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摘 要：本文以五次非线性Schr?dinger（NLS）方程为例研究线性化离散技巧在《微分方程数值解》课程中的应用。
关键词：五次NLS方程；线性化离散；有限差分格式
在《微分方程数值解》课程中会遇到很多非线性偏微分方程的数值求解，若采用经典的全隐格式对非线性偏微分方程进行求解，计算中不可避免地需要迭代，从而降低计算效率。因此，如何构造无需迭代的线性化数值算法就是一个值得探讨的课题。作为示例，本文研究如下一类齐次五次NLS方程的初边值问题[1]。
张鲁明、常谦顺等人[1]对该方程提出两个二阶有限差分格式，证明其保持原问题的两个守恒性质，同时建立了L2范数下的最优误差估计。王询等人[2]用待定系数的方法构建了一类五点有限差分格式，该格式在选取适当的参数后，其计算精度在空间可达四阶，然而计算中在每一个时间步都需要求解一个五对角线性代数方程组。为提高精度，文献[3]提出一个紧致有限差分格式，但该格式是非线性的，计算中不可避免的需要迭代，从而降低了计算效率。本文对问题（1.1）-（1.2）构造一个线性化有限差分格式，新格式在离散意义下保持原问题的两个守恒性质。
一、线性化有限差分格式及其守恒律
对于平面区域分别在空间方向和时间方向上进行网格剖分。取正整数J、N，时空步长分别为网格点分别为，xj=a+jh，并记数值解记：
其中该格式是线性化的，每个时间步只需运用追赶法求解一个三对角线性代数方程组。该格式无法自启动，可用其它两层格式计算第一层的值。
（二）离散守恒律
定义网格函数Fn如下：
二、结论
本文以五次非线性Schr?dinger方程为例，通过对非线性项的线性化处理提出了一个线性化有限差分格式，从而可大幅提高计算效率。在《微分方程数值解》课程中，该离散技巧可用以离散其它一些非线性偏微分方程并进行数值求解。
参考文献：
[1]张鲁明，常谦顺.带五次项的非线性Schr?dinger方程的守恒数值格式[J].应用数学，12（1999）65-71.
[2]王询，曹圣山.带五次项的非线性Schr?dinger方程新差分格式[J].中国海洋大学学报，39（2009）487-491.
[3]初日辉.带五次项的非线性Schr?dinger方程的一个紧致差分格式[J].江苏师范大学学报，32（2014）53-57.
作者简介：蓝柳华，南京信息工程大学数学与统计学院。
周灵芝，南京信息工程大学数学与统计学院。
王廷春，南京信息工程大学數学与统计学院。
关键词：五次NLS方程；线性化离散；有限差分格式
在《微分方程数值解》课程中会遇到很多非线性偏微分方程的数值求解，若采用经典的全隐格式对非线性偏微分方程进行求解，计算中不可避免地需要迭代，从而降低计算效率。因此，如何构造无需迭代的线性化数值算法就是一个值得探讨的课题。作为示例，本文研究如下一类齐次五次NLS方程的初边值问题[1]。
张鲁明、常谦顺等人[1]对该方程提出两个二阶有限差分格式，证明其保持原问题的两个守恒性质，同时建立了L2范数下的最优误差估计。王询等人[2]用待定系数的方法构建了一类五点有限差分格式，该格式在选取适当的参数后，其计算精度在空间可达四阶，然而计算中在每一个时间步都需要求解一个五对角线性代数方程组。为提高精度，文献[3]提出一个紧致有限差分格式，但该格式是非线性的，计算中不可避免的需要迭代，从而降低了计算效率。本文对问题（1.1）-（1.2）构造一个线性化有限差分格式，新格式在离散意义下保持原问题的两个守恒性质。
一、线性化有限差分格式及其守恒律
对于平面区域分别在空间方向和时间方向上进行网格剖分。取正整数J、N，时空步长分别为网格点分别为，xj=a+jh，并记数值解记：
其中该格式是线性化的，每个时间步只需运用追赶法求解一个三对角线性代数方程组。该格式无法自启动，可用其它两层格式计算第一层的值。
（二）离散守恒律
定义网格函数Fn如下：
二、结论
本文以五次非线性Schr?dinger方程为例，通过对非线性项的线性化处理提出了一个线性化有限差分格式，从而可大幅提高计算效率。在《微分方程数值解》课程中，该离散技巧可用以离散其它一些非线性偏微分方程并进行数值求解。
参考文献：
[1]张鲁明，常谦顺.带五次项的非线性Schr?dinger方程的守恒数值格式[J].应用数学，12（1999）65-71.
[2]王询，曹圣山.带五次项的非线性Schr?dinger方程新差分格式[J].中国海洋大学学报，39（2009）487-491.
[3]初日辉.带五次项的非线性Schr?dinger方程的一个紧致差分格式[J].江苏师范大学学报，32（2014）53-57.
作者简介：蓝柳华，南京信息工程大学数学与统计学院。
周灵芝，南京信息工程大学数学与统计学院。
王廷春，南京信息工程大学數学与统计学院。