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【摘要】数学中的许多概念、公式、定理都带有附加条件，其目的在于指明这些概念、公式的适用范围和定理使用的前提，是其必不可少的组成部分。全面准确地把握附加条件是理解和掌握它们的基础，也是应用于解题的关键。在教学时，需加强分析，透彻理解，引用反例，精选例、习题，以培养学生思维的严谨性、深刻性、批判性和敏捷性。
【关键词】概念 公式 定理 附加条件
Brief talk about the teaching of the concept, formula and theorem with the additive qualification
Shi Lichang
【Abstract】In many mathematics concepts, formulas and theorems, there are some additive qualifications, the purpose of which is to show the applicability scope of the concepts and formula and the use precondition of the theorem clearly, so they are one necessary part. Grasping the additive qualifications generally and correctly is the base for understanding and gripping them and also is the key for solving problems. In teaching, teachers need to strengthen the analysis of them and comprehend them intensively, should cite the counterexamples and choose the examples and exercises carefully so as to cultivate students’ precise, deep, comment and prompt thinking.
【Keywords】Concept Formula Theorem Additive qualification
数学中的许多概念、公式、定理都带有附加条件，其目的在于指明这些概念、公式的适作范围和定理使用的前提，是其必不可少的组成部分。全面准确地把握附加条件是理解和掌握它们的基础，也是应用于解题的关键。对于这类问题的教学，本人认为可以从如下几个方面着手。
1．加强分析，培养学生思维的严谨性。数学概念、公式、定理反映了数学对象的本质属性和特征，能否确切理解它们的含义是思维严谨性的重要标志。因此在教学中，要讲清、讲透其含义，揭示其本质属性，让学生在理解的基础上加以记忆，得心应手地应用。对于带附加条件的概念、公式、定理的应用，学生往往会因忽略这些附加条件而导致解题失误。例如：k为何值时，方程kx2+4x-1=0有两个实根？学生求解时，一般都是这样解：由题意得△＝16+4k≥0，∴k≥－4。这样的解答正确吗？不难发现，它是错的。因为此题虽未明确指出方程是二次方程，但要求的是方程有两个实根时k的值，故二次项系数k≠0，这是因为k=0时，方程变为一元一次方程，仅有一个解，故本题的解为k≥－4且k≠0，这说明应用一元二次方程定义时，不能忽视其附加条件a≠0，一元二次方程有两实根的条件应该是a≠0且△≥0。
要防止因忽略附加条件而产生解题的失误，就要求教师在教学中加强对它们的分析，理解附加条件的作用，全面周密地思考问题，培养学生思维的严谨性。
2．透彻理解，培养学生思维的深刻性。数学概念、公式、定理的附加条件，在解题时就成了该题的隐含条件，而发掘和利用这些隐含条件，既对解题起着举足轻重的作用，又能很好地训练学生思维的深刻性。而要能发掘和利用这些隐含条件，就要求学生善于透过外表，把握问题的本质，抓住问题的核心。因此在教学这类命题时，教师应要求学生透彻理解这些概念的含义，紧扣其附加条件。例如教学二次根式这个概念时，要紧紧盯住括号中的条件a≥0， 表示a的算术平方根，它是一个非负数，即 。可知二次根式实际上是算术平方根的另一种说法，因此明白a≥0的来龙去脉，同时理解这个定义包含了两个非负数：一是被开方数a为非负数，二是 的值为非负数。正确理解和抓住这些特征，许多似乎无从下手的问题，也能迎刃而解。
例、计算
解：由原式知 和 均有意义
∴
∴x2－1=0，∴x=±1
又当a=1时，分母1－x=0，原式无意义，故x=－1
原式=
本题就是充分利用隐含条件来解题。而发掘和利用隐含条件的基础和前提是透彻理解这些概念、公式、定理，让它们的附加条件在学生的脑海中打下深深的烙印。
3．引用反例，培养学生思维的批判性。一些概念、公式、定理，从正面看，它的附加条件似乎可有可无，其实，它是至关重要的。为引起学生警觉，防止思考问题时产生片面性和表面性，可列举一些反例，既说明附加条件的重要性，又训练学生思维的批判性。如：
问题：把 的分母有理化。
在解答上面问题时，有甲、乙两位同学是这样做的：
甲解：
乙解：
尽管两个解的结果是相同的，但不难发现甲的解答是错误的，因为分母有理化和约分的依据是分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。但上题中，并没有条件a≠b，从而与a－b均可能为零。所以，甲的解法中，第一步与第三步都是错误的。通过这些反例练习，既会警惕学生以后不出现类似错误，又理解了附加条件的重要性，从而能准确应用这类概念、公式、定理。
4．精选例、习题，培养学生思维的敏捷性。教师例题的讲解，学生的练习是巩固理解和运用概念、公式、定理的重要环节。而精选例习题，让学生准确掌握这些基础知识，形成熟练的基本技能，达到融会贯通，思维敏捷又是这一环的关键。如学习等比定理后，可选下列题组讲解与练习：①已知x/2=y/3=z/4，求（x+y+z）/x。②已知x/a-b=y/b-c=z/c-a，其中a、b、c是互不相等的实数，求证x+y+z=0。③已知b+c/a=c+a/b=a+b/c=k，求k的值。这组题各比例的各项之和由具体的数9，到特殊的0，再到其值不确定，因而解法各异，①题可用等比定理，②题不能用等比定理，③题要讨论a+b+c不为0时，才能用等比定理。题设外形一样的三个题，会有三种不同的结果。正因为如此，数学教学中，应训练学生如何通过观察、分析，迅速选择恰当方法求解，提高思维的敏捷性。
综上所述，在初中数学教带附加条件的概念、公式、定理时，必须根据学生的心理特点和教材的实际，引导归纳，系统讲练，教学方法灵活，培养学生良好的思维品质。
【关键词】概念 公式 定理 附加条件
Brief talk about the teaching of the concept, formula and theorem with the additive qualification
Shi Lichang
【Abstract】In many mathematics concepts, formulas and theorems, there are some additive qualifications, the purpose of which is to show the applicability scope of the concepts and formula and the use precondition of the theorem clearly, so they are one necessary part. Grasping the additive qualifications generally and correctly is the base for understanding and gripping them and also is the key for solving problems. In teaching, teachers need to strengthen the analysis of them and comprehend them intensively, should cite the counterexamples and choose the examples and exercises carefully so as to cultivate students’ precise, deep, comment and prompt thinking.
【Keywords】Concept Formula Theorem Additive qualification
数学中的许多概念、公式、定理都带有附加条件，其目的在于指明这些概念、公式的适作范围和定理使用的前提，是其必不可少的组成部分。全面准确地把握附加条件是理解和掌握它们的基础，也是应用于解题的关键。对于这类问题的教学，本人认为可以从如下几个方面着手。
1．加强分析，培养学生思维的严谨性。数学概念、公式、定理反映了数学对象的本质属性和特征，能否确切理解它们的含义是思维严谨性的重要标志。因此在教学中，要讲清、讲透其含义，揭示其本质属性，让学生在理解的基础上加以记忆，得心应手地应用。对于带附加条件的概念、公式、定理的应用，学生往往会因忽略这些附加条件而导致解题失误。例如：k为何值时，方程kx2+4x-1=0有两个实根？学生求解时，一般都是这样解：由题意得△＝16+4k≥0，∴k≥－4。这样的解答正确吗？不难发现，它是错的。因为此题虽未明确指出方程是二次方程，但要求的是方程有两个实根时k的值，故二次项系数k≠0，这是因为k=0时，方程变为一元一次方程，仅有一个解，故本题的解为k≥－4且k≠0，这说明应用一元二次方程定义时，不能忽视其附加条件a≠0，一元二次方程有两实根的条件应该是a≠0且△≥0。
要防止因忽略附加条件而产生解题的失误，就要求教师在教学中加强对它们的分析，理解附加条件的作用，全面周密地思考问题，培养学生思维的严谨性。
2．透彻理解，培养学生思维的深刻性。数学概念、公式、定理的附加条件，在解题时就成了该题的隐含条件，而发掘和利用这些隐含条件，既对解题起着举足轻重的作用，又能很好地训练学生思维的深刻性。而要能发掘和利用这些隐含条件，就要求学生善于透过外表，把握问题的本质，抓住问题的核心。因此在教学这类命题时，教师应要求学生透彻理解这些概念的含义，紧扣其附加条件。例如教学二次根式这个概念时，要紧紧盯住括号中的条件a≥0， 表示a的算术平方根，它是一个非负数，即 。可知二次根式实际上是算术平方根的另一种说法，因此明白a≥0的来龙去脉，同时理解这个定义包含了两个非负数：一是被开方数a为非负数，二是 的值为非负数。正确理解和抓住这些特征，许多似乎无从下手的问题，也能迎刃而解。
例、计算
解：由原式知 和 均有意义
∴
∴x2－1=0，∴x=±1
又当a=1时，分母1－x=0，原式无意义，故x=－1
原式=
本题就是充分利用隐含条件来解题。而发掘和利用隐含条件的基础和前提是透彻理解这些概念、公式、定理，让它们的附加条件在学生的脑海中打下深深的烙印。
3．引用反例，培养学生思维的批判性。一些概念、公式、定理，从正面看，它的附加条件似乎可有可无，其实，它是至关重要的。为引起学生警觉，防止思考问题时产生片面性和表面性，可列举一些反例，既说明附加条件的重要性，又训练学生思维的批判性。如：
问题：把 的分母有理化。
在解答上面问题时，有甲、乙两位同学是这样做的：
甲解：
乙解：
尽管两个解的结果是相同的，但不难发现甲的解答是错误的，因为分母有理化和约分的依据是分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。但上题中，并没有条件a≠b，从而与a－b均可能为零。所以，甲的解法中，第一步与第三步都是错误的。通过这些反例练习，既会警惕学生以后不出现类似错误，又理解了附加条件的重要性，从而能准确应用这类概念、公式、定理。
4．精选例、习题，培养学生思维的敏捷性。教师例题的讲解，学生的练习是巩固理解和运用概念、公式、定理的重要环节。而精选例习题，让学生准确掌握这些基础知识，形成熟练的基本技能，达到融会贯通，思维敏捷又是这一环的关键。如学习等比定理后，可选下列题组讲解与练习：①已知x/2=y/3=z/4，求（x+y+z）/x。②已知x/a-b=y/b-c=z/c-a，其中a、b、c是互不相等的实数，求证x+y+z=0。③已知b+c/a=c+a/b=a+b/c=k，求k的值。这组题各比例的各项之和由具体的数9，到特殊的0，再到其值不确定，因而解法各异，①题可用等比定理，②题不能用等比定理，③题要讨论a+b+c不为0时，才能用等比定理。题设外形一样的三个题，会有三种不同的结果。正因为如此，数学教学中，应训练学生如何通过观察、分析，迅速选择恰当方法求解，提高思维的敏捷性。
综上所述，在初中数学教带附加条件的概念、公式、定理时，必须根据学生的心理特点和教材的实际，引导归纳，系统讲练，教学方法灵活，培养学生良好的思维品质。