ＭａｔＬａｂ在线性代数教学中的应用

• 作 者: 杜 静
• 出 处: 陕西教育·高教版
• 发表日期: 2008年4期

　　线性代数是讨论有限空间中线性关系经典理论的课程，是高职院校工科各专业的一门重要必修课，它逻辑性强、计算技巧高、具有较强的抽象性。而MATLAB软件是由美国Mathworks公司于1984推出的科技应用软件，具有数值和符号计算，计算结果和编程可视化，数学和文字统一处理，离线和在线计算等强大功能，尤其在矩阵运算方面有具大的应用。是进行线性代数课程辅助教学的有益工具。在教学中应该把两者很好地结合起来，发挥现代科技的作用。
　　
　　理论基础
　　
　　线性代数主要解决了解元线性方程组解的问题。元线性方程组分为奇次线性方程组和非奇次线性方程组，奇次线性方程组的解有三种情况：(1)有唯一的零解(2)无解(3)有无穷多解。非奇次线性方程组的解也有三种情况：(1)有唯一的解(2)无解(3)有无穷多解。下面就MATLAB在求解元线性方程组的唯一解、特解、通解问题上，来看MATLAB在线性代数上的应用。
　　
　　应用举例
　　1.求线性齐次方程组的通解()
　　齐次线性方程组的矩阵形式为
　　既其中，
　　如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩数，方程组有唯一零解，如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩数,则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有个解，在Matlab中建立M文件如下：
　　%以下所有程序都已在matlab下调试运行
　　A=input(‘请输入方程组系数矩阵a=’)
　　disp(a)
　　r=rank(a);
　　if r==0
　　disp(‘方程组有唯一的零解’)
　　end
　　if r~=0
　　bs=null(a);
　　end
　　bs% X= k1*bs(:,1)+ k2*bs(:,2)+……+k(nr)*bs(:,nr)方程组的通解。
　　2.求非线性线性方程组的唯一解或特解。要非线性线性方程组有唯一解，必须满足方程组的系数行列式不为零，可用逆矩阵法、矩阵的LU分解法、QR分解法和cholesky分解法求方程组的解，在Matlab中建立M文件如下(程序1)
　　a=input(‘请输入方程组系数矩阵a:’)%输入方程组的系数矩阵(a)为方阵
　　disp(a)
　　b=input(‘请输入b矩阵:’)%输入方程组右边的矩阵b
　　disp(b)
　　[m,n]=size(a)%求系数矩阵的行(m)和列(n)的大小
　　if m~=n
　　x=rref([a:b])
　　disp(x)%若a不是方阵则x是特解
　　end
　　de=det(a);
　　if de==0
　　disp(‘a矩阵奇异请检查!’)
　　end
　　x1=inv(a)*b
　　disp(x1)%x1是逆矩阵法求出的解
　　[L，U]=lu(a);
　　X2=U\(L\b)
　　disp(x2)%x2是LU分解法求出的解
　　[Q,R]=qr(a)
　　X3=R\(Q\b)
　　disp(x3)%x3是QR分解法求出的解
　　[R’，R]=chol(a);
　　X4=R\(R’\b)%x4是cholesky分解法求出的解
　　disp(x4)
　　例求方程组的解。
　　解:由程序1，输入a=[5 6 1 2 3;1 5 6 10 7;2 1 5 6 4;1 1 1 5 6;3 2 4 1 5]；b=(1,0,0,0,1)’由于rank(A)=5,rank()=5,|a|≠0，即为R（A）=R（）=n的情形，有唯一解。
　　=[481/2081,229/9782,629/9782,305/9782,28/4891]x4解出错。
　　如输入b=(1,2,3,4,5)’由于rank(A)=5,rank()=4虽然|a|≠0，但R（A）≠R（），则显示无解。
　　3.求非齐次线性方程组的通解（）
　　非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解,则通解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；在Matlab中建立M文件如下(程序2)
　　clear all
　　a=input(‘请输入方程组系数矩阵a:’)%输入方程组的系数矩阵(a)为方阵
　　disp(a)
　　b=input(‘请输入b矩阵:’)%输入方程组右边的矩阵b
　　disp(b)
　　[m,n]=size(a)%求系数矩阵的行(m)和列(n)的大小
　　[m,n]=size(A);
　　R=rank(A);
　　B=[A b];
　　Rr=rank(B);
　　format rat
　　if R==Rr&R==n%n为未知数的个数，判断是否有唯一解
　　x1=A\b;
　　elseif R==Rr&R　　x=A\b%求特解
　　C=null(A,‘r’)%求的基础解系,所得C为列矩阵，这列即为对
　　%应的基础解系
　　
　　%这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…nR)
　　else X=‘No solution!’ %判断是否无解
　　end
　　例子：求方程组的通解。
　　解：由程序2，输入=[1 1 1 1 1;3 2 1 1 3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 5];=[7 2 23 12]’得=[9/2 0 23/2 0 1/ 296468788895664]
　　=[1 2 1 0 0]；=[1 2 0 1 0]
　　所以方程组的通解为：
　　由以上例子可以看出，在线性代数教学中应用MATLAB具有很大的优越性，它是数学发展的需要，更是高职院校培养21世纪创新型、实践型人才的需要。随着办学条件的改善，常规的《线性代数》教学将激发更大的活力。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。