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新课程改革十分重视培养学生解决问题的能力,重视解决问题策略的教学。江苏省教研室近年来多次组织全省小学数学教师开展研讨活动,取得了许多重要成果。与此同时,研讨中也产生一些困惑,这其中有关“数量关系”被弱化的问题引起了许多老师的关注。有人提出:新课程教材一般不总结提炼数量关系,而在解决问题的教学中比较重视让学生寻找解决问题的策略,而几乎没有体现分析数量关系的思维方法,教师们平时也没有像传统应用题教学那样对数量关系进行系统的训练,从而导致学生对一些常见的生活应用题解题能力下降,既“慢”又“错误多”。怎样面对这一“尴尬”局面,有的教师认为应该重拾传统应用题的教学套路。亡羊补牢,加强对基本数量关系的总结、提炼和训练,有的教师甚至将解决问题的策略直接当做知识与技能来教,让学生掌握一些所谓的解题套路。这种认识和教学现象值得我们警惕和反思。下面笔者谈几点想法,求教于大家。
一、重新审视“数量关系”的教学价值,“数量关系”的教学不仅仅是知识与技能的教学
新教材刻意淡化类型,将原本的应用题内容分散在数与代数的各部分内容之中,有的实验教材通过创设情境,把数量关系渗透其中,重视的是数的运算意义和解决问题的教学。对此,有的教师理解出现偏差,在教学中就教材教教材,缺少对数量关系的渗透,教学过程中没有把数量关系的知识及运用突出出来,没有及时有效地对数量关系进行适当的归纳提炼和抽象概括,更忌讳讲有关数量关系的术语或关系式,导致学生对数量关系所具有的“模型”价值的理解狭隘,进而影响到学生解决问题的能力的发展和训练。
事实上,随着年龄的增长,学生对实际问题题材的认识范围逐渐广阔、情景逐渐复杂,同时也逐渐熟悉起一些生产、生活中的常用词语和常见的数量关系,不仅仅是速度、路程与时间等,还有计划产量和实际产量、增长和节约等。了解并总结一些简单常见的生活中的数量关系,有利于学生学习“有价值的数学”。这些基本数量关系不仅对复杂问题的解决具有关键的模型建构的奠基作用,而且也是学生数学化能力发展的需要。对此,沈重予老师在谈教材编排意图时也指出。数量关系是重要的数学内容,学生对数量关系的理解程度,直接影响到解题思路的形成,小学教科书教学数量关系一般分3个阶段:首先在百以内数的认识和计算的时候,教学四则计算的意义,初步建立四则计算概念。如把两个数合并成一个数用加法计算,把总数平均分的运算是除法,等等;然后在万以内数的认识和计算时,接触一些具体的常见的数量关系。如从学生总人数里面减去男生人数得到女生人数,1千克苹果的价钱乘买的千克数得到应付的钱数,等等;最后抽象众多具体的数量关系,概括出几组常见的数量关系。如单价、数量与总价的关系,速度、时间与路程的关系,等等。
从上面的论述中我们可以看到,数量关系的教学是一个循序渐进、逐步积累和感悟的过程。不仅仅是数学知识与技能的掌握。还隐含数学思想方法的感悟和提升。比如比的应用问题教学。有些学生在新授时往往思路比较清楚,而一旦将问题变式,思路很容易陷入混乱,对一些数量关系极其相似的问题往往答非所问。究其原因,固然有学生受按比例分配解题模式的影响,对诸如“已知两个数的比与其中一个数,求另一个数”等其他数量关系缺乏正确的辨析,造成错误,但我以为,学生之所以数量关系分析“抗变”能力弱,主要还是在学习比的应用过程中缺乏数学思想的引领,就题解题,对按比例分配问题的不同思路(如整数归一思路和分数思路)缺乏联结与提升,学生所学所得支离破碎。从本质上讲,比的应用问题也可以被认为是比例的应用问题。而比例问题的核心就是形成对应关系。如:“配制一种药液,药粉和水的质量比是1:40。(1)配制400克药液需要药粉多少克?(2)400克水应加药粉多少克?”我们可以将信息整理列表:
这种对应关系可以有效地帮助学生理清解题思路。无论是整数思路,还是分数思路,学生只有明确其中的对应关系,才能正确合理地进行数量关系的分析和整合。同时。比与分数、除法的关系密切,三者之间可以相互转化,我们应不满足于学生掌握某一种解题思路,更重要的是让学生从对应的关系中学会寻求最有效的解题途径,做到举一反三,融会贯通。
通过对课标教材和教学案例的分析。我们发现新课程并不是真的忽视数量关系的教学,而是更重视学生对数量关系建构的过程的教学。这就要求我们在重视基本数量关系的逐步积累过程的同时,关注学生对基本的数学思想方法和基本活动经验的感悟积累,努力以数学思想方法来引领学生的思维发展,让数量关系的建构“活”起来。
二、重新审视“数量关系”分析的内涵,“数量关系”的分析应有机渗透“解决问题的策略”
在传统的应用题教学中,重要的一步就是帮助学生学会整理和分析数量关系,分析法和综合法是运用最多的具体方法,这些经验值得我们借鉴。从本质上讲。分析法和综合法是数学逻辑推理思维的呈现,展示的是解决问题的具体思路。而为了有效地帮助学生弄清实际问题中的数量关系,还往往采用画图、列表整理信息等手段。这些训练的手段方式,其实就是我们现在谈论的解决问题的基本策略。
比如,教学四下解决问题的策略例2(相遇问题),我们在指导学生运用画图策略整理信息的同时。还应结合画图(或者动画展示相遇的过程),让学生清晰两种不同的解题思路:“两家相距的路程=小兰走的路程 小芳走的路程”;或者“两家相距的路程=两人一分钟走的路程和×相遇时间”。这里的第二种思路是一般学生难以理解的,画图(动画演示)正好成为化抽象为具体直观的桥梁。在这里,画图策略的实质就是帮助学生整理数量关系比较复杂的信息。使得隐藏的数量关系清晰地展示出来。
但是我们也应当看到,就数量关系常用的分析法与综合法而言,其实本身就是一种解决问题的策略,是一种逻辑思维的最起码要求。这种思维方式是大多数人所采用的基本策略形式。我们没有必要对数量关系进行过多的机械训练。因为长时间统一模式的训练(比如“要求……必须求……”,“根据……可以求……”等等)可能会致使学生的思维总是局限在某一些知识范畴内,陷入死胡同,钻牛角尖。这是应该注意防范的。
为此,课程标准十分重视学生解决实际问题的策略教学。强调指出:“面对实际问题,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。”在苏教版教材中就提出一系列具体的解决问题策略内容,除了分析法和综合法这些基本策略外,还介绍画图法、列表法、列举法、倒推法、替换和假设法等等常用的策略。这些具体策略有些适合于解决常规问题,有的适合于解决一些特殊问题。但应注意的是,这些策略方法并不是孤立存在的,而是你中有我,我中有你。因此我们在进行数量关系分析训练的同时,应更多地关注这些策略 的有机渗透,为策略的逐渐形成打好基础。
比如,四年级学生解答这样一道题:张书红6分钟练24个字,照这样,她练72个字需要多少分钟?有的学生根据字数的变化直觉地得到时间的变化扩大了3倍,得出6×(72÷24)=18(分)。但有的学生却列出6×72÷24这样的算式,有没有道理呢?学生可能一下子讲不清楚,但这种算法里面却蕴含着假设的思想,假设她练1个字要6分钟,这样练72个字需要(6×72)分钟,但实际上是练24个字需要6分钟,这样相比较,所用的时间必须缩小24倍,所以再除以24。这道算式里面不正蕴含着后面要学习的假设策略吗?如果我们老师看不到这种解法背后的数学思想策略,只是就题论题,浅显地教学生基本的数量关系分析,学生的思维境界永远是“近视”的、浅层次的。
当前,笔者注意到有些老师不仅没有理清数量关系和解决问题的策略之间的关系,反而倒过来,把解决问题的策略简单地当作数量关系的分析那样,机械地教思路,教套路,这是必须纠正的。我们对数量关系的教学,一定要符合数学思维发展的规律。我们不要总是由低往上看,而要居高临下,只有教师的视野高于教材,高于“数量关系”,才有可能教活“数量关系”。
三、重新审视学生解决问题中的“问题”。辩证地看待学生解决问题过程中的“慢”和“错”
为什么会有人担心学生解决问题过程既慢又容易出错?其原因就在于教师的头脑里并不是让学生解决问题,而是解答应用题。不可否认,在我们的教材里、练习题里,依然充斥着大量的应用问题,这些“问题”本质上讲并不是真正的“解决问题”。
“解决问题”和“应用题”是两个不同的概念。现在学生在解决实际问题过程中,往往喜欢套模型,其原因就是我们传统应用题教学的习惯思维所致。而现在我们打破了原来教材“一例一类”应用题教学模式,更多的是一种“散点式”的教材编排,学生对纷繁复杂的实际问题显得手足无措。这种现象正说明我们的学生尚缺乏真正的解决问题的能力,说明我们的教学中没有真正地为学生解决问题的能力的发展提供足够的空间。新课改的一个重要“改变”就是要求我们改变传统的循序渐进式的数量关系分析套路模式,代之以散点教学模式,以解放学生的思维手脚。为此我们需要新的教学探索。
比如,在教学除法计算时,有这样一道题:三年级有42人,分成两队,每队再分成3组。问每组多少人?这个问题放在三年级,学生很自然地想到用除法来解决:42÷2÷3=7(人)。但如果把这样的问题给低年级学生来做,学生是否就不能解决呢?显然不是。比如学生都排过队,排队的经验是先排队再报数,分两队,就“1、2”报数,单数往前走一步,自然就分成两队。再分3组,每队再“1、2、3”报数,报“1”的往前再走一步,报“3”的往后退一步,这样不就解决了吗?这个过程,才是真正的解决问题。学生在排队报数的过程中,不仅仅是解决问题了,更主要的是经历了分类解决问题的策略学习过程,而三年级学生应用除法计算,其实很大程度上并不是真正地解决问题,而是做“应用题”。
因为教材“散点式”的内容编排。学生就会在学习解决问题的过程中遇到很多这样低年级解决中高年级的问题,小学生解决中学生的问题。如果我们依然像传统应用题教学模式那样,给学生以解题的样板,学生所需要的只是机械的模仿,虽然确实可以“高效率”地“解决问题”,但那样教学后,当学生真正面临“非常规问题”时,就会显得困难重重。由此笔者赞同这样一些观点:数量关系不是解决问题的本质所在,解决问题不一定非要按部就班地分析数量关系,数量关系的分析不是解决问题的必要环节和手段,解决问题不是解答应用题。我们应努力为学生创设这样的空间:让学生觉得无类型模式可套,需要自己来寻找、探索、选择最有价值的知识。这就需要我们适当增加一些非常规问题,来考验甚至是“折磨”学生的思维,尽管这样的教学效果可能是缓慢的,学生的探索脚步是蹒跚的,甚至是错误的,但这些我们都不足为怕,因为只有学生经历了“慢”和“错误”的考验,才有可能获得珍贵的问题解决经验。
当前,新课标提出“四基”教学要求,即在重视学生获得基础知识和基本技能的同时,还要关注学生数学思维能力的发展和数学学习活动经验的扩展。所以,对数量关系的教学,不应该只是让学生熟练记忆和运用,也不应该只是浅层次的逻辑思维训练,还应该包括深层次的创新思维素质的发展和数学思想方法的感悟。努力把单纯的数量关系训练演变为综合的问题解决。面对学生在解决问题过程中的“慢”和“错误”,我们需要辩证的甚至是欣赏的眼光。今天的“慢”,也许正是过程感悟的充分,而今天的“错”,正好可以让学生的体验变得深厚起来。这正是“教育是慢的艺术”的真谛所在!
一、重新审视“数量关系”的教学价值,“数量关系”的教学不仅仅是知识与技能的教学
新教材刻意淡化类型,将原本的应用题内容分散在数与代数的各部分内容之中,有的实验教材通过创设情境,把数量关系渗透其中,重视的是数的运算意义和解决问题的教学。对此,有的教师理解出现偏差,在教学中就教材教教材,缺少对数量关系的渗透,教学过程中没有把数量关系的知识及运用突出出来,没有及时有效地对数量关系进行适当的归纳提炼和抽象概括,更忌讳讲有关数量关系的术语或关系式,导致学生对数量关系所具有的“模型”价值的理解狭隘,进而影响到学生解决问题的能力的发展和训练。
事实上,随着年龄的增长,学生对实际问题题材的认识范围逐渐广阔、情景逐渐复杂,同时也逐渐熟悉起一些生产、生活中的常用词语和常见的数量关系,不仅仅是速度、路程与时间等,还有计划产量和实际产量、增长和节约等。了解并总结一些简单常见的生活中的数量关系,有利于学生学习“有价值的数学”。这些基本数量关系不仅对复杂问题的解决具有关键的模型建构的奠基作用,而且也是学生数学化能力发展的需要。对此,沈重予老师在谈教材编排意图时也指出。数量关系是重要的数学内容,学生对数量关系的理解程度,直接影响到解题思路的形成,小学教科书教学数量关系一般分3个阶段:首先在百以内数的认识和计算的时候,教学四则计算的意义,初步建立四则计算概念。如把两个数合并成一个数用加法计算,把总数平均分的运算是除法,等等;然后在万以内数的认识和计算时,接触一些具体的常见的数量关系。如从学生总人数里面减去男生人数得到女生人数,1千克苹果的价钱乘买的千克数得到应付的钱数,等等;最后抽象众多具体的数量关系,概括出几组常见的数量关系。如单价、数量与总价的关系,速度、时间与路程的关系,等等。
从上面的论述中我们可以看到,数量关系的教学是一个循序渐进、逐步积累和感悟的过程。不仅仅是数学知识与技能的掌握。还隐含数学思想方法的感悟和提升。比如比的应用问题教学。有些学生在新授时往往思路比较清楚,而一旦将问题变式,思路很容易陷入混乱,对一些数量关系极其相似的问题往往答非所问。究其原因,固然有学生受按比例分配解题模式的影响,对诸如“已知两个数的比与其中一个数,求另一个数”等其他数量关系缺乏正确的辨析,造成错误,但我以为,学生之所以数量关系分析“抗变”能力弱,主要还是在学习比的应用过程中缺乏数学思想的引领,就题解题,对按比例分配问题的不同思路(如整数归一思路和分数思路)缺乏联结与提升,学生所学所得支离破碎。从本质上讲,比的应用问题也可以被认为是比例的应用问题。而比例问题的核心就是形成对应关系。如:“配制一种药液,药粉和水的质量比是1:40。(1)配制400克药液需要药粉多少克?(2)400克水应加药粉多少克?”我们可以将信息整理列表:
这种对应关系可以有效地帮助学生理清解题思路。无论是整数思路,还是分数思路,学生只有明确其中的对应关系,才能正确合理地进行数量关系的分析和整合。同时。比与分数、除法的关系密切,三者之间可以相互转化,我们应不满足于学生掌握某一种解题思路,更重要的是让学生从对应的关系中学会寻求最有效的解题途径,做到举一反三,融会贯通。
通过对课标教材和教学案例的分析。我们发现新课程并不是真的忽视数量关系的教学,而是更重视学生对数量关系建构的过程的教学。这就要求我们在重视基本数量关系的逐步积累过程的同时,关注学生对基本的数学思想方法和基本活动经验的感悟积累,努力以数学思想方法来引领学生的思维发展,让数量关系的建构“活”起来。
二、重新审视“数量关系”分析的内涵,“数量关系”的分析应有机渗透“解决问题的策略”
在传统的应用题教学中,重要的一步就是帮助学生学会整理和分析数量关系,分析法和综合法是运用最多的具体方法,这些经验值得我们借鉴。从本质上讲。分析法和综合法是数学逻辑推理思维的呈现,展示的是解决问题的具体思路。而为了有效地帮助学生弄清实际问题中的数量关系,还往往采用画图、列表整理信息等手段。这些训练的手段方式,其实就是我们现在谈论的解决问题的基本策略。
比如,教学四下解决问题的策略例2(相遇问题),我们在指导学生运用画图策略整理信息的同时。还应结合画图(或者动画展示相遇的过程),让学生清晰两种不同的解题思路:“两家相距的路程=小兰走的路程 小芳走的路程”;或者“两家相距的路程=两人一分钟走的路程和×相遇时间”。这里的第二种思路是一般学生难以理解的,画图(动画演示)正好成为化抽象为具体直观的桥梁。在这里,画图策略的实质就是帮助学生整理数量关系比较复杂的信息。使得隐藏的数量关系清晰地展示出来。
但是我们也应当看到,就数量关系常用的分析法与综合法而言,其实本身就是一种解决问题的策略,是一种逻辑思维的最起码要求。这种思维方式是大多数人所采用的基本策略形式。我们没有必要对数量关系进行过多的机械训练。因为长时间统一模式的训练(比如“要求……必须求……”,“根据……可以求……”等等)可能会致使学生的思维总是局限在某一些知识范畴内,陷入死胡同,钻牛角尖。这是应该注意防范的。
为此,课程标准十分重视学生解决实际问题的策略教学。强调指出:“面对实际问题,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。”在苏教版教材中就提出一系列具体的解决问题策略内容,除了分析法和综合法这些基本策略外,还介绍画图法、列表法、列举法、倒推法、替换和假设法等等常用的策略。这些具体策略有些适合于解决常规问题,有的适合于解决一些特殊问题。但应注意的是,这些策略方法并不是孤立存在的,而是你中有我,我中有你。因此我们在进行数量关系分析训练的同时,应更多地关注这些策略 的有机渗透,为策略的逐渐形成打好基础。
比如,四年级学生解答这样一道题:张书红6分钟练24个字,照这样,她练72个字需要多少分钟?有的学生根据字数的变化直觉地得到时间的变化扩大了3倍,得出6×(72÷24)=18(分)。但有的学生却列出6×72÷24这样的算式,有没有道理呢?学生可能一下子讲不清楚,但这种算法里面却蕴含着假设的思想,假设她练1个字要6分钟,这样练72个字需要(6×72)分钟,但实际上是练24个字需要6分钟,这样相比较,所用的时间必须缩小24倍,所以再除以24。这道算式里面不正蕴含着后面要学习的假设策略吗?如果我们老师看不到这种解法背后的数学思想策略,只是就题论题,浅显地教学生基本的数量关系分析,学生的思维境界永远是“近视”的、浅层次的。
当前,笔者注意到有些老师不仅没有理清数量关系和解决问题的策略之间的关系,反而倒过来,把解决问题的策略简单地当作数量关系的分析那样,机械地教思路,教套路,这是必须纠正的。我们对数量关系的教学,一定要符合数学思维发展的规律。我们不要总是由低往上看,而要居高临下,只有教师的视野高于教材,高于“数量关系”,才有可能教活“数量关系”。
三、重新审视学生解决问题中的“问题”。辩证地看待学生解决问题过程中的“慢”和“错”
为什么会有人担心学生解决问题过程既慢又容易出错?其原因就在于教师的头脑里并不是让学生解决问题,而是解答应用题。不可否认,在我们的教材里、练习题里,依然充斥着大量的应用问题,这些“问题”本质上讲并不是真正的“解决问题”。
“解决问题”和“应用题”是两个不同的概念。现在学生在解决实际问题过程中,往往喜欢套模型,其原因就是我们传统应用题教学的习惯思维所致。而现在我们打破了原来教材“一例一类”应用题教学模式,更多的是一种“散点式”的教材编排,学生对纷繁复杂的实际问题显得手足无措。这种现象正说明我们的学生尚缺乏真正的解决问题的能力,说明我们的教学中没有真正地为学生解决问题的能力的发展提供足够的空间。新课改的一个重要“改变”就是要求我们改变传统的循序渐进式的数量关系分析套路模式,代之以散点教学模式,以解放学生的思维手脚。为此我们需要新的教学探索。
比如,在教学除法计算时,有这样一道题:三年级有42人,分成两队,每队再分成3组。问每组多少人?这个问题放在三年级,学生很自然地想到用除法来解决:42÷2÷3=7(人)。但如果把这样的问题给低年级学生来做,学生是否就不能解决呢?显然不是。比如学生都排过队,排队的经验是先排队再报数,分两队,就“1、2”报数,单数往前走一步,自然就分成两队。再分3组,每队再“1、2、3”报数,报“1”的往前再走一步,报“3”的往后退一步,这样不就解决了吗?这个过程,才是真正的解决问题。学生在排队报数的过程中,不仅仅是解决问题了,更主要的是经历了分类解决问题的策略学习过程,而三年级学生应用除法计算,其实很大程度上并不是真正地解决问题,而是做“应用题”。
因为教材“散点式”的内容编排。学生就会在学习解决问题的过程中遇到很多这样低年级解决中高年级的问题,小学生解决中学生的问题。如果我们依然像传统应用题教学模式那样,给学生以解题的样板,学生所需要的只是机械的模仿,虽然确实可以“高效率”地“解决问题”,但那样教学后,当学生真正面临“非常规问题”时,就会显得困难重重。由此笔者赞同这样一些观点:数量关系不是解决问题的本质所在,解决问题不一定非要按部就班地分析数量关系,数量关系的分析不是解决问题的必要环节和手段,解决问题不是解答应用题。我们应努力为学生创设这样的空间:让学生觉得无类型模式可套,需要自己来寻找、探索、选择最有价值的知识。这就需要我们适当增加一些非常规问题,来考验甚至是“折磨”学生的思维,尽管这样的教学效果可能是缓慢的,学生的探索脚步是蹒跚的,甚至是错误的,但这些我们都不足为怕,因为只有学生经历了“慢”和“错误”的考验,才有可能获得珍贵的问题解决经验。
当前,新课标提出“四基”教学要求,即在重视学生获得基础知识和基本技能的同时,还要关注学生数学思维能力的发展和数学学习活动经验的扩展。所以,对数量关系的教学,不应该只是让学生熟练记忆和运用,也不应该只是浅层次的逻辑思维训练,还应该包括深层次的创新思维素质的发展和数学思想方法的感悟。努力把单纯的数量关系训练演变为综合的问题解决。面对学生在解决问题过程中的“慢”和“错误”,我们需要辩证的甚至是欣赏的眼光。今天的“慢”,也许正是过程感悟的充分,而今天的“错”,正好可以让学生的体验变得深厚起来。这正是“教育是慢的艺术”的真谛所在!