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摘 要：在近几年中考命题中，屡次出现一类求最小值题型，得分率很低。原于学生对相关的几何知识：“两点之间的所有连线中，线段最短。”的理解、综合应用能力欠缺，使得学生在解决这类问题时颇感困惑，引导学生从复杂的背景中创造性的使用这一原理解决问题，就需要培养学生认真分析、积极思维、敢于创新、勇于探索，构建模型，完成对新问题的转化，从而提炼出解决这类问题的方法。
关键词：题型探究 本源的问题 最小值 思维能力 建模 创造性思维 动态变化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0093-02
在数学中考试题中，常见到一类求最大值或最小值的问题，这类题在选择题、填空题、解答题的压轴题中都有涉及，学生得分率较低。通常是学生初看题目就感到无处下手，胡乱写个答案，或者干脆放弃。其实，这类题无论背景多么繁杂，其所用知识点都是最基本的。就拿求最小值来说，在与图形有关的题目中，所用知识点无非是“两点之间的所有连线中，线段最短。”或“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”一般来说，学生头脑中只要有这两个关于最短的公理，遇到具体题目，能在化归思想的指导下进行有效转化，此类题便不难求解。本文拟从历年来各省市的几个中考试题说起，浅谈这类试题的求解思路。
1 两个定点和一条定直线，一个动点问题
例1：（北师大版七年级下册第七章《简单的轴对称图形》课后问题解决）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站建在何处才能使从A，B到它的距离之和最短？
问题1：若居民区A，B分布于街道两侧时，奶站应建在何处？
问题2：若居民区A，B分布于街道同侧时，奶站应建在何处？
分析：问题1，如图1，直接用线段公理。
问题2，则要转化为问题1的情形，即把A、B转化为在直线L的异侧。此时，只需作点A或点B关于直线L的对称点即可。
如图2，若居民区A，B分布于街道同侧时，则作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B交直线L于点P，则奶站应建在P处。
理由：在直线L上取异于点P的任意一点P`，连接AP`，A`P`，由对称性易得：AP`=A`P`在ΔA`P`B中，P`A+P`B=A`P`+P`B>A`B（A`B=PA+PB）。因此PA+PB最短。
这个在定直线上找一点使它到该直线同侧两定点距离之和最短的问题可作为求解最短类问题的题根，以下各题可看作是对其进行的一系列衍生。学生在这一系列变化中寻找规律，发现“变”中的“不变”，从而找到该系列问题的根本解决办法，达到“解一题，通一类”的目的，下面我们共同探究在不同背景下此类问题的解法。
例2（2010滨州）：如图3，在等边ΔABC中，AB=2，E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的最小值，并求其最小值。
分析：此题背景较复杂，但如注意到点B、E为定直线AD同侧的两个定点，便不难转化为例1中的问题2的模式。而等边三角形恰好是轴对称图形，点B关于AD的对称点就是点C，连接CE交AD于点P，则点P就是所求作使BP+PE最小值的点。显然其值为。
上述类型的题目，学生深感困惑。要求我们在平时教学中，应当引导学生学会剥去题目华丽的外衣，揭示题目的本质，向“题根”化归。教学中，应着重启发学生关注此类题目中显明的“对称”背景，如“正方形，矩形，菱形，角及其平分线，等腰或等边三角形，圆，抛物线……”这些关键词可视为“题眼”，再结合所熟悉的题根，学生便不难掌握解题思路，且有举一反三，触类旁通之效。
2 两个定点和两条定直线
例3：如图4，在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（4，2）在x轴，y轴上各有一动点P，Q，要使四边形ABPQ的周长最小，求作P，Q的位置，并求周长的最小值。
分析：尽管是两个动点，我们还是尝试性地作A关于y轴的对称点A`（-1，2），作B关于轴的对称点B`（4，-2），连接A`B`与y轴、x轴分别交与点P，Q，连接AQ，QP，PB，AB，则四边形AQBP的周长最短。
理由：在x轴上任取异于P的点P`，在y轴上任取异于Q的点Q`，连接AQ`，Q`P`，P`B的到一任意四边形AQ`P`B，连接A`Q`，B`P`，由对称性易得QA=QA`，Q`A=Q`A`，PA=PA`，P`B`=P`B，四边形AQBP的周长为：AB+AQ+QP+PB=AB+A`Q+QP+PB`=AB+A`B`，而四边形AQ’P’B的周长为：AB+AQ`+Q`P`+P`B=AB+A`Q`+Q`P`+P`B`>AB+A`B`，因此，四边形AQBP的最小周长为：AB+A`B`=3+
点评：对于两个动点求最短距离时，可将问题转化为点与点之间线段最短，或点到直线之间垂线段最短的问题。
3 动线段问题
例4：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB的中点。若E，F为OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小值时，求点E、F的坐标。
分析：要使四边形CDEF的周长最小，由于CD、EF均为定值，只需求DE+CF的最小值即可，结合矩形性质，我们可以把动线段EF平移到CG位置（EF=CG），从而确定G，在利用对称性找E位置，再确定F位置。
解：如图5，作点D关于x轴的对称点D`，在CB边上截取CG=2，连接D`G与c轴交于点E，在上截取EF=2。
∵CG∥EF，CG=EF
∴四边形GEFC为平行四边形，∴GE=CF
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点使四边形的周长最小，
∵OE∥BC
∴RtΔD'OE∽RtΔD'BG，有。
∴.
∴OF=OE+EF=+2=
∴点的坐标为（，0）点的坐标为（，0）
综上所述，在我们的学习和生活中处处存在这类最小值问题。解决此类问题的关键是合理有效使用几何中的对称性化“曲为直”，然后在构造的直角三角形中求得最小值。
浩如烟海的题目同根共源，犹如一棵枝繁叶茂的大树，都源自同一根系，解一题可以破万题。只要我们将教学根植于最原始的数学基本概念、图形和原理，再从最本源的问题出发，让题目类型化，模型化，数学教学就可以走出题海战术，减负将不再是空谈。
参考文献
[1] 祁斌.关注问题原型透析数学本质—— 对一类“折线”几何最值问题规律的再探究[J].中学数学教学参考（中旬），2012，7：27.
[2] 黄永革，宋文，沈雅玲.平面几何的最值问题[J].数学教学通讯，1987（2）.
关键词：题型探究 本源的问题 最小值 思维能力 建模 创造性思维 动态变化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0093-02
在数学中考试题中，常见到一类求最大值或最小值的问题，这类题在选择题、填空题、解答题的压轴题中都有涉及，学生得分率较低。通常是学生初看题目就感到无处下手，胡乱写个答案，或者干脆放弃。其实，这类题无论背景多么繁杂，其所用知识点都是最基本的。就拿求最小值来说，在与图形有关的题目中，所用知识点无非是“两点之间的所有连线中，线段最短。”或“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”一般来说，学生头脑中只要有这两个关于最短的公理，遇到具体题目，能在化归思想的指导下进行有效转化，此类题便不难求解。本文拟从历年来各省市的几个中考试题说起，浅谈这类试题的求解思路。
1 两个定点和一条定直线，一个动点问题
例1：（北师大版七年级下册第七章《简单的轴对称图形》课后问题解决）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站建在何处才能使从A，B到它的距离之和最短？
问题1：若居民区A，B分布于街道两侧时，奶站应建在何处？
问题2：若居民区A，B分布于街道同侧时，奶站应建在何处？
分析：问题1，如图1，直接用线段公理。
问题2，则要转化为问题1的情形，即把A、B转化为在直线L的异侧。此时，只需作点A或点B关于直线L的对称点即可。
如图2，若居民区A，B分布于街道同侧时，则作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B交直线L于点P，则奶站应建在P处。
理由：在直线L上取异于点P的任意一点P`，连接AP`，A`P`，由对称性易得：AP`=A`P`在ΔA`P`B中，P`A+P`B=A`P`+P`B>A`B（A`B=PA+PB）。因此PA+PB最短。
这个在定直线上找一点使它到该直线同侧两定点距离之和最短的问题可作为求解最短类问题的题根，以下各题可看作是对其进行的一系列衍生。学生在这一系列变化中寻找规律，发现“变”中的“不变”，从而找到该系列问题的根本解决办法，达到“解一题，通一类”的目的，下面我们共同探究在不同背景下此类问题的解法。
例2（2010滨州）：如图3，在等边ΔABC中，AB=2，E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的最小值，并求其最小值。
分析：此题背景较复杂，但如注意到点B、E为定直线AD同侧的两个定点，便不难转化为例1中的问题2的模式。而等边三角形恰好是轴对称图形，点B关于AD的对称点就是点C，连接CE交AD于点P，则点P就是所求作使BP+PE最小值的点。显然其值为。
上述类型的题目，学生深感困惑。要求我们在平时教学中，应当引导学生学会剥去题目华丽的外衣，揭示题目的本质，向“题根”化归。教学中，应着重启发学生关注此类题目中显明的“对称”背景，如“正方形，矩形，菱形，角及其平分线，等腰或等边三角形，圆，抛物线……”这些关键词可视为“题眼”，再结合所熟悉的题根，学生便不难掌握解题思路，且有举一反三，触类旁通之效。
2 两个定点和两条定直线
例3：如图4，在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（4，2）在x轴，y轴上各有一动点P，Q，要使四边形ABPQ的周长最小，求作P，Q的位置，并求周长的最小值。
分析：尽管是两个动点，我们还是尝试性地作A关于y轴的对称点A`（-1，2），作B关于轴的对称点B`（4，-2），连接A`B`与y轴、x轴分别交与点P，Q，连接AQ，QP，PB，AB，则四边形AQBP的周长最短。
理由：在x轴上任取异于P的点P`，在y轴上任取异于Q的点Q`，连接AQ`，Q`P`，P`B的到一任意四边形AQ`P`B，连接A`Q`，B`P`，由对称性易得QA=QA`，Q`A=Q`A`，PA=PA`，P`B`=P`B，四边形AQBP的周长为：AB+AQ+QP+PB=AB+A`Q+QP+PB`=AB+A`B`，而四边形AQ’P’B的周长为：AB+AQ`+Q`P`+P`B=AB+A`Q`+Q`P`+P`B`>AB+A`B`，因此，四边形AQBP的最小周长为：AB+A`B`=3+
点评：对于两个动点求最短距离时，可将问题转化为点与点之间线段最短，或点到直线之间垂线段最短的问题。
3 动线段问题
例4：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB的中点。若E，F为OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小值时，求点E、F的坐标。
分析：要使四边形CDEF的周长最小，由于CD、EF均为定值，只需求DE+CF的最小值即可，结合矩形性质，我们可以把动线段EF平移到CG位置（EF=CG），从而确定G，在利用对称性找E位置，再确定F位置。
解：如图5，作点D关于x轴的对称点D`，在CB边上截取CG=2，连接D`G与c轴交于点E，在上截取EF=2。
∵CG∥EF，CG=EF
∴四边形GEFC为平行四边形，∴GE=CF
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点使四边形的周长最小，
∵OE∥BC
∴RtΔD'OE∽RtΔD'BG，有。
∴.
∴OF=OE+EF=+2=
∴点的坐标为（，0）点的坐标为（，0）
综上所述，在我们的学习和生活中处处存在这类最小值问题。解决此类问题的关键是合理有效使用几何中的对称性化“曲为直”，然后在构造的直角三角形中求得最小值。
浩如烟海的题目同根共源，犹如一棵枝繁叶茂的大树，都源自同一根系，解一题可以破万题。只要我们将教学根植于最原始的数学基本概念、图形和原理，再从最本源的问题出发，让题目类型化，模型化，数学教学就可以走出题海战术，减负将不再是空谈。
参考文献
[1] 祁斌.关注问题原型透析数学本质—— 对一类“折线”几何最值问题规律的再探究[J].中学数学教学参考（中旬），2012，7：27.
[2] 黄永革，宋文，沈雅玲.平面几何的最值问题[J].数学教学通讯，1987（2）.