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摘要:离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要基础课,搞好本课程的教学,不但能为学生学好后续课程奠定坚实的数学理论基础,而且有利于培养学生的计算机数学思维,并且在进一步的学习和工作中适应本学科专业的发展。本文结合教学实践,就当前离散数学教学存在的问题以及教学改革思路作了较为深入的分析。
关键词:离散数学；教学改革；教学方法
一、引言
离散数学课程是介绍离散数学各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程,业已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论,大量地应用在“数字电路”、“编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、“数据库系统”、“算法的分析与设计”、“软件工程”、“人工智能”、“多媒体技术”、“计算机网络”等专业课程以及“信息管理”、“信号处理”等相关课程中；它所提供的训练,十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高,十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。计算机技术作为当今信息社会信息技术的核心,已经成为知识经济最强有力的技术支持,成为人们工作、学习和生活中获取信息、处理信息、运用信息的重要工具。众所周知,计算机求解的基本模式是:实际问题→数学建模→算法设计→编程实现,那么,为数学建模打下知识基础、为算法设计提供具体指导的离散数学,理所当然地与我们发生越来越密切的关系。离散数学是计算机科学的基础内容,计算机技术的许多领域都要用到离散数学中的概念。离散结构包括集合论、逻辑学、图论和组合学等重要内容。这些内容从事计算机技术的人都要求掌握和了解。因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。总之,为了适应计算技术的要求及将来的发展,学生需要对离散结构有比较深入的理解。
二、目前离散数学教学中存在的问题
1.教学观念问题。
在教学思想上的改革措施不力,教学内容上陈旧。一方面是按纯数学来讲授,不能与学科很好地结合来加深理解,也不能调动学生的学习积极性；另一方面是数学思想、数学思维、计算机抽象推理思维在教学过程中融会不足,这显然是不利于学生后期发展的。这首先要求教师改变教学观念。
2.教材方面问题。
目前离散数学教材不少,但大多雷同,真正有影响的国内教材很少,而且大都是纯数学教材,总体上,这是不利于学生学习的。而且,由于离散数学课程教与学的难度都很大,教学学时减少,对于大多数低年级学生来说,在理解掌握离散数学基本知识方面更是增加了难度,这也对教材建设提出了更高的要求。
3.教学方式与教学方法。
随着各高校教学改革的深入,课时量减少,知识点不变，所以课堂时间比较紧，师生相互交流沟通少,这对教师的教学方式提出了更高的要求,要求能够开展有利于学生课外自学的教学方式,如利用网络学习等。
三、离散数学教学的几点思考
1.教学观念的转变。
“以教师为主导、以学生为主体”,以提高学生素质为根本宗旨,把握学科教育本质和目的,以培养学生创新精神和学习能力、实践能力为重点,这是由计算机科学知识发展更新快、学科交叉程度高、应用面广的特点所决定的。这就要求培养出来的学生具有扎实的理论基础,具有很宽的专业知识面,有很强的继续学习能力,具有强的适应学科发展的能力。现在很多计算机专业本科生在当前市场经济大潮影响下,只注重实际编程能力的训练,不注重基础理论的学习,不注重形式化方法的学习,认为只要有较强的编程能力,就可以找到好的工作。事实上,这正如前文所述,不过是具体学科中的一般应用而已。结果是毕业生不能阅读本专业期刊文章,如《计算机学报》等,不具有进一步学习的能力,这样的学生显然不具备真正的竞争力,如此下去,毕业生后期的学习工作中的发展能力将是非常有限的,我国在计算机领域的发展很难赶上先进国家。
2.教学内容、教材建设。
传统的离散数学教学内容包括4部分:集合论、数理逻辑、代数结构与图论,当然,这4部分是非常重要的基础。我们从培养基础理论以及有利于后续课程的学习考虑,还应该适当补充部分内容,如,一般学校在本科阶段未开设形式语言与自动机课程,如果在离散数学课程中适当补充形式语言、自动机的内容,这将有利于学生较为深入地把握现代计算机的本质原理,有利于学生对于计算机语言的理解,有利于后续编译原理等课程的学习理解,这事实上也是有利于学生从事软件开发工作的。
3.教学方法。
在教学过程中,我们采用了多种教学方法,具体如下几方面:
(1) 教学手段。
在课堂教学中，要合理使用多媒体教学。离散数学内容非常广泛，概念定理丰富，如果纯粹用板书的形式，则会耗费大量的时间。但是如果一律采用多媒体来进行演示，教师只是看着屏幕讲，学生就像看电影一样，也很难使学生掌握多少课程的实质。因此，离散数学的教学应以板书讲解为主，课件演示为辅。在需要和学生们一起思考演算的部分则采用板书的形式，而对于一般知识性的内容等则可采用多媒体来进行演示。例如：在讲解图论中关于哈密顿图的知识时，可以先用投影仪打出一个实心的正12面体，20个顶点标上世界著名大城市的名字，要求学生从某一城市出发，遍历各城市一次，最后回到原地。给学生一段时间寻找路径后，用动画显示出寻找路径的过程，然后给出哈密顿图的定义，以及哈密顿图的实例，从中让学生归纳哈密顿图的性质以及如何来判断给出的图形是否是哈密顿图。这些知识都掌握以后，可以向学生介绍一下哈密顿图在计算机网络布局中的应用，学生在对哈密顿图的认识从具体→抽象→具体的过程中达到了对哈密顿图的深刻理解。这样既保证了上课时间的充分利用，也增加了每堂课的信息量和趣味性，从而达到一种最佳的结合点。
(2)基础理论与学科应用相结合。
国外一般称离散数学课程为“离散数学结构”,这也许才是最为准确的,计算机能处理的必然是结构化的离散数据,“由于离散数学的结构性特征与反映计算机科学本质的能行性之间形成了天然的一致,从而使离散数学的构造性特征决定了计算机科学的许多理论，同时具有理论、技术、工程等多重属性,决定了其许多理论、技术和工程的内容是相互渗透在一起的,是不可分的”。我们认为,在离散數学课程的教学过程中,我们应该在讲解分析理论基础上结合学科应用,这无论从学科的本质特点,还是利于学生的学习掌握考虑,是必须注意到的一点。
(3)抽象与具体相结合。
离散数学中,有许多定义、定理、规则,教科书上对其描述很精练,但初学者常常感到很抽象。如“群”即是一个抽象的概念,在讲解时,我们先给出一个以前学习过的数域,并结合其上的运算,再逐步引出群的定义,这样学生就不会感到抽象、难于理解。
(4)触类旁通，注重关联。
在讲课时，针对内容多、学时少的突出矛盾，不但对所讲授内容应有所侧重，而且还应充分考虑到各章节之间相关联的内容，采用类比的方法，揭示出它们相同的内涵，找出它们之间的联系，从而减少了学生学习上的困难。例如，在讲解命题逻辑的命题定律和集合的运算律时，就可采用类比的方法使之融会贯通。再如,集合相等与命题公式等价，命题逻辑的推理理论与一阶逻辑的推理理论，以及图论中有关欧拉图、哈密顿图、平面图和二部图这几种特殊图等内容的讲授中,也可采用上述方法,可以取得事半功倍效果。
四、结语
离散数学教学是计算机专业教学的关键环节,在充分分析当前教学中存在的问题的基础上,我们认为进行离散数学课程教学改革主要在于教学观念的转变、教学内容的改变、教学方式的改革,特别是网络课程的建设。实践证明,这样的教学改革是有利于搞好离散数学课程教学。
参考文献:
[1]耿素云,屈婉玲.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2006.
[2]赵青杉,孟国艳.离散数学多媒体课件的开发与应用[J].计算机科学,2004,33(11):304-305.
[3]邵学才等.离散数学[M].北京:清华大学出版社,2001.
[4]孙凤芝,刘建群,祁彦平.计算机专业离散数学教学侧重点的转变[J].高师理科学刊,2005 (1):87.
基金项目：2007年黑龙江省高等学校教学改革工程项目，黑教高[2007-29文]。
编辑/岳凤
关键词:离散数学；教学改革；教学方法
一、引言
离散数学课程是介绍离散数学各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程,业已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论,大量地应用在“数字电路”、“编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、“数据库系统”、“算法的分析与设计”、“软件工程”、“人工智能”、“多媒体技术”、“计算机网络”等专业课程以及“信息管理”、“信号处理”等相关课程中；它所提供的训练,十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高,十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。计算机技术作为当今信息社会信息技术的核心,已经成为知识经济最强有力的技术支持,成为人们工作、学习和生活中获取信息、处理信息、运用信息的重要工具。众所周知,计算机求解的基本模式是:实际问题→数学建模→算法设计→编程实现,那么,为数学建模打下知识基础、为算法设计提供具体指导的离散数学,理所当然地与我们发生越来越密切的关系。离散数学是计算机科学的基础内容,计算机技术的许多领域都要用到离散数学中的概念。离散结构包括集合论、逻辑学、图论和组合学等重要内容。这些内容从事计算机技术的人都要求掌握和了解。因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。总之,为了适应计算技术的要求及将来的发展,学生需要对离散结构有比较深入的理解。
二、目前离散数学教学中存在的问题
1.教学观念问题。
在教学思想上的改革措施不力,教学内容上陈旧。一方面是按纯数学来讲授,不能与学科很好地结合来加深理解,也不能调动学生的学习积极性；另一方面是数学思想、数学思维、计算机抽象推理思维在教学过程中融会不足,这显然是不利于学生后期发展的。这首先要求教师改变教学观念。
2.教材方面问题。
目前离散数学教材不少,但大多雷同,真正有影响的国内教材很少,而且大都是纯数学教材,总体上,这是不利于学生学习的。而且,由于离散数学课程教与学的难度都很大,教学学时减少,对于大多数低年级学生来说,在理解掌握离散数学基本知识方面更是增加了难度,这也对教材建设提出了更高的要求。
3.教学方式与教学方法。
随着各高校教学改革的深入,课时量减少,知识点不变，所以课堂时间比较紧，师生相互交流沟通少,这对教师的教学方式提出了更高的要求,要求能够开展有利于学生课外自学的教学方式,如利用网络学习等。
三、离散数学教学的几点思考
1.教学观念的转变。
“以教师为主导、以学生为主体”,以提高学生素质为根本宗旨,把握学科教育本质和目的,以培养学生创新精神和学习能力、实践能力为重点,这是由计算机科学知识发展更新快、学科交叉程度高、应用面广的特点所决定的。这就要求培养出来的学生具有扎实的理论基础,具有很宽的专业知识面,有很强的继续学习能力,具有强的适应学科发展的能力。现在很多计算机专业本科生在当前市场经济大潮影响下,只注重实际编程能力的训练,不注重基础理论的学习,不注重形式化方法的学习,认为只要有较强的编程能力,就可以找到好的工作。事实上,这正如前文所述,不过是具体学科中的一般应用而已。结果是毕业生不能阅读本专业期刊文章,如《计算机学报》等,不具有进一步学习的能力,这样的学生显然不具备真正的竞争力,如此下去,毕业生后期的学习工作中的发展能力将是非常有限的,我国在计算机领域的发展很难赶上先进国家。
2.教学内容、教材建设。
传统的离散数学教学内容包括4部分:集合论、数理逻辑、代数结构与图论,当然,这4部分是非常重要的基础。我们从培养基础理论以及有利于后续课程的学习考虑,还应该适当补充部分内容,如,一般学校在本科阶段未开设形式语言与自动机课程,如果在离散数学课程中适当补充形式语言、自动机的内容,这将有利于学生较为深入地把握现代计算机的本质原理,有利于学生对于计算机语言的理解,有利于后续编译原理等课程的学习理解,这事实上也是有利于学生从事软件开发工作的。
3.教学方法。
在教学过程中,我们采用了多种教学方法,具体如下几方面:
(1) 教学手段。
在课堂教学中，要合理使用多媒体教学。离散数学内容非常广泛，概念定理丰富，如果纯粹用板书的形式，则会耗费大量的时间。但是如果一律采用多媒体来进行演示，教师只是看着屏幕讲，学生就像看电影一样，也很难使学生掌握多少课程的实质。因此，离散数学的教学应以板书讲解为主，课件演示为辅。在需要和学生们一起思考演算的部分则采用板书的形式，而对于一般知识性的内容等则可采用多媒体来进行演示。例如：在讲解图论中关于哈密顿图的知识时，可以先用投影仪打出一个实心的正12面体，20个顶点标上世界著名大城市的名字，要求学生从某一城市出发，遍历各城市一次，最后回到原地。给学生一段时间寻找路径后，用动画显示出寻找路径的过程，然后给出哈密顿图的定义，以及哈密顿图的实例，从中让学生归纳哈密顿图的性质以及如何来判断给出的图形是否是哈密顿图。这些知识都掌握以后，可以向学生介绍一下哈密顿图在计算机网络布局中的应用，学生在对哈密顿图的认识从具体→抽象→具体的过程中达到了对哈密顿图的深刻理解。这样既保证了上课时间的充分利用，也增加了每堂课的信息量和趣味性，从而达到一种最佳的结合点。
(2)基础理论与学科应用相结合。
国外一般称离散数学课程为“离散数学结构”,这也许才是最为准确的,计算机能处理的必然是结构化的离散数据,“由于离散数学的结构性特征与反映计算机科学本质的能行性之间形成了天然的一致,从而使离散数学的构造性特征决定了计算机科学的许多理论，同时具有理论、技术、工程等多重属性,决定了其许多理论、技术和工程的内容是相互渗透在一起的,是不可分的”。我们认为,在离散數学课程的教学过程中,我们应该在讲解分析理论基础上结合学科应用,这无论从学科的本质特点,还是利于学生的学习掌握考虑,是必须注意到的一点。
(3)抽象与具体相结合。
离散数学中,有许多定义、定理、规则,教科书上对其描述很精练,但初学者常常感到很抽象。如“群”即是一个抽象的概念,在讲解时,我们先给出一个以前学习过的数域,并结合其上的运算,再逐步引出群的定义,这样学生就不会感到抽象、难于理解。
(4)触类旁通，注重关联。
在讲课时，针对内容多、学时少的突出矛盾，不但对所讲授内容应有所侧重，而且还应充分考虑到各章节之间相关联的内容，采用类比的方法，揭示出它们相同的内涵，找出它们之间的联系，从而减少了学生学习上的困难。例如，在讲解命题逻辑的命题定律和集合的运算律时，就可采用类比的方法使之融会贯通。再如,集合相等与命题公式等价，命题逻辑的推理理论与一阶逻辑的推理理论，以及图论中有关欧拉图、哈密顿图、平面图和二部图这几种特殊图等内容的讲授中,也可采用上述方法,可以取得事半功倍效果。
四、结语
离散数学教学是计算机专业教学的关键环节,在充分分析当前教学中存在的问题的基础上,我们认为进行离散数学课程教学改革主要在于教学观念的转变、教学内容的改变、教学方式的改革,特别是网络课程的建设。实践证明,这样的教学改革是有利于搞好离散数学课程教学。
参考文献:
[1]耿素云,屈婉玲.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2006.
[2]赵青杉,孟国艳.离散数学多媒体课件的开发与应用[J].计算机科学,2004,33(11):304-305.
[3]邵学才等.离散数学[M].北京:清华大学出版社,2001.
[4]孙凤芝,刘建群,祁彦平.计算机专业离散数学教学侧重点的转变[J].高师理科学刊,2005 (1):87.
基金项目：2007年黑龙江省高等学校教学改革工程项目，黑教高[2007-29文]。
编辑/岳凤