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摘 要：“理解算理，掌握算法”是计算教学的重点与难点，唯有“理”通，方能“法”顺，理法相融，才能相得益彰。然而，在教学实践中，教师出于多种原因无法将算理根植于学生心中，导致学习效果低下。那么，教师该如何根植算理呢？
关键词：计算;算理;算法
当下，越来越多的老师已能在理念上摒弃“重算法轻算理”的做法，但在行动上却举步维艰——有的教师徘徊在“算法的显性”与“算理的隐性”之间，权衡不定;有的老师臣服于算法的“操作性”，将算理的教学变成了“过场秀”;还有的老师囿于自己的经验水平，拿不准“算理本质”。为此，我们对“算理”进行了一些研究。本文选取了两节“除法重点课”，谈谈我们的实践与思考。
一、紧依本源，借“性质”理解理算
众所周知，小数除法拓宽了学生对“数的运算”的认知领域，是重大的一次飞跃，而“一个数除以小数”是小数除法教学中的重中之重。虽然前有“小数除以整数”的学习，但其解决方式对于本课无法产生正迁移，导致学生困难重重。
（一）学生“困”状
在教学完“一个数除以小数”之后，学生通常会有如下几种“症状”：不会试商或商太慢;先扩大被除数还是先扩大除数顺序不明;扩大被除数与除数时没能做到同时;扩大之后，小数点的落脚点不清（个别孩子只看到小数点不见了，没想到是小数点移动了）;数位不对齐（以为被除数的小数点还在原处）等。
（二）困因分析
针对这些现状，我们进行了分类和比对，试图找到学生问题的症结，我们发现主要原因还是聚焦于“算理不明”。老师们心里都清楚，“商不变性质”是本课的算理所在，如果教师只教给学生列竖式的步骤，而没将商不变性质充实到竖式的探究中去，那么很有可能导致学生只记住了形式，忽视了本质。研读教材（例题见下），虽然没有出现“商不变性质”的字样，但同样可以找寻到它的影子。“把除数转化成整数，同时……”竖式的呈现也依据此：虚框图示说明先把除数扩大成整数（为方便理解扩大后的数字是多少，划去除数的小数点和前面的0），同时，被除数也扩大相同的倍数（小数点也向右移动两位）。
[例题]奶奶编“中国结”，编一个要用0.85m丝绳，这里有7.65m丝绳，这些丝绳可以编几个“中国结”？
7.65÷0.85=_____
（三）植入算理
既然，教材已经如此明了，为什么学生还会出现如此症状呢？可见，这必定跟教师的设计理念有关。为此，我们想通过一系列的设计，试图将算理的种子植入初学孩子们的心里。（1）以练习为载体，复习商不变化性质，借此让学生回忆“被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变”的规律;（2）多次练习强化该性质，特别安排小数练习。如：62.4÷2.6=（）÷（）;（3）呈现特例让学生辨析：如：0.544÷0.16=（）÷（），强调要“同时”扩大相同的倍数;（4）教学竖式，想一想豎式中该如何体现这种算理。感悟“先把除数扩大成整数，同时被除数也扩大相同的倍数”的好处，同时明确“划掉小数点其实质就是小数点的转移”。（5）练习一般题和特殊题。62.4÷2.6;0.544÷0.16。
实践证明，这样的设计迎合了学生的旧知，将小数除法算理的本质牢牢地植入学生的心里，使他们学得更为高效。在理解算理的基础上，学生计算的错误率明显减少，面对错误，他们也能很快地发现原因，这无疑就是教师关注算理后的最大收益。
二、紧抓联结，借“类比”植入算理
“分数除法”是计算教学另一重要分支，而“一个数除以分数”又是分数除法教学中的重中之重（例题见图）。
[例题]小明 小时走了2km，小红小时走km。谁走得快些？
2÷
（一）困因分析
我们曾假想，如果这节课只教学算法，让学生知道并记忆“一个数除以分数相当于这个数乘它的倒数”，而后应用，相信许多学生都会做题。可他们知道为什么能这样做吗？知其然不知其所以然，此乃教学大忌。
通过访谈，我们了解到学生普遍认为“例题太难”。那么，它难在何处呢？（1）线段图“难”理解。线段图是“拐杖”，但之前的教材很少采用线段图教学，也没有教学生怎么画线段图，因为学生接触甚少，所以理解起来会有一定困难。如“小时行了2km”，同一条线段中出现了两个数据，这使许多学生费解。更多的是学生对于分数的意义已经遗忘，无法将“1小时的就是小时”等同起来。（2）语言“难”表达。语言是思维的体操，更是表达的外衣。如若照本宣科，文字长，思维跨度大，不利于学生理思维的碰撞。
（二）类比植入算理
既然如此，我们是否还有必要苦苦追寻其“算理”？答案是肯定的。刨根问底，将事物的本源联系在一起，是每位数学教师的职责所在;知其然，更知其所以然，是数学教学永恒的精髓所在。一个数除以分数，其中一种理解就是先求“一小份”，而后再求“几份”的过程，这跟倍比关系异曲同工。例如：小明2分钟走100米，他3分钟能走多少米？
为此，我们尝试小步子走，引导学生真正感悟到“分数除法与整数运算”之间的微妙联系，取得了较好的效果。（1）改变线段图的呈现顺序。先出示一条线段，引导“如果用这条线表示小明1小时所行路程，那么小时表示他从起点走到了哪儿呢？”（沟通：1小时的就是小时。）接着呈现“2km”这个信息，使学生把目光聚焦于线段之间的倍数关系，他们能直观地感受到“2小段就是2km”，进而列式2÷2×3。（2）降低语言表达的要求。由于简化了线段图，在理解意义时，学生明白先算2÷2表示一小段的所行路程，再乘3表示一小时所行的路程。为了规范语言，教师可作适当引导：小时行2千米，小时就行1千米，1小时就可以行3千米。实践证明，这样做有利于学生的对算理的准确理解。
追寻算理归根结底就是饮水思源，有了思维的源头，学生走到哪儿都能回忆起他们喝下的第一口甘露。“一个数除以小数”和“一个数除以分数”是计算教学的两大重要教学任务，深入研究算理的本质，借助类比推理，让学生学得更为扎实有效。我们相信，只要教师不断地更新观念，不断思索数学之间的微妙联系，将“理解算理”作为教学己任，必定可以实现“根植算理、提升学生力”的梦想。
作者简介：
朱孟迪，1981年4月，男，浙江慈溪，本科，一级教师，小学数学，单位：浙江省慈溪市崇寿镇中心小学
（作者单位：慈溪市崇寿镇中心小学）
关键词：计算;算理;算法
当下，越来越多的老师已能在理念上摒弃“重算法轻算理”的做法，但在行动上却举步维艰——有的教师徘徊在“算法的显性”与“算理的隐性”之间，权衡不定;有的老师臣服于算法的“操作性”，将算理的教学变成了“过场秀”;还有的老师囿于自己的经验水平，拿不准“算理本质”。为此，我们对“算理”进行了一些研究。本文选取了两节“除法重点课”，谈谈我们的实践与思考。
一、紧依本源，借“性质”理解理算
众所周知，小数除法拓宽了学生对“数的运算”的认知领域，是重大的一次飞跃，而“一个数除以小数”是小数除法教学中的重中之重。虽然前有“小数除以整数”的学习，但其解决方式对于本课无法产生正迁移，导致学生困难重重。
（一）学生“困”状
在教学完“一个数除以小数”之后，学生通常会有如下几种“症状”：不会试商或商太慢;先扩大被除数还是先扩大除数顺序不明;扩大被除数与除数时没能做到同时;扩大之后，小数点的落脚点不清（个别孩子只看到小数点不见了，没想到是小数点移动了）;数位不对齐（以为被除数的小数点还在原处）等。
（二）困因分析
针对这些现状，我们进行了分类和比对，试图找到学生问题的症结，我们发现主要原因还是聚焦于“算理不明”。老师们心里都清楚，“商不变性质”是本课的算理所在，如果教师只教给学生列竖式的步骤，而没将商不变性质充实到竖式的探究中去，那么很有可能导致学生只记住了形式，忽视了本质。研读教材（例题见下），虽然没有出现“商不变性质”的字样，但同样可以找寻到它的影子。“把除数转化成整数，同时……”竖式的呈现也依据此：虚框图示说明先把除数扩大成整数（为方便理解扩大后的数字是多少，划去除数的小数点和前面的0），同时，被除数也扩大相同的倍数（小数点也向右移动两位）。
[例题]奶奶编“中国结”，编一个要用0.85m丝绳，这里有7.65m丝绳，这些丝绳可以编几个“中国结”？
7.65÷0.85=_____
（三）植入算理
既然，教材已经如此明了，为什么学生还会出现如此症状呢？可见，这必定跟教师的设计理念有关。为此，我们想通过一系列的设计，试图将算理的种子植入初学孩子们的心里。（1）以练习为载体，复习商不变化性质，借此让学生回忆“被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变”的规律;（2）多次练习强化该性质，特别安排小数练习。如：62.4÷2.6=（）÷（）;（3）呈现特例让学生辨析：如：0.544÷0.16=（）÷（），强调要“同时”扩大相同的倍数;（4）教学竖式，想一想豎式中该如何体现这种算理。感悟“先把除数扩大成整数，同时被除数也扩大相同的倍数”的好处，同时明确“划掉小数点其实质就是小数点的转移”。（5）练习一般题和特殊题。62.4÷2.6;0.544÷0.16。
实践证明，这样的设计迎合了学生的旧知，将小数除法算理的本质牢牢地植入学生的心里，使他们学得更为高效。在理解算理的基础上，学生计算的错误率明显减少，面对错误，他们也能很快地发现原因，这无疑就是教师关注算理后的最大收益。
二、紧抓联结，借“类比”植入算理
“分数除法”是计算教学另一重要分支，而“一个数除以分数”又是分数除法教学中的重中之重（例题见图）。
[例题]小明 小时走了2km，小红小时走km。谁走得快些？
2÷
（一）困因分析
我们曾假想，如果这节课只教学算法，让学生知道并记忆“一个数除以分数相当于这个数乘它的倒数”，而后应用，相信许多学生都会做题。可他们知道为什么能这样做吗？知其然不知其所以然，此乃教学大忌。
通过访谈，我们了解到学生普遍认为“例题太难”。那么，它难在何处呢？（1）线段图“难”理解。线段图是“拐杖”，但之前的教材很少采用线段图教学，也没有教学生怎么画线段图，因为学生接触甚少，所以理解起来会有一定困难。如“小时行了2km”，同一条线段中出现了两个数据，这使许多学生费解。更多的是学生对于分数的意义已经遗忘，无法将“1小时的就是小时”等同起来。（2）语言“难”表达。语言是思维的体操，更是表达的外衣。如若照本宣科，文字长，思维跨度大，不利于学生理思维的碰撞。
（二）类比植入算理
既然如此，我们是否还有必要苦苦追寻其“算理”？答案是肯定的。刨根问底，将事物的本源联系在一起，是每位数学教师的职责所在;知其然，更知其所以然，是数学教学永恒的精髓所在。一个数除以分数，其中一种理解就是先求“一小份”，而后再求“几份”的过程，这跟倍比关系异曲同工。例如：小明2分钟走100米，他3分钟能走多少米？
为此，我们尝试小步子走，引导学生真正感悟到“分数除法与整数运算”之间的微妙联系，取得了较好的效果。（1）改变线段图的呈现顺序。先出示一条线段，引导“如果用这条线表示小明1小时所行路程，那么小时表示他从起点走到了哪儿呢？”（沟通：1小时的就是小时。）接着呈现“2km”这个信息，使学生把目光聚焦于线段之间的倍数关系，他们能直观地感受到“2小段就是2km”，进而列式2÷2×3。（2）降低语言表达的要求。由于简化了线段图，在理解意义时，学生明白先算2÷2表示一小段的所行路程，再乘3表示一小时所行的路程。为了规范语言，教师可作适当引导：小时行2千米，小时就行1千米，1小时就可以行3千米。实践证明，这样做有利于学生的对算理的准确理解。
追寻算理归根结底就是饮水思源，有了思维的源头，学生走到哪儿都能回忆起他们喝下的第一口甘露。“一个数除以小数”和“一个数除以分数”是计算教学的两大重要教学任务，深入研究算理的本质，借助类比推理，让学生学得更为扎实有效。我们相信，只要教师不断地更新观念，不断思索数学之间的微妙联系，将“理解算理”作为教学己任，必定可以实现“根植算理、提升学生力”的梦想。
作者简介：
朱孟迪，1981年4月，男，浙江慈溪，本科，一级教师，小学数学，单位：浙江省慈溪市崇寿镇中心小学
（作者单位：慈溪市崇寿镇中心小学）