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毕达哥拉斯学派是最早的本原思想的发起者，他认为数是万物的本原，任何事物都是由某种特定的数量关系或比例关系决定的，音乐是这样，数学也是这样，万物都按照这样的规律构成和谐的秩序，这就是最早提出的本原思想。比如，音乐是由很多长短不一的音符或高低不同的音调构成的；立体几何也是，由点引出线，由线引出面，由面产生体，环环相扣、相互联系，最终能够形成一切形体，这就是本原思想在数学中的应用。本文的教学案例从以下六个方面来对第六节垂直关系进行讲解，包括教材分析、教学内容、教学目标、教学重点和难点、具体教学过程和教学反思。
一、教材分析
本课是第一章《立体几何初步》的第六节——“垂直关系”。学生在这一章的前几节已经刚学过了一些知识，包括简单几何体、直观图和三观图等基础知识，以及空间图形的基本关系与公理，并且已经在第五节学过了平行关系。我们都知道，平行关系与垂直关系有着深刻的联系，他们都是空间元素关系中的特殊关系，在我们的数学学习中发挥着重要的作用，可以相互转化与互相证明。所以，第六节“垂直关系”是对上节平行关系学习的连接，学生学过平行关系之后一定会对垂直关系理解得更深刻，学习起来更简单。
二、教学内容
数学是一门包容性很强的学科，包括立体几何、函数计算、概率统计等不同的板块，每个板块又分得很细。具体以立体几何为例，几何图形包括平面图形和立体图形，是研究物体大小、形状和位置关系的知识，是从空间维度上研究图形的构成。
本节主要内容是学习垂直关系，垂直是相交的一种特殊情况，应用也非常广。垂直的判定和性质以及垂直和平行的相互转化关系都是我们本节课的教学内容。
三、教学目标
（1）内容目标：掌握空间元素的垂直关系的判定方法和性质定理，包括空间内的线线垂直、线面垂直和面面垂直，并能完成这几个定理的相互转化与证明，并能够灵活运用定理来解题或解决实际问题。
（2）能力目标：将空间元素的各种垂直的定理及性质烂熟于心，做到看到类似题目时，能根据要求找出相应条件，去判定垂直，再加以利用垂直性质解题或解决实际问题。通过学习使学生能在数学的几何研究中将物体的物理或化学等特征脱离出去。
四、教学的重点和难点
教学重点：空间的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相互转化。
教学难点：线面垂直关系的判定以及空间线线垂直关系的判定。
五、教学过程
1.导入
课堂开始，先回顾上节课学习过的第一章第五节的平行关系，带领大家回忆空间元素平行关系的判定及性质，布置几个对应的习题让大家回顾，习题中包含需要同时利用平行知识和垂直知识的题目，学生们必然会产生困惑，不会解题。这时候，教师开门见山，指出今天要学习的内容就是“垂直关系”。然后进入主题，开始介绍“垂直关系”。并在本节课的末尾将课前那道不会做的题拿出来，有了新知识，那道题必然会迎刃而解，以此提高学生们学习的自信心以及兴趣。
2.主体内容教学过程
先给学生们几分钟时间大体浏览课本，找出暂时不理解的部分，将其勾画出来，在教学过程中可以拿出来与教师交流沟通。以课本教材为主题，按照线线垂直、线面垂直及面面垂直的顺序即由简到难的顺序来进行教学，对于每一个定理教师都要将证明过程详细讲解给学生听。比如，讲解完“线线垂直”的证明，教师可以给出适当的时间让学生们自己试试证明“線面的垂直”，因为“线面的垂直”定理要用到“线线垂直”，这个过程也是学生们学以致用并且加深印象的过程。同时，“面面垂直”也是一样的道理。这就体现了本原思想，由简单的知识引申出较为复杂的知识，由已知引申出未知，它们共同构成了复杂却神奇的立体几何的世界。
六、教学反思
传统的教学模式下，教师往往都是直接将内容机械地灌输给学生们，而学生们被动地接受，来不及去思考、理解和检验知识，学习状态不能被很好地调动起来，学习效率不高，学习效果也不尽如人意。通过适当的引入，比如，用上节课的平行知识和习题来做引入，能很好地调动学生的学习兴趣，提高学生学习效果。
在教学过程中，教师要适当地引导学生们形成探究思维，给他们自己思考的时间和空间，创造出合作学习的环境。如本节中提到的，让学生们先自己解决定理的证明问题，也可以用小组合作的方式来提高学生学习效果。
关于本节教学设计上的不足之处，我认为，可以让学生们课前预习，但是高中生由于课业繁忙，很容易忽视课前预习的重要性，教师应该积极引导他们，告知课前预习的必要性以及益处。这样既培养学生的自我思考能力，又加深其对知识的理解，还可调动其学习积极性，教学效果一定会更好。
（作者单位：江苏省南通市天星湖中学）
一、教材分析
本课是第一章《立体几何初步》的第六节——“垂直关系”。学生在这一章的前几节已经刚学过了一些知识，包括简单几何体、直观图和三观图等基础知识，以及空间图形的基本关系与公理，并且已经在第五节学过了平行关系。我们都知道，平行关系与垂直关系有着深刻的联系，他们都是空间元素关系中的特殊关系，在我们的数学学习中发挥着重要的作用，可以相互转化与互相证明。所以，第六节“垂直关系”是对上节平行关系学习的连接，学生学过平行关系之后一定会对垂直关系理解得更深刻，学习起来更简单。
二、教学内容
数学是一门包容性很强的学科，包括立体几何、函数计算、概率统计等不同的板块，每个板块又分得很细。具体以立体几何为例，几何图形包括平面图形和立体图形，是研究物体大小、形状和位置关系的知识，是从空间维度上研究图形的构成。
本节主要内容是学习垂直关系，垂直是相交的一种特殊情况，应用也非常广。垂直的判定和性质以及垂直和平行的相互转化关系都是我们本节课的教学内容。
三、教学目标
（1）内容目标：掌握空间元素的垂直关系的判定方法和性质定理，包括空间内的线线垂直、线面垂直和面面垂直，并能完成这几个定理的相互转化与证明，并能够灵活运用定理来解题或解决实际问题。
（2）能力目标：将空间元素的各种垂直的定理及性质烂熟于心，做到看到类似题目时，能根据要求找出相应条件，去判定垂直，再加以利用垂直性质解题或解决实际问题。通过学习使学生能在数学的几何研究中将物体的物理或化学等特征脱离出去。
四、教学的重点和难点
教学重点：空间的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相互转化。
教学难点：线面垂直关系的判定以及空间线线垂直关系的判定。
五、教学过程
1.导入
课堂开始，先回顾上节课学习过的第一章第五节的平行关系，带领大家回忆空间元素平行关系的判定及性质，布置几个对应的习题让大家回顾，习题中包含需要同时利用平行知识和垂直知识的题目，学生们必然会产生困惑，不会解题。这时候，教师开门见山，指出今天要学习的内容就是“垂直关系”。然后进入主题，开始介绍“垂直关系”。并在本节课的末尾将课前那道不会做的题拿出来，有了新知识，那道题必然会迎刃而解，以此提高学生们学习的自信心以及兴趣。
2.主体内容教学过程
先给学生们几分钟时间大体浏览课本，找出暂时不理解的部分，将其勾画出来，在教学过程中可以拿出来与教师交流沟通。以课本教材为主题，按照线线垂直、线面垂直及面面垂直的顺序即由简到难的顺序来进行教学，对于每一个定理教师都要将证明过程详细讲解给学生听。比如，讲解完“线线垂直”的证明，教师可以给出适当的时间让学生们自己试试证明“線面的垂直”，因为“线面的垂直”定理要用到“线线垂直”，这个过程也是学生们学以致用并且加深印象的过程。同时，“面面垂直”也是一样的道理。这就体现了本原思想，由简单的知识引申出较为复杂的知识，由已知引申出未知，它们共同构成了复杂却神奇的立体几何的世界。
六、教学反思
传统的教学模式下，教师往往都是直接将内容机械地灌输给学生们，而学生们被动地接受，来不及去思考、理解和检验知识，学习状态不能被很好地调动起来，学习效率不高，学习效果也不尽如人意。通过适当的引入，比如，用上节课的平行知识和习题来做引入，能很好地调动学生的学习兴趣，提高学生学习效果。
在教学过程中，教师要适当地引导学生们形成探究思维，给他们自己思考的时间和空间，创造出合作学习的环境。如本节中提到的，让学生们先自己解决定理的证明问题，也可以用小组合作的方式来提高学生学习效果。
关于本节教学设计上的不足之处，我认为，可以让学生们课前预习，但是高中生由于课业繁忙，很容易忽视课前预习的重要性，教师应该积极引导他们，告知课前预习的必要性以及益处。这样既培养学生的自我思考能力，又加深其对知识的理解，还可调动其学习积极性，教学效果一定会更好。
（作者单位：江苏省南通市天星湖中学）