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如何组织数学课堂教学，才能最大限度地培养和发展学生数学创新的能力？何为学生数学创新能力的内核？笔者试图用认知心理学观点来剖析学生创新学习的内在因素和外在因素，从而探索出数学课堂创新导学的方法。
一、创新学习案例分析
高一学生学完三角函数的定义、单位圆和余弦定理之后，是如何运用已有知识经验来获取两角和的余弦公式的呢？
1. 从情感的投入和发展来看
为什么要学习cos（α+β）的计算公式的呢？是解决问题“已知cos30°=，cos45°= ，求cos75°的值”的需要。学生产生探究cos（α+β）计算公式的兴趣之后，如何进一步发展呢？他必须从“境”中不断地体验到探索的价值：运用三角函数的定义，从构造特例出发，在探索“cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°”的过程中产生“情”。“情”促使学生将特殊情形延拓到一般情形，运用单位圆、三角函数的定义和余弦定理推演出下列公式：cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ(*)。在公式推导的过程中产生移情性的体验。移情的价值促使学生进一步去审视公式，揭示出公式的理智美——求双角三角函数转化为求单角三角函数；逻辑美——是特殊到一般的思想方法的产物；结构美——“余弦、余弦、正弦、正弦”排列有序。正是对公式的审视，才使得情感弥漫渗透到学生的内心世界，积淀成相对稳定的情感态度和价值取向，进而融入学生的个性之中。
2.从知识意义的参与和发展来看
学生从特殊情形出发，归纳猜测出公式（*）之后，如何证明这个公式呢？这里首先要明确，证明的目标必须在“揭示α+β与α和β之间的三角函数关系只有定义”这一控制内部认知过程的程序性知识的引领下回归到定义。明确了证明的方向之后，怎样运用定义来证明呢？这就要在直角坐标系中，运用α、β、α+β的意义及其正、余弦定义的意义这一控制外部操作过程的程序性知识，在单位圆中做出的始边与终边OP1、OP2、OP3、OP4，并依定义写出P1、P2、P3、P4各点的坐标。这样，待证公式中的cos（α+β）、cosα、cosβ、sinα、sinβ便脱颖而出，剩下的仅是建立等量关系的问题了。
公式（*）证明之后，学生获取的仅是“两角和的余弦公式是什么”的知识，在什么情况下运用公式（*）和怎样运用公式（*）的问题，有待于学生从公式（*）中提取可操作的步骤，并在应用中反思体验出的应用时机，这时他才具备了应用公式（*）获取新知识的能力。
3. 从智能参与的过程来看
学生在证明公式（*）时，用到了三角函数定义、单位圆和余弦定理，我们现在要问，是什么原因使学生想到要用三角函数的定义的呢？是联系思维。目前，与双角三角函数有关的知识只有定义。是什么原因使学生想到要用单位圆的呢？是求简意识，因为在单位圆中，三角函数定义的表现形式最简，因而推理计算的过程就简便，容易完成公式的证明。是什么原因使学生按照课本的要求作出角α、β、α+β的终边的呢？这里先要引导学生注意到公式（*）中有α+β，才能联想起α+β的意义。P1、P2、P3、P4的坐标为什么要用α、β、α+β的三角函数式来表示呢？因为公式（*）中相关的式子都是α、β、α+β的正余弦，此外还要用到单位圆中三角函数的定义。构造（-β）的终边OP5是怎样想到的呢？这里先要观察到公式（*）是一个等式，它须从单位圆中找一个等量关系；还要注意到△P1OP4旋转至△P5OP2的位置就可以找到等量关系：“P1P4=P2P5”,这样就自然地构造出（-β）的终边OP5了。
4. 从策略参与的过程来看
学生积蓄了探求公式（*）的情感、知识与智力，是不是就能顺畅地探索出公式（*）了呢？回答是否定的。
例如，在探索公式（*）之前，是什么原因使学生想到，先用构造的方法推出cos（30°+45°）=cos30°·cos45°-sin30°·sin45°的呢？这是个别到一般的归纳策略引导所致，即一般情形难以发现的情况下，先退到特殊情况。上文中提到“只要将△P1OP4旋转到△P5OP2的位置就可以找到等量关系了”，这一结论是如何得到的呢？这里先试着将P1、P2、P3、P4各点组织起来，看从中能否找到等量关系，当找不到等量关系时，知识调控：思考等式的意义，由线段相等进而联想到找全等三角形。由O、P1、P2、P3、P4组成三角形有6个，究竟找哪一个为好呢？目标调控：用距离公式必须能产生cos（α+β）、cosα、cosβ、sinα、sinβ，这样找与△P1OP4全等的三角形最合适，于是作（-β）的终边便水到渠成。这说明，学生新知识获得过程必须有学习策略的调控。
二、学生创新学习的认知心理学分析
根据学生创新学习的案例分析，学生数学创新学习应含情感、知识、智能和策略这四个主要因素。
1. 创新的情感
心理学研究表明，首先影响学生认知发展的主要是情感，学生最初以情感的方式与认知对象发生联系。其次，情感又是激发心理活动和行为的动力。第三，情感能激活整个脑神经系统。可以说，情感是认知心理上多种水平的整合。因此，学生创新学习必须有情感的参与。
2. 创新的知识
创新的知识是指广义的知识。广义知识认为任何一种知识都具有三个层次的意义：一是外显的可言传的编码化知识，又叫陈述性知识，它在认知过程中回答了“是什么”的问题；二是内隐的、意会的用于控制外部操作的程序性知识，它在认知过程中回答了“怎样做”的问题；三是内隐的、意会的用于控制内部认知过程的程度性知识，它在认知过程中回答了“为什么要这样做”的问题。可以说，知识的意义是学生心理上的教师，它随时告诉学生在什么时候运用什么知识，并提供应用操作的方法。因此，学生创新学习必须有知识意义的参与。
3. 创新的智能
智能是人们在认知客观事物的过程中形成的，认识方面的、稳定的、心理特点的综合，它包括观察力、注意力、记忆力、想像力和思维力等五个基本因素。新的知识、经验由感受到应用自动化的过程是一个不断完善和发展的过程，在这一过程中，常常会存在障碍。大量的研究表明，这种障碍主要是智能上的障碍。知识认知过程中，只要学生获取了观察、注意、记忆、想像、思维的方法，他们就会自觉地将新获取的知识和经验操作化、条件化，操作化、条件化了的知识和经验又反过来促进智能的发展。
4. 创新的策略
认知心理学研究表明，新的知识、经验认知的过程，是已有知识、经验重新组合的过程。由于学习策略可以帮助学生在认知过程中有效地选取知识、经验，重新优化组合，接通已知到未知的联系，因此，创新学习必须有学习策略的参与。学习策略包括认知策略（直接处理信息的策略）和调控策略（见下表）。
基于上述分析，只要学生获取了知识创新的情感、知识的意义、学习策略和智力，他就积蓄了创新学习的能力，即情感、知识、策略和智力。[e]
（江苏省泰州机电高等职业技术学校225300）
一、创新学习案例分析
高一学生学完三角函数的定义、单位圆和余弦定理之后，是如何运用已有知识经验来获取两角和的余弦公式的呢？
1. 从情感的投入和发展来看
为什么要学习cos（α+β）的计算公式的呢？是解决问题“已知cos30°=，cos45°= ，求cos75°的值”的需要。学生产生探究cos（α+β）计算公式的兴趣之后，如何进一步发展呢？他必须从“境”中不断地体验到探索的价值：运用三角函数的定义，从构造特例出发，在探索“cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°”的过程中产生“情”。“情”促使学生将特殊情形延拓到一般情形，运用单位圆、三角函数的定义和余弦定理推演出下列公式：cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ(*)。在公式推导的过程中产生移情性的体验。移情的价值促使学生进一步去审视公式，揭示出公式的理智美——求双角三角函数转化为求单角三角函数；逻辑美——是特殊到一般的思想方法的产物；结构美——“余弦、余弦、正弦、正弦”排列有序。正是对公式的审视，才使得情感弥漫渗透到学生的内心世界，积淀成相对稳定的情感态度和价值取向，进而融入学生的个性之中。
2.从知识意义的参与和发展来看
学生从特殊情形出发，归纳猜测出公式（*）之后，如何证明这个公式呢？这里首先要明确，证明的目标必须在“揭示α+β与α和β之间的三角函数关系只有定义”这一控制内部认知过程的程序性知识的引领下回归到定义。明确了证明的方向之后，怎样运用定义来证明呢？这就要在直角坐标系中，运用α、β、α+β的意义及其正、余弦定义的意义这一控制外部操作过程的程序性知识，在单位圆中做出的始边与终边OP1、OP2、OP3、OP4，并依定义写出P1、P2、P3、P4各点的坐标。这样，待证公式中的cos（α+β）、cosα、cosβ、sinα、sinβ便脱颖而出，剩下的仅是建立等量关系的问题了。
公式（*）证明之后，学生获取的仅是“两角和的余弦公式是什么”的知识，在什么情况下运用公式（*）和怎样运用公式（*）的问题，有待于学生从公式（*）中提取可操作的步骤，并在应用中反思体验出的应用时机，这时他才具备了应用公式（*）获取新知识的能力。
3. 从智能参与的过程来看
学生在证明公式（*）时，用到了三角函数定义、单位圆和余弦定理，我们现在要问，是什么原因使学生想到要用三角函数的定义的呢？是联系思维。目前，与双角三角函数有关的知识只有定义。是什么原因使学生想到要用单位圆的呢？是求简意识，因为在单位圆中，三角函数定义的表现形式最简，因而推理计算的过程就简便，容易完成公式的证明。是什么原因使学生按照课本的要求作出角α、β、α+β的终边的呢？这里先要引导学生注意到公式（*）中有α+β，才能联想起α+β的意义。P1、P2、P3、P4的坐标为什么要用α、β、α+β的三角函数式来表示呢？因为公式（*）中相关的式子都是α、β、α+β的正余弦，此外还要用到单位圆中三角函数的定义。构造（-β）的终边OP5是怎样想到的呢？这里先要观察到公式（*）是一个等式，它须从单位圆中找一个等量关系；还要注意到△P1OP4旋转至△P5OP2的位置就可以找到等量关系：“P1P4=P2P5”,这样就自然地构造出（-β）的终边OP5了。
4. 从策略参与的过程来看
学生积蓄了探求公式（*）的情感、知识与智力，是不是就能顺畅地探索出公式（*）了呢？回答是否定的。
例如，在探索公式（*）之前，是什么原因使学生想到，先用构造的方法推出cos（30°+45°）=cos30°·cos45°-sin30°·sin45°的呢？这是个别到一般的归纳策略引导所致，即一般情形难以发现的情况下，先退到特殊情况。上文中提到“只要将△P1OP4旋转到△P5OP2的位置就可以找到等量关系了”，这一结论是如何得到的呢？这里先试着将P1、P2、P3、P4各点组织起来，看从中能否找到等量关系，当找不到等量关系时，知识调控：思考等式的意义，由线段相等进而联想到找全等三角形。由O、P1、P2、P3、P4组成三角形有6个，究竟找哪一个为好呢？目标调控：用距离公式必须能产生cos（α+β）、cosα、cosβ、sinα、sinβ，这样找与△P1OP4全等的三角形最合适，于是作（-β）的终边便水到渠成。这说明，学生新知识获得过程必须有学习策略的调控。
二、学生创新学习的认知心理学分析
根据学生创新学习的案例分析，学生数学创新学习应含情感、知识、智能和策略这四个主要因素。
1. 创新的情感
心理学研究表明，首先影响学生认知发展的主要是情感，学生最初以情感的方式与认知对象发生联系。其次，情感又是激发心理活动和行为的动力。第三，情感能激活整个脑神经系统。可以说，情感是认知心理上多种水平的整合。因此，学生创新学习必须有情感的参与。
2. 创新的知识
创新的知识是指广义的知识。广义知识认为任何一种知识都具有三个层次的意义：一是外显的可言传的编码化知识，又叫陈述性知识，它在认知过程中回答了“是什么”的问题；二是内隐的、意会的用于控制外部操作的程序性知识，它在认知过程中回答了“怎样做”的问题；三是内隐的、意会的用于控制内部认知过程的程度性知识，它在认知过程中回答了“为什么要这样做”的问题。可以说，知识的意义是学生心理上的教师，它随时告诉学生在什么时候运用什么知识，并提供应用操作的方法。因此，学生创新学习必须有知识意义的参与。
3. 创新的智能
智能是人们在认知客观事物的过程中形成的，认识方面的、稳定的、心理特点的综合，它包括观察力、注意力、记忆力、想像力和思维力等五个基本因素。新的知识、经验由感受到应用自动化的过程是一个不断完善和发展的过程，在这一过程中，常常会存在障碍。大量的研究表明，这种障碍主要是智能上的障碍。知识认知过程中，只要学生获取了观察、注意、记忆、想像、思维的方法，他们就会自觉地将新获取的知识和经验操作化、条件化，操作化、条件化了的知识和经验又反过来促进智能的发展。
4. 创新的策略
认知心理学研究表明，新的知识、经验认知的过程，是已有知识、经验重新组合的过程。由于学习策略可以帮助学生在认知过程中有效地选取知识、经验，重新优化组合，接通已知到未知的联系，因此，创新学习必须有学习策略的参与。学习策略包括认知策略（直接处理信息的策略）和调控策略（见下表）。
基于上述分析，只要学生获取了知识创新的情感、知识的意义、学习策略和智力，他就积蓄了创新学习的能力，即情感、知识、策略和智力。[e]
（江苏省泰州机电高等职业技术学校225300）