这样的起点，在学生汇报交流的基础上点拨提升，有效提炼列举策略的内涵与方法.
（2）需要通过 “辨识”、“辨析”等途径和方法，通过丰富的、典型的例子来让学生进一步感受列举策略的价值. 通过“模仿”、“变式”等不同题型的练习，让学生熟练掌握应用列举策略解决实际问题的方法.
三、基于学生学习起点的课堂教学实践
根据课前预学案学生认知水平的探知，重新确立了课堂教学的起点，在学生认知呈现的基础上，通过错例辨识、优化方法、示例拓展、策略辨析等途径，促进学生完善认识，形成能力.
1.认知呈现，点拨提升
教学片断1：
师：昨天预学案第1题你是如何解决的？哪名同学能够把你的解决方法与结果与同学们分享一下？
生1：我用的是分与合的方法. 先用22 ÷ 2 = 11（米），求出一个长一个宽的和，再分别找到围成的长方形的长和宽，用长乘宽算出不同围法的长方形的面积，从小到大，我发现当长是6米，宽是5米时，长方形面积最大，最大的面积是30平方米.
生2：我补充一下，除了分与合的方法还可以用画图的方法与列表的方法. 画图时，先画宽1米，长10米的长方形，面积是10平方米；再画宽2米，长9米的长方形，面积是18平方米；……；通过画图，我得出当宽5米，长6米时，面积最大，是30平方米. 画图后，我觉得太麻烦，又将画图时的数据列成了表格，同样知道“长6米，宽5米时，面积最大”. 师：下面是一名同学预学案的解答方法，看后你有什么想法？
生4：围成长6米、宽5米的长方形，与围成长5米，宽6米的长方形重复了. 因为如果将长方形旋转一下，它们是相同形状的长方形.
生5：这名同学首先画了最大的长方形，然后再画其他形状的长方形，顺序有点乱，我们最好按宽从小到大有序地去画，这样就不会出现重复与遗漏的现象. （板书有序，不重复、不遗漏）
师：在解决这个问题时，有的小组用列表的方法一一呈现可能的结果、有的小组画图、有的列算式、有的借助数的分与合一个一个找出所有可能结果，看起来方式不一样，但在本质上有什么共同的特点？
生6：他们把所有的方法都一一列举出来，然后分析比较，找到面积最大的.
师：在解决问题时，都是有序地，一个一个找出围法，然后分析比较，选择适当的结果，从而解决问题. 这种解决问题的策略，叫做列举（板书）
通过课前预学案的学习，已经基本了解了学生的认知起点，因此，在第一教学环节的学习过程中，重点解决三个问题：
第一，让学生呈现解决例1时的思路与方法，并在汇报过程中，逐步完善学生的认知水平，感受列举策略的价值，学会用列举策略解决问题的方法.
第二，通过错例辨析，一方面帮助学生明白出现重复的原因，另一方面强化列举策略的关键是“有序”.
第三，优化了一一列举策略的方式，使学生在应用列举策略解决实际问题时条理清楚，思路明确，提升学生数学思考的水平.
2. 例题拓展，掌握技能
根据学生已有经验，解决例1困难不大. 但是，对于学生的抽象逻辑思维，以及独立运用列举策略解决实际问题的方法还是不够的，需要启发学生做进一步的深入思考.
教学片断2：
师： 王大叔用22根1米长的木条靠一面墙（如图）围一个长方形花圃，怎样围面积最大？你能用我们刚学习的列表的方式解决这个问题吗？
（学生独立练习）
课前预学案的学习，拓展了学生学习的时间与空间，提高了学生课堂学习的起点，但是，学生对新知内容的建构会是肤浅、表面，而缺乏系统性和逻辑性. 特别是对不同学力的学生而言，知识建构的程度是不一样的. 因此，通过例题的变式，一方面让学生借助表格进行有序列举，巩固强化列举策略解决问题的技能，另一方面深化了实际问题的难度，有利于促进学生在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展. 3. 策略辨析，建构体系
当学生面对各种各样需要解决的问题时，其思维是开放、多方位的，学生是否具有策略意识，是否能够作出正确的策略选择，就显得尤为重要. 因此，在课堂教学结束前夕，教师安排了两道辨析题：
下面两个问题，你准备运用什么样的策略去解决？
（1）梅山小学有一块长方形花圃，长8米. 在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米. 原来花圃的面积是多少平方米？
（2）3本字典的高度是18厘米，10本这样的高度是多少厘米？
辨析的目的一方面让学生通过实例体会到：一一列举的策略可以解决一些生活中的实际问题，但不能解决所有的问题. 另一方面通过对比，让学生逐步建立选择适当策略解决问题的意识，并建构数学知识体系.
四、教学后的思考
1. 高效课堂一定是学生“学得懂，懂得学”的课堂. “学得懂，懂得学”是知识与技能，过程与方法的和谐统一，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，把握住学生的数学学习认知起点，找准学生的最近发展区，通过呈现与分享、讨论与交流、质疑与探究等教学活动，在教师的组织与引导下，让学生自主建构、主动发展的学与教的过程.
2. 高效课堂一定是学生思辨与创新的课堂. 日本数学教育家米山国藏说过：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了. 然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时随地地发生作用，使他们终身受益”. 因此，高效课堂应该是问题发现与问题解决不断螺旋上升的课堂，高效课堂是知识与能力层层递进与发展的课堂，高效课堂是智慧火花在碰撞中不断闪现的课堂，高效课堂是创意无限的课堂.
3. 高效课堂一定是人格养成、人性发展的课堂. 课堂中充满着真实、真诚、真心的人文氛围，教师尊重学生自己对各种现象的理解，倾听他们的看法，洞察他们想法的由来，并以此为根据，与学生共同针对某些问题进行探索与交流. 学生在课堂学习中充满自信，敢于和善于表达自己的观点与见解，并在与他人的分享与交流中获得成就感与自豪感.
【关键词】 教学起点；列举策略；课前预学案；高效课堂
此文为江苏省重点自筹项目《求真课堂：基于陶行知儿童哲学的实践研究》阶段性案例成果.
一、教学前的思考
1. 陶行知先生在《教学合一》文中指出：“先生的责任不在教，而在教学生学. ” 《数学课程标准》（2011年版）的课程基本理念中也明确指出“有效的教学活动是学生学与教师教的统一”，“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教”. 崔允漷教授在《有效教学》第二章“怎样教得有效”的开篇设计了一个问题“请你设想一下，如果安排你上一节课，你在上课前会想什么，将做什么样的准备”. 如果说陶行知先生道出了课堂教学的本质，即教学的根本目的是促进学生愿学、会学、能学. 那么，《数学课程标准》则指明了课堂教学的方向，崔允漷教授则明示了要上好一节有效、高效课的路径与方法.
2. 《解决问题的策略——列举》是苏教版五年级上册第七单元内容，列举策略是生活中解决问题时常用的策略之一，因此学生并不陌生，关键是如何让学生在不重复、不遗漏地列举出符合要求的各种情况的同时，体会列举策略的特点和价值，掌握列举解决问题的方法.
3. 这节课的内容如何让学生学得更好，需要把握四个问题：
（1）对于例题学生解决的方式、解决的程度、能够独立解决此问题的学生范围等学情情况需要明晰.
（2）学生对应用列举策略解决实际问题的方法用语言描述时能否精当.
（3）学生能否熟练应用列举策略解决生活中的实际问题. （4）能否正确选择相应的策略解决生活中的不同问题.
综上所述，教学前的思考涵盖三方面：一是以“学生学”为教学中心；二是努力寻求学生的最近发展区；三是帮助学生建立科学规范的数学基本知识和基本能力.
二、课前预学案探寻学生认知状况
1. 课前预学案的设计
本节课的内容从知识体系的角度分析，学生已经有了初步的认知储备，例如：低年级时学习过数的拆分，中年级时学习过帽子与木偶的搭配问题等，这些个案的学习为学生有序地解决问题奠定了基础. 此外，关于例1中已知周长为22米，如何摆出大小不同的长方形，此类型数学活动在三年级下册第六单元《长方形和正方形的面积》学习时，已经安排了数学活动. 可以说学生已经具备了独立解决例1的数学活动能力. 基于以上认识，我设计了课前预学案，以便找准课堂教学的起点.
2. 学生认知状况分析
例1是学生关于列举策略内涵认知的示例，通过个案让学生感知列举策略的价值与方法，是学生学习列举策略的基础. 因此，正确了解学生对例1学习的状况，是找准教学起点的关键.
①本班共有学生45人，完成课前预学案45人. 对于例1的学习，所有同学都能够通过逐个罗列的方法，找到问题的答案. 其中44名同学没有出现重复与遗漏情况，只有1名同学出现了一例重复的列举. 说明用22根1米长的小棒围成不同形状的长方形，学生的思路与方法比较清晰.
②运用列举策略解决例1的过程中，学生运用了不同的形式，具体情况如下表：
从表中数据可以看出，形象直观的画图形式并不是学生首选，学生还是比较倾向于逻辑性强、条理清晰、便于操作的列表形式.
③ 为了进一步了解“学生对应用列举策略解决实际问题的方法的语言描述”状态时，我采取了访谈法. 访谈对象共10名学生，含三种情况：写两种方式以上的学生3人，写一种方式的学生6人，出现重复情况的学生1人. 通过对学生的访谈可以得出以下三个结论：
第一、在访谈的学生中，有90%的孩子能够清楚地表述出解题思路和解题过程，并且能感受到，解决本题时，需要进行有序地一一列举.
第二、学生能够感受到有序列举的价值，即有序能够做到不重复和不遗漏，但是学生对这样的价值的表述还不够完整和准确.
第三、对于画图、分合式计算、列表三种方式之间的关系不够清晰.
3. 基本结论
（1）列举策略的序化思考学生已经有了比较清晰的理解，课堂教学可基于这样的起点，在学生汇报交流的基础上点拨提升，有效提炼列举策略的内涵与方法.
（2）需要通过 “辨识”、“辨析”等途径和方法，通过丰富的、典型的例子来让学生进一步感受列举策略的价值. 通过“模仿”、“变式”等不同题型的练习，让学生熟练掌握应用列举策略解决实际问题的方法.
三、基于学生学习起点的课堂教学实践
根据课前预学案学生认知水平的探知，重新确立了课堂教学的起点，在学生认知呈现的基础上，通过错例辨识、优化方法、示例拓展、策略辨析等途径，促进学生完善认识，形成能力.
1.认知呈现，点拨提升
教学片断1：
师：昨天预学案第1题你是如何解决的？哪名同学能够把你的解决方法与结果与同学们分享一下？
生1：我用的是分与合的方法. 先用22 ÷ 2 = 11（米），求出一个长一个宽的和，再分别找到围成的长方形的长和宽，用长乘宽算出不同围法的长方形的面积，从小到大，我发现当长是6米，宽是5米时，长方形面积最大，最大的面积是30平方米.
生2：我补充一下，除了分与合的方法还可以用画图的方法与列表的方法. 画图时，先画宽1米，长10米的长方形，面积是10平方米；再画宽2米，长9米的长方形，面积是18平方米；……；通过画图，我得出当宽5米，长6米时，面积最大，是30平方米. 画图后，我觉得太麻烦，又将画图时的数据列成了表格，同样知道“长6米，宽5米时，面积最大”. 师：下面是一名同学预学案的解答方法，看后你有什么想法？
生4：围成长6米、宽5米的长方形，与围成长5米，宽6米的长方形重复了. 因为如果将长方形旋转一下，它们是相同形状的长方形.
生5：这名同学首先画了最大的长方形，然后再画其他形状的长方形，顺序有点乱，我们最好按宽从小到大有序地去画，这样就不会出现重复与遗漏的现象. （板书有序，不重复、不遗漏）
师：在解决这个问题时，有的小组用列表的方法一一呈现可能的结果、有的小组画图、有的列算式、有的借助数的分与合一个一个找出所有可能结果，看起来方式不一样，但在本质上有什么共同的特点？
生6：他们把所有的方法都一一列举出来，然后分析比较，找到面积最大的.
师：在解决问题时，都是有序地，一个一个找出围法，然后分析比较，选择适当的结果，从而解决问题. 这种解决问题的策略，叫做列举（板书）
通过课前预学案的学习，已经基本了解了学生的认知起点，因此，在第一教学环节的学习过程中，重点解决三个问题：
第一，让学生呈现解决例1时的思路与方法，并在汇报过程中，逐步完善学生的认知水平，感受列举策略的价值，学会用列举策略解决问题的方法.
第二，通过错例辨析，一方面帮助学生明白出现重复的原因，另一方面强化列举策略的关键是“有序”.
第三，优化了一一列举策略的方式，使学生在应用列举策略解决实际问题时条理清楚，思路明确，提升学生数学思考的水平.
2. 例题拓展，掌握技能
根据学生已有经验，解决例1困难不大. 但是，对于学生的抽象逻辑思维，以及独立运用列举策略解决实际问题的方法还是不够的，需要启发学生做进一步的深入思考.
教学片断2：
师： 王大叔用22根1米长的木条靠一面墙（如图）围一个长方形花圃，怎样围面积最大？你能用我们刚学习的列表的方式解决这个问题吗？
（学生独立练习）
课前预学案的学习，拓展了学生学习的时间与空间，提高了学生课堂学习的起点，但是，学生对新知内容的建构会是肤浅、表面，而缺乏系统性和逻辑性. 特别是对不同学力的学生而言，知识建构的程度是不一样的. 因此，通过例题的变式，一方面让学生借助表格进行有序列举，巩固强化列举策略解决问题的技能，另一方面深化了实际问题的难度，有利于促进学生在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展. 3. 策略辨析，建构体系
当学生面对各种各样需要解决的问题时，其思维是开放、多方位的，学生是否具有策略意识，是否能够作出正确的策略选择，就显得尤为重要. 因此，在课堂教学结束前夕，教师安排了两道辨析题：
下面两个问题，你准备运用什么样的策略去解决？
（1）梅山小学有一块长方形花圃，长8米. 在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米. 原来花圃的面积是多少平方米？
（2）3本字典的高度是18厘米，10本这样的高度是多少厘米？
辨析的目的一方面让学生通过实例体会到：一一列举的策略可以解决一些生活中的实际问题，但不能解决所有的问题. 另一方面通过对比，让学生逐步建立选择适当策略解决问题的意识，并建构数学知识体系.
四、教学后的思考
1. 高效课堂一定是学生“学得懂，懂得学”的课堂. “学得懂，懂得学”是知识与技能，过程与方法的和谐统一，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，把握住学生的数学学习认知起点，找准学生的最近发展区，通过呈现与分享、讨论与交流、质疑与探究等教学活动，在教师的组织与引导下，让学生自主建构、主动发展的学与教的过程.
2. 高效课堂一定是学生思辨与创新的课堂. 日本数学教育家米山国藏说过：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了. 然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时随地地发生作用，使他们终身受益”. 因此，高效课堂应该是问题发现与问题解决不断螺旋上升的课堂，高效课堂是知识与能力层层递进与发展的课堂，高效课堂是智慧火花在碰撞中不断闪现的课堂，高效课堂是创意无限的课堂.
3. 高效课堂一定是人格养成、人性发展的课堂. 课堂中充满着真实、真诚、真心的人文氛围，教师尊重学生自己对各种现象的理解，倾听他们的看法，洞察他们想法的由来，并以此为根据，与学生共同针对某些问题进行探索与交流. 学生在课堂学习中充满自信，敢于和善于表达自己的观点与见解，并在与他人的分享与交流中获得成就感与自豪感.