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一、 基础梳理
1. 可以的语句叫做命题.（填判断真假）
2. 四种命题：
原命题：若p则q；逆命题：；(填若q则p) 否命题：；(填若
p则
q)逆否命题：；（填若
q则
p）为等价命题.（填互为逆否命题）
3. 充分条件与必要条件
(1) 若pq，则p是q的，（填充分条件）q是p.（填必要条件）
(2) 若pq，qp，则p是q的.（填充要条件）
4. “或”“且”“非”叫做逻辑联结词.
(1) 或：两个简单命题成立.（填至少一个）
(2) 且：两个简单命题成立.（填都）
(3) 非：对一个命题的.（填否定）
5. 含有一个量词的命题
(1) 全称命题：x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
(2) 存在性命题:x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
以试题的形式梳理知识，既有利于使知识的呈现方式更清晰，也有利于更快的了解知识的要点，更重要的是有利于激发学习兴趣.
二、 考点突破
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1) p：x∈R，都有|x|＝x；
(2) p：x∈R，x3＞x2；
(3) p：至少有一个二次函数没有零点；
(4) p：α∈R，使得sinα＋cosα≠1.
分析 首先判断命题的形式，然后写出
p，再判断真假.
解 (1)
p：x∈R，都有|x|≠x，真命题.
(2)
p：x∈R，x3≤x2，真命题.
(3)
p：所有二次函数都有零点，假命题.
(4)
p：α∈R，使得sinα+cosα=1，真命题.
点评 (1) 全称命题与存在性命题的否定，除了关健词要改变，结论也要否定，不能只改写一处.
(2) 命题真假的判定，要注意命题等价性的利用，等价转化要准确.
【例2】 若命题“x∈R，使得x2＋ax＋1＜0”是真命题，求实数a的取值范围.
分析 有关一元二次不等式问题，可借助于二次函数的图象进行转化.
解 由题意知Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.
变式 已知命题p：x∈R，使ax2＋ax＋1＜0.当a∈A时，
p为真，求集合A.
解
p为真，即“x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真.
若a＝0，则1≥0，即a＝0时
p为真；
若a≠0，则
p为真a>0Δ=a2－4a≤0
0＜a≤4.
综上，所求集合A＝{a|0≤a≤4}.
【例3】 从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”和“既不充分也不必要”中，选择适当的一种填空：
(1) “a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y―3＝0相互垂直” 的；
(2) “x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的；
(3) “x＞－1”是“x2＞1”的；
(4) 在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB” 的.
分析 判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再弄清是由条件推结论，还是由结论推条件，最后作出判定.
解 (1) 当a＝12时，两直线斜率的乘积为－1，从而可得两直线垂直；当a＝－2时，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两直线仍垂直.综上“a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y―3＝0相互垂直” 的充分不必要条件.
点评 两条直线垂直的充要条件是：①k1,k2都存在时，k1•k2＝－1，②k1,k2中有一个不存在另一个为0.对于②易忽略.
(2) “x≠2或y≠3”的否定是“x＝2且y＝3”，“x＋y≠5”的否定是“x＋y＝5”，因为由“x＝2且y＝3”能推出“x＋y＝5”，但“x＋y＝5”不能推出“x＝2且y＝3”，所以“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件.
点评 遇到命题的条件或结论含有否定时，一般用它的逆否命题来判断其充分必要性，即利用“pq”“
q
p”.
(3) “x2＞1”的解是“x＜－1或x＞1”，所以由“x＞－1”不能推出“x2＞1”，“x2＞1”也不能推出“x＞－1”，所以“x＞－1”是“x2＞1”的既不充分也不必要条件.
点评 遇到有关不等式的命题判断其充分必要性，一般利用它们解集的子集关系来判断其充分、必要性. 利用集合间（p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}）的包含关系进行判定的方法是：若AB，则p是q的充分条件；若BA，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.
(4) 解法一：在ΔABC中，因为A＞Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB，所以“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
解法二：在ΔABC中，当0 当sinA＞sinB时，假设A≤B，则由上述证明知sinA≥sinB，矛盾，故A＞B.
综上“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
点评 遇到有关三角形内三角函数的命题判断其充分必要性，一般利用正弦定理、余弦定理及内角和定理进行转化.
牛刀小试
1. 下列命题中，为假命题的序号是.
(1) x∈R，x2―2x―3＝0；
(2) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除；
(3) 存在两个相交平面垂直于同一直线；
(4) x∈{x|x是无理数}，x2是有理数.
2. 已知条件p：x＜1或x＞4；条件q：x＜－3或x＞4，则
p是
q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
3. 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
4. 若命题“x∈R，使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是.
【参考答案】
1. (3) 2. 充分不必要 3. 充分不必要
4. ［－1,3］
1. 可以的语句叫做命题.（填判断真假）
2. 四种命题：
原命题：若p则q；逆命题：；(填若q则p) 否命题：；(填若
p则
q)逆否命题：；（填若
q则
p）为等价命题.（填互为逆否命题）
3. 充分条件与必要条件
(1) 若pq，则p是q的，（填充分条件）q是p.（填必要条件）
(2) 若pq，qp，则p是q的.（填充要条件）
4. “或”“且”“非”叫做逻辑联结词.
(1) 或：两个简单命题成立.（填至少一个）
(2) 且：两个简单命题成立.（填都）
(3) 非：对一个命题的.（填否定）
5. 含有一个量词的命题
(1) 全称命题：x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
(2) 存在性命题:x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
以试题的形式梳理知识，既有利于使知识的呈现方式更清晰，也有利于更快的了解知识的要点，更重要的是有利于激发学习兴趣.
二、 考点突破
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1) p：x∈R，都有|x|＝x；
(2) p：x∈R，x3＞x2；
(3) p：至少有一个二次函数没有零点；
(4) p：α∈R，使得sinα＋cosα≠1.
分析 首先判断命题的形式，然后写出
p，再判断真假.
解 (1)
p：x∈R，都有|x|≠x，真命题.
(2)
p：x∈R，x3≤x2，真命题.
(3)
p：所有二次函数都有零点，假命题.
(4)
p：α∈R，使得sinα+cosα=1，真命题.
点评 (1) 全称命题与存在性命题的否定，除了关健词要改变，结论也要否定，不能只改写一处.
(2) 命题真假的判定，要注意命题等价性的利用，等价转化要准确.
【例2】 若命题“x∈R，使得x2＋ax＋1＜0”是真命题，求实数a的取值范围.
分析 有关一元二次不等式问题，可借助于二次函数的图象进行转化.
解 由题意知Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.
变式 已知命题p：x∈R，使ax2＋ax＋1＜0.当a∈A时，
p为真，求集合A.
解
p为真，即“x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真.
若a＝0，则1≥0，即a＝0时
p为真；
若a≠0，则
p为真a>0Δ=a2－4a≤0
0＜a≤4.
综上，所求集合A＝{a|0≤a≤4}.
【例3】 从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”和“既不充分也不必要”中，选择适当的一种填空：
(1) “a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y―3＝0相互垂直” 的；
(2) “x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的；
(3) “x＞－1”是“x2＞1”的；
(4) 在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB” 的.
分析 判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再弄清是由条件推结论，还是由结论推条件，最后作出判定.
解 (1) 当a＝12时，两直线斜率的乘积为－1，从而可得两直线垂直；当a＝－2时，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两直线仍垂直.综上“a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y―3＝0相互垂直” 的充分不必要条件.
点评 两条直线垂直的充要条件是：①k1,k2都存在时，k1•k2＝－1，②k1,k2中有一个不存在另一个为0.对于②易忽略.
(2) “x≠2或y≠3”的否定是“x＝2且y＝3”，“x＋y≠5”的否定是“x＋y＝5”，因为由“x＝2且y＝3”能推出“x＋y＝5”，但“x＋y＝5”不能推出“x＝2且y＝3”，所以“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件.
点评 遇到命题的条件或结论含有否定时，一般用它的逆否命题来判断其充分必要性，即利用“pq”“
q
p”.
(3) “x2＞1”的解是“x＜－1或x＞1”，所以由“x＞－1”不能推出“x2＞1”，“x2＞1”也不能推出“x＞－1”，所以“x＞－1”是“x2＞1”的既不充分也不必要条件.
点评 遇到有关不等式的命题判断其充分必要性，一般利用它们解集的子集关系来判断其充分、必要性. 利用集合间（p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}）的包含关系进行判定的方法是：若AB，则p是q的充分条件；若BA，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.
(4) 解法一：在ΔABC中，因为A＞Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB，所以“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
解法二：在ΔABC中，当0
综上“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
点评 遇到有关三角形内三角函数的命题判断其充分必要性，一般利用正弦定理、余弦定理及内角和定理进行转化.
牛刀小试
1. 下列命题中，为假命题的序号是.
(1) x∈R，x2―2x―3＝0；
(2) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除；
(3) 存在两个相交平面垂直于同一直线；
(4) x∈{x|x是无理数}，x2是有理数.
2. 已知条件p：x＜1或x＞4；条件q：x＜－3或x＞4，则
p是
q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
3. 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
4. 若命题“x∈R，使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是.
【参考答案】
1. (3) 2. 充分不必要 3. 充分不必要
4. ［－1,3］