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一、 不等式的性质及应用
【例1】 “若a,b为实数，则“01a的 条件 (充分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要).
解析 a－1b=ab－1b或b－1a=ab－1a,则a－1bb－1a=ab－1b•ab－1a=(ab－1)2ab.∵00,即a－1bb－1a>0,∴a－1bb－1a>0.
∴a<1b或b>1a成立，是充分条件；
反之a<1b或b>1a成立，即a－1b=ab－1b<0或b－1a=ab－1a>0,则a－1bb－1a=(ab－1)2ab<0,
故ab<0，不是必要条件.
故为充分而不必要条件.
二、 基本不等式
【例2】 若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式①a2+b2>2ab;②a+b≥2ab;③1a+1b>2ab;④ba+ab≥2.恒成立的是 .
解析 本题主要考查不等式a+b≥2ab以及成立的条件.当a=b时排除①.当a,b都小于零时，排除②、③.同时当ab>0时，ba>0,ab>0.∴ba+ab≥2ba•ab=2.当且仅当ba=ab时即a=b时取“=”.故填写④.
点评 1. 两个基本不等式
（1） 如果a，b是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.
（2） 如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.
两个基本不等式的主要区别在于使用条件上的差异.
2. 基本不等式的推论
（1） ab≤a+b22(a,b∈R)常用来解决积（ab）与和(a+b)有关联的不等式.
（2） ab≤a2+b22(a,b∈R)常用来解决平方和与积有关联的不等式.
（3） a+b22≤a2+b22(a,b∈R)常用来解决和与平方和有关联的不等式.
三、 利用基本不等式求最值
【例3】 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.
解析 4x2+y2+4xy－3xy=1，
1=(2x+y)2－32•2xy
≥(2x+y)2－32•2x+y22
=58(2x+y)2,
∴2x+y≤2105，
故2x+y的最大值为2105.
点评 ①“和定积最大，积定和最小”，即两个正数和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：各项或各因式均正；和或积为定值；各项或各因式能取得相等的值.必要时需作适当的变形，以满足上述前提.
②用均值不等式求函数的最大（小）值，需具备三个必要条件——即一正（各项的值为正）、二定（各项的和或积为定值）、三相等（取等号的条件）,在具体的题目中，获得的“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.
四、 基本不等式的综合应用
【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2) 当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x•v(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
解析 （1） 由题意：当0≤x≤20时，v(x)=60；当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b.
由已知得200a+b=0,
20a+b=60.解得a=-13,
b=2003.
故函数v(x)的表达式为
v(x)=60,0≤x<20,
13(200-x),20≤x≤200.
（2） 依题意并由（1）可得y=f(x)－c=0f(x)=60,0≤x<20,13(200－x),20≤x≤200.
当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1 200；
当20≤x≤200时，f(x)=13x+(200－x)22=10 0003,
当且仅当x=200－x时，即x=100时，等号成立.
所以，当x=100时，f(x)在区间20,200上取得最大值10 0003，
综上，当x=100时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 0003=3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为3 333辆/小时.
点评 1. 认真审题，在读应用题时，要像读文言文那样逐字逐句的去读，仔细分析是应用题审题的重要策略之一，在数学应用题中经常会出现一些新概念和字母符号，出现一些容易被忽视的条件、字、词，不少考生就是因为粗心大意，导致失误.
2. 要抓住题目当中的主要问题和线索，一个应用题，有时文字叙述可能很长，但是起关键作用的可能就一、二句，如果抓住了这一、二句话，问题就能得到解决，有时候如果以某一概念为主线，问题也可能很快解决.
看在上帝的份上，千万别放下工作！这是你最好的药物。 —达朗贝尔
五、 一元二次不等式的解法
【例5】 若A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N|x≤5}则集合A∩B为 .
解析 本题主要考查一元二次不等式以及集合的运算，属于对基础知识、基本运算的考查.
∵A=x|2x+1x－3<0
=x－12<x<3,B=1,2,3,4,5.
∴A∩B=1,2.
点评 解一元二次不等式的步骤是：
1. 将二项式的系数化为正数
2. 计算相应一元二次方程的判别式“Δ”
3. 根据“Δ”的符号，当Δ≤0时直接写出不等式的解集.
当Δ>0时，求出相应一元二次方程的两根，再由“大于0在两根之外，小于0在两根中间”的原则写出不等式的解集.
六、 转化为解一元二次不等式
【例6】 已知函数f(x)=x2+1,x≥0,
1,x<0.则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的范围是 .
解析 f(x)在 0, +∞上是增函数在－∞,0上是常函数，因此所求不等式等价于：
1－x2>2x,1－x2>0,2x≥0. 或1－x2>0,2x<0.
解之得x∈(－1,2－1).
点评 1. 转化时一定要等价，如果是分式不等式分母不为0，分式不等式一端不为0时要移项通分，不能去分母等.
2. 转化时要特别注意是否取等号，如不等式组1－x2>2x,1－x2>0,2x≥0.中的2x≥0可以取等号.
七、 含参数的不等式
【例7】 对任意的x>0,xx2+3x+1≤a恒成立，则实数a的取值范围是 .
解析 因为x>0,所以x+1x≥2（当且仅当x=1时等号成立） 所以xx2+3x+1=1x+1x+3=12+3=15恒成立，
则实数a的取值范围是a≤15.
点评 解含参数的不等式时，一般要对参数进行分类讨论，但对分类标准的把握是一个难点，又是一个重点，当参数在不等式的某些特殊的位置时，其分类标准有一定规律，如：①一元不等式的一次项系数含有关于参数a的代数式f(a)时，需对f(a)>0、f(a)=0、 f(a)<0进行讨论；②一元二次不等式若二次项含有关于a的代数式f(a)时，需对f(a)=0与fa≠0进行讨论，而当fa≠0，又需对判别式Δ，分Δ>0，Δ=0，Δ<0来讨论，在写出不等式的解集时，有时需要通过比较二次函数对应方程的根来分类，最后确定出分类标准.；③若对数或指数的底数中含有参数a，需对a分a>1或0 牛刀小试
1. 设x、y∈R*，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是.
2. 已知－1≤a+b≤1，1≤a－b≤3，则3a－b的取值范围是.
3. “c>d，a+c>b+d”是“a>b且c>d”的（必要不充分、充分不必要、充要、既不充分也不必要条件）.
4. 若a>0,b>0,且点(a,b)在过点（1，-1）、（2、-3）的直线上，则S=2ab－4a2－b2的最大值是.
5. 已知实数a满足不等式|a+1|<3，解关于x的不等式 x －(a+1)(x+1)>0.
6. 设x>－1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最值.
【参考答案】
1. 2
2. 1,7
3. 必要不充分条件
4. 2-12
5. 由|a+1|<3得－3 ∴－4 ∴不等式 x －(a+1)(x+1)>0的解答如下：
①当－4－1或x<1+a；
②当a=－2时，x∈R且x≠－1；
③当－21+a或x<－1.
综上，当－4－1或x<1+a ；
当a=－2时，解集为x|x∈R且x≠－1 ；
当－21+a或x<－1}.
6. ∵x>－1,∴x+1>0.
设x+1=z>0,则x=z－1.
把x=z－1代入函数式，得
y=(z+4)(z+1)z=z2+5z+4z=z+5+4z=5+z+4z≥5+2z•4z=9.
当且仅当z=2，即x=1时上式取等号.
∴当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.
【例1】 “若a,b为实数，则“0
解析 a－1b=ab－1b或b－1a=ab－1a,则a－1bb－1a=ab－1b•ab－1a=(ab－1)2ab.∵0
∴a<1b或b>1a成立，是充分条件；
反之a<1b或b>1a成立，即a－1b=ab－1b<0或b－1a=ab－1a>0,则a－1bb－1a=(ab－1)2ab<0,
故ab<0，不是必要条件.
故为充分而不必要条件.
二、 基本不等式
【例2】 若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式①a2+b2>2ab;②a+b≥2ab;③1a+1b>2ab;④ba+ab≥2.恒成立的是 .
解析 本题主要考查不等式a+b≥2ab以及成立的条件.当a=b时排除①.当a,b都小于零时，排除②、③.同时当ab>0时，ba>0,ab>0.∴ba+ab≥2ba•ab=2.当且仅当ba=ab时即a=b时取“=”.故填写④.
点评 1. 两个基本不等式
（1） 如果a，b是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.
（2） 如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.
两个基本不等式的主要区别在于使用条件上的差异.
2. 基本不等式的推论
（1） ab≤a+b22(a,b∈R)常用来解决积（ab）与和(a+b)有关联的不等式.
（2） ab≤a2+b22(a,b∈R)常用来解决平方和与积有关联的不等式.
（3） a+b22≤a2+b22(a,b∈R)常用来解决和与平方和有关联的不等式.
三、 利用基本不等式求最值
【例3】 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.
解析 4x2+y2+4xy－3xy=1，
1=(2x+y)2－32•2xy
≥(2x+y)2－32•2x+y22
=58(2x+y)2,
∴2x+y≤2105，
故2x+y的最大值为2105.
点评 ①“和定积最大，积定和最小”，即两个正数和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：各项或各因式均正；和或积为定值；各项或各因式能取得相等的值.必要时需作适当的变形，以满足上述前提.
②用均值不等式求函数的最大（小）值，需具备三个必要条件——即一正（各项的值为正）、二定（各项的和或积为定值）、三相等（取等号的条件）,在具体的题目中，获得的“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.
四、 基本不等式的综合应用
【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2) 当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x•v(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
解析 （1） 由题意：当0≤x≤20时，v(x)=60；当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b.
由已知得200a+b=0,
20a+b=60.解得a=-13,
b=2003.
故函数v(x)的表达式为
v(x)=60,0≤x<20,
13(200-x),20≤x≤200.
（2） 依题意并由（1）可得y=f(x)－c=0f(x)=60,0≤x<20,13(200－x),20≤x≤200.
当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1 200；
当20≤x≤200时，f(x)=13x+(200－x)22=10 0003,
当且仅当x=200－x时，即x=100时，等号成立.
所以，当x=100时，f(x)在区间20,200上取得最大值10 0003，
综上，当x=100时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 0003=3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为3 333辆/小时.
点评 1. 认真审题，在读应用题时，要像读文言文那样逐字逐句的去读，仔细分析是应用题审题的重要策略之一，在数学应用题中经常会出现一些新概念和字母符号，出现一些容易被忽视的条件、字、词，不少考生就是因为粗心大意，导致失误.
2. 要抓住题目当中的主要问题和线索，一个应用题，有时文字叙述可能很长，但是起关键作用的可能就一、二句，如果抓住了这一、二句话，问题就能得到解决，有时候如果以某一概念为主线，问题也可能很快解决.
看在上帝的份上，千万别放下工作！这是你最好的药物。 —达朗贝尔
五、 一元二次不等式的解法
【例5】 若A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N|x≤5}则集合A∩B为 .
解析 本题主要考查一元二次不等式以及集合的运算，属于对基础知识、基本运算的考查.
∵A=x|2x+1x－3<0
=x－12<x<3,B=1,2,3,4,5.
∴A∩B=1,2.
点评 解一元二次不等式的步骤是：
1. 将二项式的系数化为正数
2. 计算相应一元二次方程的判别式“Δ”
3. 根据“Δ”的符号，当Δ≤0时直接写出不等式的解集.
当Δ>0时，求出相应一元二次方程的两根，再由“大于0在两根之外，小于0在两根中间”的原则写出不等式的解集.
六、 转化为解一元二次不等式
【例6】 已知函数f(x)=x2+1,x≥0,
1,x<0.则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的范围是 .
解析 f(x)在 0, +∞上是增函数在－∞,0上是常函数，因此所求不等式等价于：
1－x2>2x,1－x2>0,2x≥0. 或1－x2>0,2x<0.
解之得x∈(－1,2－1).
点评 1. 转化时一定要等价，如果是分式不等式分母不为0，分式不等式一端不为0时要移项通分，不能去分母等.
2. 转化时要特别注意是否取等号，如不等式组1－x2>2x,1－x2>0,2x≥0.中的2x≥0可以取等号.
七、 含参数的不等式
【例7】 对任意的x>0,xx2+3x+1≤a恒成立，则实数a的取值范围是 .
解析 因为x>0,所以x+1x≥2（当且仅当x=1时等号成立） 所以xx2+3x+1=1x+1x+3=12+3=15恒成立，
则实数a的取值范围是a≤15.
点评 解含参数的不等式时，一般要对参数进行分类讨论，但对分类标准的把握是一个难点，又是一个重点，当参数在不等式的某些特殊的位置时，其分类标准有一定规律，如：①一元不等式的一次项系数含有关于参数a的代数式f(a)时，需对f(a)>0、f(a)=0、 f(a)<0进行讨论；②一元二次不等式若二次项含有关于a的代数式f(a)时，需对f(a)=0与fa≠0进行讨论，而当fa≠0，又需对判别式Δ，分Δ>0，Δ=0，Δ<0来讨论，在写出不等式的解集时，有时需要通过比较二次函数对应方程的根来分类，最后确定出分类标准.；③若对数或指数的底数中含有参数a，需对a分a>1或0
1. 设x、y∈R*，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是.
2. 已知－1≤a+b≤1，1≤a－b≤3，则3a－b的取值范围是.
3. “c>d，a+c>b+d”是“a>b且c>d”的（必要不充分、充分不必要、充要、既不充分也不必要条件）.
4. 若a>0,b>0,且点(a,b)在过点（1，-1）、（2、-3）的直线上，则S=2ab－4a2－b2的最大值是.
5. 已知实数a满足不等式|a+1|<3，解关于x的不等式 x －(a+1)(x+1)>0.
6. 设x>－1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最值.
【参考答案】
1. 2
2. 1,7
3. 必要不充分条件
4. 2-12
5. 由|a+1|<3得－3
①当－4
②当a=－2时，x∈R且x≠－1；
③当－2
综上，当－4
当a=－2时，解集为x|x∈R且x≠－1 ；
当－2
6. ∵x>－1,∴x+1>0.
设x+1=z>0,则x=z－1.
把x=z－1代入函数式，得
y=(z+4)(z+1)z=z2+5z+4z=z+5+4z=5+z+4z≥5+2z•4z=9.
当且仅当z=2，即x=1时上式取等号.
∴当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.