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摘 要：数学概念是数学知识结构中的基本材料，也是数学认知结构的重要组成部分。在数学教学中，使学生正确掌握数学概念是理解掌握数学原理、形成基本技能的关键，也是培养学生数学能力、发展学生智力的基础。“反比例函数”教学设计是依据新课标下初中数学概念课的教学的基本模式而设计的，以学生已有的生活经验和背景知识为基础，在丰富的现实情境中，让学生经历了反比例函数概念的抽象过程，体验了一个“正规化”的数学概念的形成过程。
关键词：教学设计；数学概念；抽象概括；数学思想方法
中图分类号：G61文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）06-0059-01
教学目标
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念，领悟反比例函数的意义。2.进一步渗透类比、归纳、对应、函数、转化等数学思想方法，发展学生的数学思维。教学重难点。经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念。教学过程。学生曾学过“变量之间的关系”和“一次函数”，对函数已有了初步的认识，已初步掌握研究函数的基本方法。在思维能力方面初步具备了思维的完备性，观察、分析、抽象、概括等能力比较薄弱，对函数意义的理解、数量之间变化规律的把握还有一定的困难。一个“正规化”的数学概念的形成过程，基本上从以下四个方面进行，一是创设问题情景，归纳共同特征；二是建立数学模型，抽象出概念；三是在交流中深化概念，挖掘新概念的内涵与外延；四是在应用数学概念解决问题的过程中巩固概念。基于以上认识，反比例函数概念形成的教学设置以下片断。
一、创设情境
师：我校艺体节活动即将举办，李老师正筹备奖品。
1、计划到距离学校2000米的超市购买奖品，则他从学校到超市所用的时间t与平均速度v之间的关系式如何表示？2、他计划用1000元，如果一种奖品单价为x元/个，购买y个，则 y与x满足怎样的关系式？3、若买相册，价钱为5元/个，若买x个，则所花的钱数y应如何表示？4、买相册已经用了50元，还想买2.5元/条的跳绳x条，则总的花费y与x满足怎样的关系式？
学生独立思考，组内交流，代表发言。
生：t=2000v 生：y=1000x 生：y=5x 生：y=50+2.5x
【设计意图】有效的激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性。
师：观察列出的四个表达式，思考每个表达式中有几个变量？这些变量之间有怎样的联系？
生：两个变量。其中一个变量随另一个变量的变化而变化。
师：我们通常用函数模型来研究两个变量之间的关系，这里有你熟悉的函数吗？
生：有，一次、正比例函数
师：另外两个大家认识吗？
部分学生：反比例函数
师：板书课题
【设计意图】以问题串的形式，使学生进一步感受函数是反映现实生活中一种有效模型，进一步深化对函数概念的理解，通过与一次、正比例函数对比，与已有认知发生冲突，对反比例函数形成初步的感性认识。
5、某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x 的变化而变化，则y与x的关系式如何表示？
6、保定市的总面积为22159平方千米，人均占有的土地面积s与全市总人口n具有怎样的关系？
生：y=1000x
生：s=22159n
【设计意图】进一步丰富具体的反比例函数实例，让学生对反比例函数形成深刻的感性认识，为下一环节的抽象、归纳概念做好铺垫。
师：在研究一次函数时，我们是从哪几个方面进行研究的？
生：定义、图象与性质、应用
师：那么，我们要研究的反比例函数又将从哪几个方面进行呢？
生12： 定义、图象与性质、应用
师：这也是今后我们研究其它函数的方法，今天就从定义开始研究。
【设计意图】运用类比的思想向学生渗透了研究函数的基本方法，为今后学习函数指明了思维的方向。
二、抽象概念
师：观察四个函数关系式有哪些共同的特点？
生：有两个变量，一个常量，t=2000v y=1000x
生：都是分式方程，左右的形式相同。y=1000x
生：两个变量都具有反比关系。s=22159n
师：若两个变量x，y的关系可以表示y=kx（k是常数，k≠0），称y是x的正比例函数。
y=kx以上称为反比例函数，你能类比正比例函数的定义给反比例函数下个定义吗？
生：若两个变量x，y的关系可以表示y=kx（k是常数，k≠0），称y是x的反比例函数。
师：板书
【设计意图】学生通过观察、比较、分析、归纳，从对反比例函数的感性认识上升到理性认识，运用从特殊到一般，类比的思维方法抽象概括出反比例函数的定义。
二、深化概念
1、思考：自变量x、函数值y的取值范围
生：x≠0 y≠0
2、判断：下列函数中哪些是反比例函数？ 哪些是一次函数？
①y=6x+3 ②y=-7x ③y=5x ④y=x2
⑤y=kx ⑥xy=4 ⑦y=9x-1
生：②③⑥⑦是反比例函数，①④是一次函数。
师：引导分析易错点。
归纳：反比例函数的内涵与外延
①k为常数且k≠0。
②x≠0，y≠0。
③三种等价形式：y=kx（k≠0）和xy=k（k≠0）和y=kx -1（k≠0）
【设计意图】通过挖掘概念的内涵和外延，对反比例函数从表象认识上升到本质认识。
……
教学反思
≤数学课程标准≥对数学教学要求的一个最突出的特点是遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历“做数学”的过程，本节课从现实生活中的大量反比例关系中抽象出反比例函数概念，让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的有效数学模型，逐步从对具体反比例关系的感性认识上升到抽象的反比例函数概念的理性认识，让学生经历了一个“正规化”的数学概念的形成过程。学生不仅感受到“生活处处皆数学，生活处处有函数”，还认识到研究、思考数学问题的一般方法。
（作者单位：河北省保定市乐凯中学）
参考文献：
[1]刘海涛.新课程背景下概念课教学设计初探[J].中国数学教育（初中版），2011（9）：24—27.
[2]王鹏，何婷.“反比例函数”教学设计[J].中国数学教育（初中版），2011（9）：20—23.
[3]刘金英.数学概念教学中的“数学味道”[J].中国数学教育（初中版），2011（7—8）：50—51.
关键词：教学设计；数学概念；抽象概括；数学思想方法
中图分类号：G61文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）06-0059-01
教学目标
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念，领悟反比例函数的意义。2.进一步渗透类比、归纳、对应、函数、转化等数学思想方法，发展学生的数学思维。教学重难点。经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念。教学过程。学生曾学过“变量之间的关系”和“一次函数”，对函数已有了初步的认识，已初步掌握研究函数的基本方法。在思维能力方面初步具备了思维的完备性，观察、分析、抽象、概括等能力比较薄弱，对函数意义的理解、数量之间变化规律的把握还有一定的困难。一个“正规化”的数学概念的形成过程，基本上从以下四个方面进行，一是创设问题情景，归纳共同特征；二是建立数学模型，抽象出概念；三是在交流中深化概念，挖掘新概念的内涵与外延；四是在应用数学概念解决问题的过程中巩固概念。基于以上认识，反比例函数概念形成的教学设置以下片断。
一、创设情境
师：我校艺体节活动即将举办，李老师正筹备奖品。
1、计划到距离学校2000米的超市购买奖品，则他从学校到超市所用的时间t与平均速度v之间的关系式如何表示？2、他计划用1000元，如果一种奖品单价为x元/个，购买y个，则 y与x满足怎样的关系式？3、若买相册，价钱为5元/个，若买x个，则所花的钱数y应如何表示？4、买相册已经用了50元，还想买2.5元/条的跳绳x条，则总的花费y与x满足怎样的关系式？
学生独立思考，组内交流，代表发言。
生：t=2000v 生：y=1000x 生：y=5x 生：y=50+2.5x
【设计意图】有效的激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性。
师：观察列出的四个表达式，思考每个表达式中有几个变量？这些变量之间有怎样的联系？
生：两个变量。其中一个变量随另一个变量的变化而变化。
师：我们通常用函数模型来研究两个变量之间的关系，这里有你熟悉的函数吗？
生：有，一次、正比例函数
师：另外两个大家认识吗？
部分学生：反比例函数
师：板书课题
【设计意图】以问题串的形式，使学生进一步感受函数是反映现实生活中一种有效模型，进一步深化对函数概念的理解，通过与一次、正比例函数对比，与已有认知发生冲突，对反比例函数形成初步的感性认识。
5、某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x 的变化而变化，则y与x的关系式如何表示？
6、保定市的总面积为22159平方千米，人均占有的土地面积s与全市总人口n具有怎样的关系？
生：y=1000x
生：s=22159n
【设计意图】进一步丰富具体的反比例函数实例，让学生对反比例函数形成深刻的感性认识，为下一环节的抽象、归纳概念做好铺垫。
师：在研究一次函数时，我们是从哪几个方面进行研究的？
生：定义、图象与性质、应用
师：那么，我们要研究的反比例函数又将从哪几个方面进行呢？
生12： 定义、图象与性质、应用
师：这也是今后我们研究其它函数的方法，今天就从定义开始研究。
【设计意图】运用类比的思想向学生渗透了研究函数的基本方法，为今后学习函数指明了思维的方向。
二、抽象概念
师：观察四个函数关系式有哪些共同的特点？
生：有两个变量，一个常量，t=2000v y=1000x
生：都是分式方程，左右的形式相同。y=1000x
生：两个变量都具有反比关系。s=22159n
师：若两个变量x，y的关系可以表示y=kx（k是常数，k≠0），称y是x的正比例函数。
y=kx以上称为反比例函数，你能类比正比例函数的定义给反比例函数下个定义吗？
生：若两个变量x，y的关系可以表示y=kx（k是常数，k≠0），称y是x的反比例函数。
师：板书
【设计意图】学生通过观察、比较、分析、归纳，从对反比例函数的感性认识上升到理性认识，运用从特殊到一般，类比的思维方法抽象概括出反比例函数的定义。
二、深化概念
1、思考：自变量x、函数值y的取值范围
生：x≠0 y≠0
2、判断：下列函数中哪些是反比例函数？ 哪些是一次函数？
①y=6x+3 ②y=-7x ③y=5x ④y=x2
⑤y=kx ⑥xy=4 ⑦y=9x-1
生：②③⑥⑦是反比例函数，①④是一次函数。
师：引导分析易错点。
归纳：反比例函数的内涵与外延
①k为常数且k≠0。
②x≠0，y≠0。
③三种等价形式：y=kx（k≠0）和xy=k（k≠0）和y=kx -1（k≠0）
【设计意图】通过挖掘概念的内涵和外延，对反比例函数从表象认识上升到本质认识。
……
教学反思
≤数学课程标准≥对数学教学要求的一个最突出的特点是遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历“做数学”的过程，本节课从现实生活中的大量反比例关系中抽象出反比例函数概念，让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的有效数学模型，逐步从对具体反比例关系的感性认识上升到抽象的反比例函数概念的理性认识，让学生经历了一个“正规化”的数学概念的形成过程。学生不仅感受到“生活处处皆数学，生活处处有函数”，还认识到研究、思考数学问题的一般方法。
（作者单位：河北省保定市乐凯中学）
参考文献：
[1]刘海涛.新课程背景下概念课教学设计初探[J].中国数学教育（初中版），2011（9）：24—27.
[2]王鹏，何婷.“反比例函数”教学设计[J].中国数学教育（初中版），2011（9）：20—23.
[3]刘金英.数学概念教学中的“数学味道”[J].中国数学教育（初中版），2011（7—8）：50—51.