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摘要本文主要研究了如何建立适当的预条件矩阵, 把一个非对角占优的矩阵转化为对角占优矩阵, 并得到了相应的结论. 并且对此结论给出了相关的数值例子.
关键词迭代法; 矩阵; 预条件矩阵; 对角占优性
中图分类号O151.26 文献标识码： A
Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-matrix
XUE Wei
(Gansu Construction Vocational Technical College,Lanzhou 730050, China)
Abstract This paper mainly studies how to establish appropriate preconditioned matrices for transforming a H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix, obtains the corresponding conclusion and presents the related numerical example of this conclusion.
KeywordsIterative method; H-matrix; Preconditions matrix; Diagonally dominant properties
1引言
对于给定的线性方程组
,
其中和已知, 未知. 当用迭代法求解时迭代格式为
,
其中称为迭代矩阵, 称为初值[1]. 我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法[1], Gauss-Seidel迭代法[1], SOR()迭代法[1], 它们的迭代格式分别为
,
,
,
而且当系数矩阵为严格对角占优矩阵时, 这三种迭代法都收敛[2]. 但是, 在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优, 因此, 对原方程组进行预条件等价变形, 把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要. 例如, 我们可以找两个非奇异矩阵和使得严格对角占优, 这样便把解的问题转化为解其同解问题
.
因此, 找到好的和便成为问题的关键, 其中和称为预条件矩阵[5]. 对和的选取方式有很多种, 现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵.
本文主要考虑对矩阵, 建立适当的稀疏预条件矩阵和, 使得严格对角占优.
2预备知识
2.1四个定义
定义1[3]设, 若可以表示为, 其中, 则当
时, 称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.
定义2[4]设, 令, , 则称矩阵
为的比较矩阵, 记作, 即
.
若是非奇异的矩阵, 则称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.
定义3[3]设, 若满足
,
且至少有一个使上述不等式严格成立, 则称为弱严格对角占优矩阵; 如果上述个不等式都严格成立, 则称为严格对角占优矩阵.
定义4[3]设, 若存在正对角矩阵, 使得为行（列）严格
对角占优矩阵, 则称为行（列）广义对角占优矩阵.
2.2三个引理
引理1[4]是矩阵的充要条件是存在使, 其中.
引理2[5]是对角元全为1的矩阵, 若, 则成立不等式
.
引理3[5]是矩阵的充要条件是存在正对角矩阵, 使得为行（列）
严格对角占优矩阵.
3主要结论及证明
若是对角元全为1的矩阵, 我们考虑如下预条件矩阵和,
,
,
其中是参数.
定理1是对角元全为1的矩阵, 假设存在一个正向量, 使
得, 如果滿足条件
,
那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.
证明让, 取, 则
.
因此, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵.
从上面的证明我们可以看出, 定理1的结论很好, 但在具体的应用过程中, 我们很难确定和的数值, 从而给解题带来不便, 因此可考虑对和取特殊值来避免此不便. 现对和取特殊值为
,
,
可得下面的定理.
定理2是对角元全为1的矩阵, 如果
,
那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.
证明让, 取, 则
.
因此, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵.
4初步应用
特别地, 对, 我们运用定理2的结论, 对下面的测试矩阵去建立对角占优矩阵. 取矩阵为
,
运用预条件矩阵和, 其中
,
,
得到
,
很明显是严格对角占优矩阵.
通过上面的例子我们可以看出, 当时, 定理1和定理2的结论成立. 下面再对任意给定的, 给出定理2的数值例子. 取矩阵为
,
运用预条件矩阵和, 其中
,
,
得到
,
很明显是严格对角占优矩阵.
5总结
预条件矩阵和的选取方式有很多种, 现在已有很多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵. 本文则主要是对已有的稀疏矩阵在形式上做了推广, 并给出了相应的结论, 以便在对线性方程组预处理时, 扩大预条件矩阵的寻找范围, 给解题带来一定的便捷.
参考文献
[1]刑志栋, 曹建荣. 矩阵数值分析[M], 第2版. 西安: 陕西科学技术出版社, 2005.
[2]张凯院, 徐仲. 数值代数[M], 第2版. 北京: 科学出版社, 2006.
[3]陈公宁. 矩阵理论与应用[M], 第2版. 北京: 科学出版社, 2007.
[4]黄廷祝, 杨传胜. 特殊矩阵分析及应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.
[5]王学忠. 矩阵的预条件对角占优性[D]. 成都: 电子科技大学, 2007.
[6]王学忠, 黄廷祝, 李良. 矩阵方程组的预条件迭代法[J]. 计算数学, 29(2007): 89-96.
关键词迭代法; 矩阵; 预条件矩阵; 对角占优性
中图分类号O151.26 文献标识码： A
Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-matrix
XUE Wei
(Gansu Construction Vocational Technical College,Lanzhou 730050, China)
Abstract This paper mainly studies how to establish appropriate preconditioned matrices for transforming a H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix, obtains the corresponding conclusion and presents the related numerical example of this conclusion.
KeywordsIterative method; H-matrix; Preconditions matrix; Diagonally dominant properties
1引言
对于给定的线性方程组
,
其中和已知, 未知. 当用迭代法求解时迭代格式为
,
其中称为迭代矩阵, 称为初值[1]. 我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法[1], Gauss-Seidel迭代法[1], SOR()迭代法[1], 它们的迭代格式分别为
,
,
,
而且当系数矩阵为严格对角占优矩阵时, 这三种迭代法都收敛[2]. 但是, 在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优, 因此, 对原方程组进行预条件等价变形, 把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要. 例如, 我们可以找两个非奇异矩阵和使得严格对角占优, 这样便把解的问题转化为解其同解问题
.
因此, 找到好的和便成为问题的关键, 其中和称为预条件矩阵[5]. 对和的选取方式有很多种, 现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵.
本文主要考虑对矩阵, 建立适当的稀疏预条件矩阵和, 使得严格对角占优.
2预备知识
2.1四个定义
定义1[3]设, 若可以表示为, 其中, 则当
时, 称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.
定义2[4]设, 令, , 则称矩阵
为的比较矩阵, 记作, 即
.
若是非奇异的矩阵, 则称为非奇异的矩阵, 简称矩阵.
定义3[3]设, 若满足
,
且至少有一个使上述不等式严格成立, 则称为弱严格对角占优矩阵; 如果上述个不等式都严格成立, 则称为严格对角占优矩阵.
定义4[3]设, 若存在正对角矩阵, 使得为行（列）严格
对角占优矩阵, 则称为行（列）广义对角占优矩阵.
2.2三个引理
引理1[4]是矩阵的充要条件是存在使, 其中.
引理2[5]是对角元全为1的矩阵, 若, 则成立不等式
.
引理3[5]是矩阵的充要条件是存在正对角矩阵, 使得为行（列）
严格对角占优矩阵.
3主要结论及证明
若是对角元全为1的矩阵, 我们考虑如下预条件矩阵和,
,
,
其中是参数.
定理1是对角元全为1的矩阵, 假设存在一个正向量, 使
得, 如果滿足条件
,
那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.
证明让, 取, 则
.
因此, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵.
从上面的证明我们可以看出, 定理1的结论很好, 但在具体的应用过程中, 我们很难确定和的数值, 从而给解题带来不便, 因此可考虑对和取特殊值来避免此不便. 现对和取特殊值为
,
,
可得下面的定理.
定理2是对角元全为1的矩阵, 如果
,
那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.
证明让, 取, 则
.
因此, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵.
4初步应用
特别地, 对, 我们运用定理2的结论, 对下面的测试矩阵去建立对角占优矩阵. 取矩阵为
,
运用预条件矩阵和, 其中
,
,
得到
,
很明显是严格对角占优矩阵.
通过上面的例子我们可以看出, 当时, 定理1和定理2的结论成立. 下面再对任意给定的, 给出定理2的数值例子. 取矩阵为
,
运用预条件矩阵和, 其中
,
,
得到
,
很明显是严格对角占优矩阵.
5总结
预条件矩阵和的选取方式有很多种, 现在已有很多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵. 本文则主要是对已有的稀疏矩阵在形式上做了推广, 并给出了相应的结论, 以便在对线性方程组预处理时, 扩大预条件矩阵的寻找范围, 给解题带来一定的便捷.
参考文献
[1]刑志栋, 曹建荣. 矩阵数值分析[M], 第2版. 西安: 陕西科学技术出版社, 2005.
[2]张凯院, 徐仲. 数值代数[M], 第2版. 北京: 科学出版社, 2006.
[3]陈公宁. 矩阵理论与应用[M], 第2版. 北京: 科学出版社, 2007.
[4]黄廷祝, 杨传胜. 特殊矩阵分析及应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.
[5]王学忠. 矩阵的预条件对角占优性[D]. 成都: 电子科技大学, 2007.
[6]王学忠, 黄廷祝, 李良. 矩阵方程组的预条件迭代法[J]. 计算数学, 29(2007): 89-96.