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摘 要：本着“以终为始”的逆向教学设计思路，从预期学习目标设定倒推学生理解的表现证据，再着手设计教学活动帮助学生自然地理解核心概念。本课是人教版高中数学选择性必修（2019版）第二册第四章第一节，教学重点是数列的概念、表示方法及数列与函数的关系。预设学生应达目标为通过观察实例，初步形成数列的概念，能够准确辨析数组是否为数列;通过问题系统的引领，建立数列和函数之间的关系，认识数列是一种特殊的函数，并能对数列进行简单分类;了解数列几种简单的表示方法;培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模的学科核心素养。
关键词：高中数学;逆向教学设计;概念教学
为凸显数学来源于生活并指导生活的实用性及时代特征，特安排班内学习小组各上交一个生活中的“数列”例子，并在课堂上展示。通过“知”与“行”结合，一方面实现积累数学活动经验;另一方面，培养学生形成正确的发展观、价值观，实现立德树人目标。
学生1：我有一本习题册，每天做题1页并记录下完成页码。
学生2：我们每天上午跑操2圈，记下从本学期开学起按照日期把各天跑的圈数。
学生3：为防控新冠疫情，班级体温检测表上我每天早上的体温数值。
学生4：从今天开始倒计时高考的天数，排成一个表每天划消。
学生5：我们学校东边快递点每天收到的快递数，按照日期记录下来。
学生6：我爸爸炒股，记录每个交易日大盘涨跌的点数。
教师：自2019年12月27日医生张继先上报中国第一例新冠疫情起，我国每日新增确诊人数。
根据师生们提供的素材，设置问题组令学生小组合作探究。问题1：从数学的角度观察思考，这些问题的答案有何共同特点？如果它们是某些“数列”，那么如何定义“数列”？如果认为其中有的数组不是数列，又是什么原因？问题2：“千里之行始于足下”，任何一个数列都有第1项，若项的序号确定，则该项就是唯一确定的。你是否能联想到某个相似的概念？请尝试阐述二者的关系。问题3：观察以上例子中项的变化特征，尝试按照标准1：“递增数列”、“递减数列”、“常数列”、“摆动数列”进行分类，再按照标准2：“有穷数列”与“无穷数列”进行分类。问题4：哪些方式可以用来表示一个函数的自变量x与因变量y之间的对应关系呢？数列部分又该如何表示呢？
通过学生展示、辨析与阐释，师生达成共识。问题1抽象出“数列”的本质特征：研究对象是数字且数字排列按照一定顺序。教师指导学生阅读教材中列涉及的各种名词（项，首项，序号，项数及符号表示），将课本中提供的案例作为教学场景的扩大。问题2提示学生联系已有知识体系，感悟“函数”是本课的“大概念”，类比思考的对象数列其实是一种特殊的函数。问题3类比函数的单调性来对数列进行分类;且分类标准不同，分类方式也不同。问题4利用以“旧”带“新”、从一般到特殊的思考方式，引导学生从函数三要素的角度思考，关注数列的表示方法，较为抽象的数列通项公式其实就是函数的解析式。而数列的其他表示方法（列表法、图象法、递推公式法）比较直观，可以让学生自学习得。
本环节看似只有四个思考问题，但在生生交流、师生交流中的不断设问追问，整个问题系涉及十多个小问题，层层递进，遍布数列概念的内涵与外延。这种探究模式意在培养学生“自学自问自答自悟自查”的学习方法。其中“自查”体现在“过程性自我评价”的模块，它是“逆向教学设计”的一个主要特征，是指导学生在学习过程中自我了解的工具，有定位、提醒、鞭策、激励的作用。评价的描述是按三个程度设计的，学生阅读勾选符合的选项。
【过程性评价1】
①可感知哪些数组是数列，但无法准确概括数列概念的要点，无法建立数列与函数的关系，在数列分类时有模糊的地方。
②可阐述数列概念，初步感知数列与函数的关系，但还不能熟练使用术语、符号描述涉及的数据及关系，可以对给定数列进行正确分类，但耗费时间较长。
③能理解并阐述数列概念的要点，理解数列与函数的内在逻辑关系，能熟练使用术语、符号描述案例涉及的数列及分类标准，可以快速准确的对给定数列进行分类。
为使学生顺利将数列這一新概念及符号纳入已有知识网络、夯实运算基础，将课本中的例题1（根据给定数列的通项公式写出前5项，并画出图象）、例题2（根据给定数列的前4项，再写出数列的一个通项公式）与例题3（给定一个数列的通项公式，试判断某个数字是否为该数列中的项），采用“开火车”的游戏进行练习与批改。该环节培养学生的归纳推理能力，即小学初中“找规律”的延伸，将所找规律用数学的符号语言概括出来，这正是“用数学的观点、手段认识、表达世界”的要求。教师追问：是否所有的数列都有自己的通项公式？如果一个数列有通项公式，那么通项公式的形式是唯一的吗？学生已经可以轻松作答。
【过程性评价2】
①在老师或同学的提示下能理解数列是一种特殊的函数，可简单运用某种数列的表示方法，尚难以自如选择合适的方法。
②知道数列是一种特殊的函数，能以函数的观点理解数列的通项公式的意义;可以选择合适的表示方法来表示数列。
③知道数列是一种特殊的函数，能以函数解的观点来理解数列的通项公式的意义，并能用于解决问题、用数学的语言阐释原理;可以多角度、辩证的理解数列表示方法的多样性及优劣，选择合适的方法。
本课尾声设计一个半开放情境：现阶段中国在抗击新冠疫情的战斗中取得了辉煌成就，我们的党和国家领导人汇集多方面专业人士的智慧，及时号召全民带口罩出行、减少聚集甚至封城等举措，极大的降低了病毒传染速度和数量，为世界抗疫率先垂范。试想当初如果没有这些举措，1个病毒感染者平均传染个健康人，那么每日新增确诊人数构成的数列，会是什么？累计确诊人数又会是多少？累计确诊人数相当于数列问题中的什么要素呢？请各小组选择不同的值，通过今天所学的知识，来谈谈自己的感想。
教师点评：人类历史浩渺如海，新冠疫情仅是沧海一粟，只要我们运用科学与智慧必将战胜困难。所有一切诋毁抹黑中国抗疫措施的言论，在血淋淋的病患、病亡数字面前是多么不堪一击。愿同学们学以致用，发扬年轻人的使命感、民族自豪感，成长为不惧艰险、敢为天下先的栋梁之才。
参考文献：
[1]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格 .追求理解的教学设计（第二版）[M]/上海：华东师范大学出版社2017-03-01.
作者简介：马燕丽（1983-），女，汉，山东青岛人，中学二级教师，本科，研究方向：高中数学逆向教学设计
关键词：高中数学;逆向教学设计;概念教学
为凸显数学来源于生活并指导生活的实用性及时代特征，特安排班内学习小组各上交一个生活中的“数列”例子，并在课堂上展示。通过“知”与“行”结合，一方面实现积累数学活动经验;另一方面，培养学生形成正确的发展观、价值观，实现立德树人目标。
学生1：我有一本习题册，每天做题1页并记录下完成页码。
学生2：我们每天上午跑操2圈，记下从本学期开学起按照日期把各天跑的圈数。
学生3：为防控新冠疫情，班级体温检测表上我每天早上的体温数值。
学生4：从今天开始倒计时高考的天数，排成一个表每天划消。
学生5：我们学校东边快递点每天收到的快递数，按照日期记录下来。
学生6：我爸爸炒股，记录每个交易日大盘涨跌的点数。
教师：自2019年12月27日医生张继先上报中国第一例新冠疫情起，我国每日新增确诊人数。
根据师生们提供的素材，设置问题组令学生小组合作探究。问题1：从数学的角度观察思考，这些问题的答案有何共同特点？如果它们是某些“数列”，那么如何定义“数列”？如果认为其中有的数组不是数列，又是什么原因？问题2：“千里之行始于足下”，任何一个数列都有第1项，若项的序号确定，则该项就是唯一确定的。你是否能联想到某个相似的概念？请尝试阐述二者的关系。问题3：观察以上例子中项的变化特征，尝试按照标准1：“递增数列”、“递减数列”、“常数列”、“摆动数列”进行分类，再按照标准2：“有穷数列”与“无穷数列”进行分类。问题4：哪些方式可以用来表示一个函数的自变量x与因变量y之间的对应关系呢？数列部分又该如何表示呢？
通过学生展示、辨析与阐释，师生达成共识。问题1抽象出“数列”的本质特征：研究对象是数字且数字排列按照一定顺序。教师指导学生阅读教材中列涉及的各种名词（项，首项，序号，项数及符号表示），将课本中提供的案例作为教学场景的扩大。问题2提示学生联系已有知识体系，感悟“函数”是本课的“大概念”，类比思考的对象数列其实是一种特殊的函数。问题3类比函数的单调性来对数列进行分类;且分类标准不同，分类方式也不同。问题4利用以“旧”带“新”、从一般到特殊的思考方式，引导学生从函数三要素的角度思考，关注数列的表示方法，较为抽象的数列通项公式其实就是函数的解析式。而数列的其他表示方法（列表法、图象法、递推公式法）比较直观，可以让学生自学习得。
本环节看似只有四个思考问题，但在生生交流、师生交流中的不断设问追问，整个问题系涉及十多个小问题，层层递进，遍布数列概念的内涵与外延。这种探究模式意在培养学生“自学自问自答自悟自查”的学习方法。其中“自查”体现在“过程性自我评价”的模块，它是“逆向教学设计”的一个主要特征，是指导学生在学习过程中自我了解的工具，有定位、提醒、鞭策、激励的作用。评价的描述是按三个程度设计的，学生阅读勾选符合的选项。
【过程性评价1】
①可感知哪些数组是数列，但无法准确概括数列概念的要点，无法建立数列与函数的关系，在数列分类时有模糊的地方。
②可阐述数列概念，初步感知数列与函数的关系，但还不能熟练使用术语、符号描述涉及的数据及关系，可以对给定数列进行正确分类，但耗费时间较长。
③能理解并阐述数列概念的要点，理解数列与函数的内在逻辑关系，能熟练使用术语、符号描述案例涉及的数列及分类标准，可以快速准确的对给定数列进行分类。
为使学生顺利将数列這一新概念及符号纳入已有知识网络、夯实运算基础，将课本中的例题1（根据给定数列的通项公式写出前5项，并画出图象）、例题2（根据给定数列的前4项，再写出数列的一个通项公式）与例题3（给定一个数列的通项公式，试判断某个数字是否为该数列中的项），采用“开火车”的游戏进行练习与批改。该环节培养学生的归纳推理能力，即小学初中“找规律”的延伸，将所找规律用数学的符号语言概括出来，这正是“用数学的观点、手段认识、表达世界”的要求。教师追问：是否所有的数列都有自己的通项公式？如果一个数列有通项公式，那么通项公式的形式是唯一的吗？学生已经可以轻松作答。
【过程性评价2】
①在老师或同学的提示下能理解数列是一种特殊的函数，可简单运用某种数列的表示方法，尚难以自如选择合适的方法。
②知道数列是一种特殊的函数，能以函数的观点理解数列的通项公式的意义;可以选择合适的表示方法来表示数列。
③知道数列是一种特殊的函数，能以函数解的观点来理解数列的通项公式的意义，并能用于解决问题、用数学的语言阐释原理;可以多角度、辩证的理解数列表示方法的多样性及优劣，选择合适的方法。
本课尾声设计一个半开放情境：现阶段中国在抗击新冠疫情的战斗中取得了辉煌成就，我们的党和国家领导人汇集多方面专业人士的智慧，及时号召全民带口罩出行、减少聚集甚至封城等举措，极大的降低了病毒传染速度和数量，为世界抗疫率先垂范。试想当初如果没有这些举措，1个病毒感染者平均传染个健康人，那么每日新增确诊人数构成的数列，会是什么？累计确诊人数又会是多少？累计确诊人数相当于数列问题中的什么要素呢？请各小组选择不同的值，通过今天所学的知识，来谈谈自己的感想。
教师点评：人类历史浩渺如海，新冠疫情仅是沧海一粟，只要我们运用科学与智慧必将战胜困难。所有一切诋毁抹黑中国抗疫措施的言论，在血淋淋的病患、病亡数字面前是多么不堪一击。愿同学们学以致用，发扬年轻人的使命感、民族自豪感，成长为不惧艰险、敢为天下先的栋梁之才。
参考文献：
[1]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格 .追求理解的教学设计（第二版）[M]/上海：华东师范大学出版社2017-03-01.
作者简介：马燕丽（1983-），女，汉，山东青岛人，中学二级教师，本科，研究方向：高中数学逆向教学设计