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摘要：结合学生已经掌握的生物学和数学知识，通过构建数学模型提供有效的教学支架，帮助学生认识鳃丝的作用，顺利通过最近发展区，培养学生定量分析的能力和理性的思维习惯，认同数学是生物学研究必备的手段。
关键词：初中生物 数学建模 鳃丝 最近发展区
现代生物学早已跨越了定性描述的阶段，随着与其他各学科之间不断交叉、渗透和融合，尤其是数学的应用，生物学中的定量分析愈发重要。新课标期待学生主动参与学习过程，在亲历提出问题、获取信息、寻找证据、检验假设、发现规律等过程中习得生物学知识，养成理性的思维习惯，形成积极的科学态度，发展终生学习的能力。1
培养学生的理性思维习惯必然要求教师在教学活动中注重定量分析的应用，引用数学方式引导学生分析生物学中的现象。在义务教育生物教科书中这样的例子屡见不鲜，比如：测定某种食物中的能量、心率的测定、尿液和血浆的成分比较、人口的变化、模拟保护色的形成过程等等。
在实际教学活动中，笔者结合课程标准要求、义务教育生物教科书的内容和现阶段学生数学知识的掌握情况，贴合学生最近发展区，通过数学建模讲授生物学的基本知识，培养学生理性的思维习惯。
一、通过数学已知区和生物已知区的交叉点，寻找学生的最近发展区。
苏联心理学家维果茨基的“最近发展区理论”把人的认识区域分为三个区，即已知区、最近发展区和未知区。教学设计既不能仅仅停留在已知区，也不能盲目进入未知区，而要以学生已知区为基础，突破最近发展区，使最近发展区成为学生的已知区。2
数学方面，现阶段学生已经学习并掌握了体积和表面积的计算；生物学方面，学生已经学习并掌握了毛细血管的结构、毛细血管能够吸收氧气等营养物质、鳃是鱼的呼吸器官，鳃的主要部分是鳃丝，鳃丝中密布毛细血管，起到气体交换的作用。
在实际教学活动中，学生通过已有知识能够认识到鳃丝上密布毛细血管起到气体交换的作用，而对于鳃丝增加了气体交换的表面积并不能深入地理解。通过以上的分析，可以看出这是学生的最近发展区，需要教师通过一定的方式在原有知识的基础上进行突破。
二、结合最近发展区构建数学模型。
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学模型是实际事物的一种数学简化，建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化为合理数学结构的过程。在生物教学中进行数学建模，可以使教学变得更为有效。
鱼类的鳃一般是由5对鳃片构成的，在水中5对鳃片之间完全可以相互分离.另外，鱼的每一个鳃片主要是由大量很细的鳃丝组成，而每一根鳃丝又是由许多更小的鳃小片构成.鳃小片中含有丰富的毛细血管，用来进行气体交换.鳃小片离开水就会相互粘连在一起，5对鳃片也会互相粘连。
根据鳃的结构：鳃由数个鳃片构成，鳃片上有许多鳃丝。
从单个鳃片入手，构建数学模型。通过简化，把鳃片构建为一个长方体，其长高宽分别为10、5、1个单位长度。
让学生分别计算此长方体的体积和面积，V长=50单位体积，S长=130单位面积。
当此长方体被分割1次，分成2个部分的时候，让学生再次计算其体积和表面积，V长=50单位体积，S长=140单位面积。通过数据比较，可以看出在体积未变的情况下，表面积增加了10单位面积。
为了总结规律，让学生再次计算分割2次，分成3个部分的时候其体积和表面积，V长=50单位体积，S长=150单位面积。通过数据比较，可以看出在体积未变的情况下，其表面积增加了20单位面积。
请学生回顾三次计算的结果，总结其中的规律，提炼出分割次数和表面积增加之间的关系：每分割1次，增加2个面，每个面的面积为5单位面积，总共增加10单位面积。假设分割次数为n，则表面积增加了10n单位面积。
进一步，如果分割300次，分成301个部分，学生通过计算得知其表面积增加了3000单位面积。
三、提供教学支架，成功通过最近发展区。
教学支架是指通过提供教学支持，帮助学生完成他们起初不能独立完成的学习任务，成功地通过最近发展区，并最终完成学习任务。2提供教学支持要注意适当，过多不利于学生形成独立解决问题的能力，过少学生可能会因为无法应对挑战而灰心丧气。有效的教学支持需要恰到好处，帮助学生顺利地通过最近发展区。
经过数学建模，学生已经了解了多次分割使得在体积不变的情况下增加了表面积。为了强化学生认知，笔者将未分割时表面积130单位面积与分割300次后表面积3130单位面积进行对比，学生计算出增加的倍数约为23倍。
这时通过实际案例，让学生把理论和实际相结合，进一步体会数学建模的作用，并分析此数学建模有什么可以改进的地方。
案例：吴郭鱼左右两侧各有4片鳃片，共8片鳃片，八片鳃瓣约含有 2516 根鳃丝，平均每个鳃片约含有315根鳃丝，每根鳃丝长度平均为 1.25 公分，鳃小片的总数约 74 万个，每根鳃丝上平均约294个鳃小片。以平均体重 534 公克的吴郭鱼来说，所构成的鱼鳃总表面积可达 12 万平方毫米，相当于 A3 纸（2张A4纸）大小。吴郭鱼的鳃盖运动速率每分钟平均为 66 次，其耗氧速率平均为 0.7041 毫克/公斤-小时。3
学生提出：
1、长方体长宽高的比例与实际可能不符，需要改进；
2、鳃丝不能看作一个长方体，但可以用多个大小不同的长方体建立数学模型；
3、每一根鳃丝又由许多鳃小片构成，那么怎么建立鳃小片的数学模型，从而更准确地计算表面积。
通过这样的讨论，教学支架逐步搭成。开始让学生回顾鳃丝表面密布着大量的毛细血管这一知识点，提出问题：表面积的增加有什么意义？学生顺利地想到，鳃丝增加了表面积，也就意味着增加了毛细血管与水接触的面积，提高了鳃与水进行气体交换的能力。
四、教学反思。
在初中阶段，鉴于学生的知识水平和动手能力不足、相关器材无法实现和新课标对实验操作的要求，不能直接测量和计算鳃丝的表面积，为此笔者通过构建数学模型的方式在一定程度上让学生对鳃丝增加气体交换的表面积这一知识得到更深入的理解。
笔者认为在教学活动中，数学模型的构建并不是以精确为目的，通过简化数学模型，让学生掌握知识，并认同定量分析的强大的力量更为重要。如果考虑鳃丝的实际结构，构建一个复杂的多面体，其实际效果并不会比一个简化的长方体更为深刻。如果再把鳃小片包括进来，构建一个更为复杂的数学模型，初中阶段的学生认知上就会更加困难，显然得不偿失。当然，处于高层次的学生可能会对模型提出更深入的看法，这是我们需要鼓励的。
在初中阶段，还有小肠的结构也与此类似，可以构建简单的数学模型强化学生对小肠褶皱和小肠绒毛增加消化和吸收表面积的理解。另外，从思想上来说这是一种以数量取胜的方式，在生物的生存斗争中不依靠质量而已数量取胜的例子比比皆是，应该在教学活动中认同以量取胜跟以质取胜一样，都是获得竞争优势的方法。
参考文献：
1.《义务教育生物学课程标准》北京师范大学出版集团北京师范大学出版社2011
2.《心理学基础》教育科学出版社2008
3.《有鳃乃大-鱼鳃构造、表面积计算与鳃盖运动之观察》台湾省桃园县立永丰高级中学（附设国中）
关键词：初中生物 数学建模 鳃丝 最近发展区
现代生物学早已跨越了定性描述的阶段，随着与其他各学科之间不断交叉、渗透和融合，尤其是数学的应用，生物学中的定量分析愈发重要。新课标期待学生主动参与学习过程，在亲历提出问题、获取信息、寻找证据、检验假设、发现规律等过程中习得生物学知识，养成理性的思维习惯，形成积极的科学态度，发展终生学习的能力。1
培养学生的理性思维习惯必然要求教师在教学活动中注重定量分析的应用，引用数学方式引导学生分析生物学中的现象。在义务教育生物教科书中这样的例子屡见不鲜，比如：测定某种食物中的能量、心率的测定、尿液和血浆的成分比较、人口的变化、模拟保护色的形成过程等等。
在实际教学活动中，笔者结合课程标准要求、义务教育生物教科书的内容和现阶段学生数学知识的掌握情况，贴合学生最近发展区，通过数学建模讲授生物学的基本知识，培养学生理性的思维习惯。
一、通过数学已知区和生物已知区的交叉点，寻找学生的最近发展区。
苏联心理学家维果茨基的“最近发展区理论”把人的认识区域分为三个区，即已知区、最近发展区和未知区。教学设计既不能仅仅停留在已知区，也不能盲目进入未知区，而要以学生已知区为基础，突破最近发展区，使最近发展区成为学生的已知区。2
数学方面，现阶段学生已经学习并掌握了体积和表面积的计算；生物学方面，学生已经学习并掌握了毛细血管的结构、毛细血管能够吸收氧气等营养物质、鳃是鱼的呼吸器官，鳃的主要部分是鳃丝，鳃丝中密布毛细血管，起到气体交换的作用。
在实际教学活动中，学生通过已有知识能够认识到鳃丝上密布毛细血管起到气体交换的作用，而对于鳃丝增加了气体交换的表面积并不能深入地理解。通过以上的分析，可以看出这是学生的最近发展区，需要教师通过一定的方式在原有知识的基础上进行突破。
二、结合最近发展区构建数学模型。
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学模型是实际事物的一种数学简化，建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化为合理数学结构的过程。在生物教学中进行数学建模，可以使教学变得更为有效。
鱼类的鳃一般是由5对鳃片构成的，在水中5对鳃片之间完全可以相互分离.另外，鱼的每一个鳃片主要是由大量很细的鳃丝组成，而每一根鳃丝又是由许多更小的鳃小片构成.鳃小片中含有丰富的毛细血管，用来进行气体交换.鳃小片离开水就会相互粘连在一起，5对鳃片也会互相粘连。
根据鳃的结构：鳃由数个鳃片构成，鳃片上有许多鳃丝。
从单个鳃片入手，构建数学模型。通过简化，把鳃片构建为一个长方体，其长高宽分别为10、5、1个单位长度。
让学生分别计算此长方体的体积和面积，V长=50单位体积，S长=130单位面积。
当此长方体被分割1次，分成2个部分的时候，让学生再次计算其体积和表面积，V长=50单位体积，S长=140单位面积。通过数据比较，可以看出在体积未变的情况下，表面积增加了10单位面积。
为了总结规律，让学生再次计算分割2次，分成3个部分的时候其体积和表面积，V长=50单位体积，S长=150单位面积。通过数据比较，可以看出在体积未变的情况下，其表面积增加了20单位面积。
请学生回顾三次计算的结果，总结其中的规律，提炼出分割次数和表面积增加之间的关系：每分割1次，增加2个面，每个面的面积为5单位面积，总共增加10单位面积。假设分割次数为n，则表面积增加了10n单位面积。
进一步，如果分割300次，分成301个部分，学生通过计算得知其表面积增加了3000单位面积。
三、提供教学支架，成功通过最近发展区。
教学支架是指通过提供教学支持，帮助学生完成他们起初不能独立完成的学习任务，成功地通过最近发展区，并最终完成学习任务。2提供教学支持要注意适当，过多不利于学生形成独立解决问题的能力，过少学生可能会因为无法应对挑战而灰心丧气。有效的教学支持需要恰到好处，帮助学生顺利地通过最近发展区。
经过数学建模，学生已经了解了多次分割使得在体积不变的情况下增加了表面积。为了强化学生认知，笔者将未分割时表面积130单位面积与分割300次后表面积3130单位面积进行对比，学生计算出增加的倍数约为23倍。
这时通过实际案例，让学生把理论和实际相结合，进一步体会数学建模的作用，并分析此数学建模有什么可以改进的地方。
案例：吴郭鱼左右两侧各有4片鳃片，共8片鳃片，八片鳃瓣约含有 2516 根鳃丝，平均每个鳃片约含有315根鳃丝，每根鳃丝长度平均为 1.25 公分，鳃小片的总数约 74 万个，每根鳃丝上平均约294个鳃小片。以平均体重 534 公克的吴郭鱼来说，所构成的鱼鳃总表面积可达 12 万平方毫米，相当于 A3 纸（2张A4纸）大小。吴郭鱼的鳃盖运动速率每分钟平均为 66 次，其耗氧速率平均为 0.7041 毫克/公斤-小时。3
学生提出：
1、长方体长宽高的比例与实际可能不符，需要改进；
2、鳃丝不能看作一个长方体，但可以用多个大小不同的长方体建立数学模型；
3、每一根鳃丝又由许多鳃小片构成，那么怎么建立鳃小片的数学模型，从而更准确地计算表面积。
通过这样的讨论，教学支架逐步搭成。开始让学生回顾鳃丝表面密布着大量的毛细血管这一知识点，提出问题：表面积的增加有什么意义？学生顺利地想到，鳃丝增加了表面积，也就意味着增加了毛细血管与水接触的面积，提高了鳃与水进行气体交换的能力。
四、教学反思。
在初中阶段，鉴于学生的知识水平和动手能力不足、相关器材无法实现和新课标对实验操作的要求，不能直接测量和计算鳃丝的表面积，为此笔者通过构建数学模型的方式在一定程度上让学生对鳃丝增加气体交换的表面积这一知识得到更深入的理解。
笔者认为在教学活动中，数学模型的构建并不是以精确为目的，通过简化数学模型，让学生掌握知识，并认同定量分析的强大的力量更为重要。如果考虑鳃丝的实际结构，构建一个复杂的多面体，其实际效果并不会比一个简化的长方体更为深刻。如果再把鳃小片包括进来，构建一个更为复杂的数学模型，初中阶段的学生认知上就会更加困难，显然得不偿失。当然，处于高层次的学生可能会对模型提出更深入的看法，这是我们需要鼓励的。
在初中阶段，还有小肠的结构也与此类似，可以构建简单的数学模型强化学生对小肠褶皱和小肠绒毛增加消化和吸收表面积的理解。另外，从思想上来说这是一种以数量取胜的方式，在生物的生存斗争中不依靠质量而已数量取胜的例子比比皆是，应该在教学活动中认同以量取胜跟以质取胜一样，都是获得竞争优势的方法。
参考文献：
1.《义务教育生物学课程标准》北京师范大学出版集团北京师范大学出版社2011
2.《心理学基础》教育科学出版社2008
3.《有鳃乃大-鱼鳃构造、表面积计算与鳃盖运动之观察》台湾省桃园县立永丰高级中学（附设国中）