数形结合在高考解题中的应用

• 作 者: 冉勇
• 出 处: 教育管理与艺术
• 发表日期: 2014年10期

　　数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。
　　一、数形结合思想在解决集合问题中的应用
　　（一）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
　　一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
　　例：设 ，已知 求
　　分析：如图，用长方形表示全集I，
　　用圆分别表示集合A和B，用n表示集合
　　的元素，则有：
　　从韦恩图我们可以直观地看出： .
　　（二）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题
　　例：已知集合
　　⑴若 ，求 的范围.⑵若 ，求 的范围.
　　分析：先在数轴上表示出集合A的范围，
　　要使 ，由包含于的关系可知集合B应该
　　覆盖集合A，从而有： ，这时 的值不可能存在.要使 ，这时集合应该覆盖集合B，应有 成立.
　　可解得 为所求 的范围.
　　二、方程、函数中数形结合问题
　　（一）“数”中思“形”
　　例：如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是什么？
　　解：设点 在圆 上，圆心为 ，半径等于 。如图，则 是点 与原点连线的斜率。当 与⊙ 相切，且切点 落在第一象限时， 有最大值，即 有最大值。因为 = ， = ，所以 = = ，所以 = = 。
　　（二）“形”中觅“数”
　　例：求方程 的解的个数。
　　分析：此方程解的个数为 的图象与 的图象的交点个数。
　　因为 ，
　　所以
　　在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。
　　三、利用数形结合法解不等式问题说明
　　（一）数形对照，相互渗透
　　例：使不等式 有解的实数a的取值范围（ ）
　　A. B.
　　C. D.
　　分析： 表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1，故选D。
　　（二）由数想形，直观显现
　　例：求使不等式 成立的x的取值范围。
　　解： ，
　　因为 的图象与函数 图象关于y轴对称， 的图象是一条过点（0，1）的直线
　　由图4可得
　　四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题
　　在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像。如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行。
　　例：解不等式
　　分析：根据余弦线在单位圆中是
　　方向平行于 轴的有向线段.先在 轴
　　上取点P，使 ，恰好表示角 的余
　　弦线 ，过点P作 轴的平行线
　　交单位圆于点 ，在 内，
　　分别对应于角 ， （这时所对应的余弦值恰好为 ）.而要求 的解集，只需将弦 向右平移，使 重合（也即点P向右平移至与单位圆交点处）.这样 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为： .