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《义务教育课程标准实验教科书数学五年级上册》中第一、二单元“小数乘法”和“小数除法”均属于计算教学，有许多相似的地方，一直以来是学生们从中年级向高年级数学学习迈进的门槛。数的范围的扩展，要求学生具备较好的基础知识，关注学习细节，一直以来都是教师教学的重点与学生学习的难点。本文以这两个单元的教学为例，谈谈如何开展集体备课，指导教师明确目标、抓住数学学科特点，从而提高课堂教学实效，提升学生数学学习能力。
一、整体通读，确定要求，提出困惑
在教学研究过程中，笔者发现有的教师为了追求教学成绩的快速提升而过于注重解题技能技巧。如何唤醒教师对数学学习过程价值的重新认识？集体备课组要求教师重读《数学课程标准》，并结合课本及《教师教学用书》，细化本年级数学教学的整体目标与要求，认真备课，并强调在教学过程中要着重分析和思考应重点培养学生哪些方面的能力及如何培养。
小数乘、除法这两个单元的教学中，教师根据《教师教学用书》，比较容易把握单元教学的相关要求。在集体备课之前，首先让教师根据以往的教学经验以及班级学生的实际情况，整理出教学难点：
（1）小数乘、除法时准确确定小数点的位置；
（2）联系生活实际，灵活运用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取积的近似值或商的近似值；
（3）熟练进行关于小数的简便运算；
（4）探索因数与积、商与被除数之间的变化规律，能运用规律解决一些简单的实际问题；
（5）解决简单的实际问题时，加强运算意义的理解指导。
教师提出的教学难点，大多都是教学的重点，如何突出重点、突破难点，是集体备课一直以来关注的焦点。在集体备课过程中，教师们提出了自己的困惑。在计算教学中，计算技能的掌握貌似是最重要的，如何才能体现数学学科的教学本质，促进学生数学能力的提高。关于归纳运算法则的时机，教师提出了两个不同的观点：一些教师认为为了让学生更熟练地进行计算，要尽快给出法则；而另一些教师则认为，要延迟“和盘而出”，目的是让学生自己“悟”方法，在尝试、失败与成功中获得自己深刻理解的运算法则。
二、以生为本，突出思维，促进发展
【研讨】小数乘、除法的算理与法则。
运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。运算法则是指怎样算的、算理说的是为什么这样算。运算法则是计算的向导，是正确计算的前提。那法则究竟该不该归纳？在什么时候归纳比较合适呢？集体备课中，教师们积极商讨，提出了不同看法。一位教师认为，小数的乘、除法，都是在整数的基础上学习的。小数乘法的算理，其实是利用“转化”的思想，把小数转化为整数后，探讨数发生了什么变化、要怎样处理积的过程。学生们在学习过程中应该能领悟到面对新知识，可以尝试用转化的方法，把新知识转化为旧知识，从而解决问题。小数乘法、除法乃至以后的数学学习，几乎都是沿着这样的思路进行的。所以，要让学生自己尝试、自己悟算理，而不是用“法则”过早禁锢学生的思维。
“我觉得算理要讲，但法则可以早点给孩子，每学一例，都可以小结一些，有利于学生记忆和运用，对于后进生来说，这更为必要。”另一位教师提出了不同意见。
“那我们来尝试一下这两种方法，看一看最后的效果如何，到时再谈谈自己的感受。”一位年轻教师有点兴奋地提议。
【反思】他们争论的焦点实际上就是处理好“算理”与“法则”的关系。要提高、培养学生的计算能力，学生必须牢固地掌握法则和熟练地运用法则。根据最后的讨论结果，让教师们根据任教班级学生的实际情况进行试验。在学生思维比较活跃的班级，可以尽快给出“法则”，而在学生思维相对不太活跃的班级，则采用“延迟和盘托出”，给学生创造了充足的时间与空间关注如何正确进行小数乘、除法的计算。当发现计算错误时，先让学生自己找理由，再让其他同学帮忙指正。几节课下来，大部分学生能用自己的话准确陈述小数乘、除法的算理，并很容易地概括出计算的法则。这样做可能会多花些时间，但给了学生思考、理解、运用、自悟自得、不断调整、大胆有序表达的机会，促进了学生思维能力的发展。
因此，在实践中，处理“算理”与“法则”的关系时，应该根据任教班级的实际情况来把握总结归纳法则的最佳时机和有效方法。
三、分析例题，找准连接，明确起点
教材上的例题讲授，经常只给出了例题，却没有突出学生已有的知识生长点，这会导致年轻教师把握不准，在教学实施过程中难以唤醒学生用已有的知识，使他们“跳一跳能摘到桃子”。
【研讨】小数除法的教学关键要注意什么？
“三、四年级学生学习了计算整数除法的计算方法，而且也比较熟练地进行试商了，为什么一遇到小数除法就乱了套？”一年轻教师问。
“你知道小数除法的关键点是什么？”一老教师反问。
“把除数扩大为一个整数”，年轻教师答。
“方法是怎样的，你的依据是什么？”老教师追问。
……
“是商不变的规律，是学生们进行小数点移动、实现除数转化成整数后才进行计算”，年轻教师自言自语。
【反思】在计算教学的过程中，要注重关键性知识的突破，明确知识的来源，才能让学生深刻理解知识点，并学会举一反三。教学的最佳状态，就是把学生带入“最近发展区”，就是要充分挖掘新旧知识的连接点，为学生有效学习新知扫除障碍。例如，小数乘法时末尾的“0”可以划掉，依据就是小数的基本性质。看上去比较容易理解，但解决问题的过程中，不少孩子比较难做到。因此，在教学中，不仅要找准新旧知识的连接点，还要给予积极唤醒，利用思维定势，进行单项练习或题目辨析，从而有效促进学生对知识的掌握。
五年级的小数乘除法单元教学，一改以往比较单一的数学知识点或内容，一道例题是多个知识内容的大组拼，学习障碍多，有时教师自己都不清楚关键点在哪里、相关的基础知识有哪些。因此，教师自身要善于发现、明确知识的起点，找准新旧知识的连接点，有针对性地进行铺垫，才有利于学生理解算理、掌握法则、有效运用。
四、联系生活，重组教材，题组推进
【研讨】求积或商的近似值。
联系生活实际，灵活运用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取积的近似值或商的近似值，这也是学生学习的难点之一。
“上学年，我校有两位老师到外省学习，回来后曾进行移植课例《用除法解决问题》，当时老师并没有简单地说用“进一法”还是“去尾法”，而是大量运用生活实例，让学生在实际运用中产生取商的近似值的需要，而且明确是怎样取的，给我的印象很深刻。取积的近似值的教学也可以模仿操作吗？”A教师问道。
“加强数学知识联系实际，是十分有必要的，但是教取积的近似值时，我觉得只是书中有要求，紧迫感不大，没有唤醒学生的内需”，B教师应接道。
“我也有这样的感觉”，C教师说，“在生活中有哪些例子能唤醒学生的这种内需呢？”
“算钱的时候”，B教师应道，“如一千克苹果4.5元，买了0.75千克，要多少钱？得数肯定是三位小数，我们可以让学生先掉到这个陷阱里，让他们产生强烈的认知冲突，这样会容易记住。”她恍然大悟。
“嗯！其实，在教取积的近似值时，要与生活实际联系起来，让学生产生‘内需’，到学习商的近似值时，还可以进行对比，尽管商的千分位是小于5的数，如果涉及付钱，还是要用‘进一法’取近似值，否则就会出现钱不够买的现象。”A教师顿悟了。
教师们根据讨论对教材进行了整理，总结出不同的题组进行教学。
题组一：
（1）1千克苹果4.5元，妈妈买了0.75千克，要付多少钱？（请根据实际情况保留小数位数）（这道题的答案不唯一）
（2）1千克苹果4.5元，妈妈买了0.8千克，要付多少钱？
题组二：
（1）1千克苹果4.5元，买了0.75千克，要多少钱？
（2）准备瓶子装酱油，每瓶能装1.25千克，有24千克酱油，要准备多少个这样的瓶子？
（3）用彩带包装礼物，每份大约要用1.5米，有25米彩带能包装多少份这样的礼物？
【反思】没想到移植课例《用除法解决问题》给教师们带来如此大的影响。而且，当时，备课组也是遵循设计者的意图，弱化了“进一法”“去尾法”这两个名称，通过不同的题组，唤醒学生已有的生活经验，使其在解决问题的过程中掌握方法，学会结合生活实际，理解、感悟什么时候要用“进一法”、什么时候要用“去尾法”，这样的教学强化了数学理解，突出了数学的本质，确实让大家开了眼界。
其实，在运用除法解决简单实际问题的过程中，也应运用题组，促进学生根据问题理解题意而不是用定势思维“大数除以小数”来解决。
题组三：
（1）妈妈买5千克苹果花了10元，每千克苹果要多少钱？
（2）妈妈买5千克苹果花了10元。如果只有1元，能买多少千克苹果？
通过题组教学，让学生经历“悟”与“学”的过程，能有效提高学生对事物的整体认识，建立比较完整的知识体系，提高学生的数学思维能力。
五、循序渐进，强化对比，灵活变式
【研讨】简便运算。
中年级的时候，学生已经学会了五大运算定律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律），也学过减法和除法的性质。到了五年级，学生对简便运算感到困惑。一是对所学的运算定律有些遗忘了；二是对数的拓展感到不适，如1.02可以看做是1＋0.02，9.9相当于10－0.1；三是五年级还要求学生结合积的变化规律与商不变的规律等进行简便运算。
对此，教师们经过商讨，提出了以下建议：
第一，加强基础知识的学习。如：25×4＝100,125×8＝1000，2.5×4＝10，1.25×8＝100等。
第二，指导学生合理灵活地对算式进行变形。如：2.5×４.８，２.５×９９，１６.３５×９.６－０.９６×６３.５等。
第三，要强化简便运算的审题步骤：（1）看算式的运算符号；（2）想数的特点；（3）考虑用哪个运算定律；（4）回顾检查。
【反思】诚然，简便运算是学习的一大难点，要让学生学会具体情况具体分析。学习时，可分阶段让学生循序渐进地接受专项练习，然后对容易混淆的知识进行对比。如乘法结合律与分配律，学生们总是误写成：（A×B）×C＝(A×B)×(B×C)，这其实是对运算定律本身不理解。只有在对比再认知中，促进学生真正理解，再进行综合练习，帮助其理清算式中数的特点并采取相应的方法进行计算，让学生认识到“具体情况具体分析，并要择优选用”，在这个过程中，学生的思维能力必定能得到发展。
小数乘、除法这两个单元，提高学生的计算技能技巧是主要的教学目标，但经过集体备课研讨，教学观念的碰撞、调整以及学习，教师们认识到要坚持以发展学生的数学思维能力为首要任务，通过不同的形式、途径，加强学生对计算算理的理解，并花心思钻研如何充分利用教材，真正让学生经历算理转化为规律的过程，促进了学生数学能力的提高，提高了学生的思维品质，使其具有一定的深刻性、灵活性，这样的数学课堂，数学味更浓。数学的学习，应该是学生思维空间拓展的过程，需要教师们一直努力践行！
（作者单位:广东省广州市海珠区菩提路小学）
(责任编辑：令狐小柯)
一、整体通读，确定要求，提出困惑
在教学研究过程中，笔者发现有的教师为了追求教学成绩的快速提升而过于注重解题技能技巧。如何唤醒教师对数学学习过程价值的重新认识？集体备课组要求教师重读《数学课程标准》，并结合课本及《教师教学用书》，细化本年级数学教学的整体目标与要求，认真备课，并强调在教学过程中要着重分析和思考应重点培养学生哪些方面的能力及如何培养。
小数乘、除法这两个单元的教学中，教师根据《教师教学用书》，比较容易把握单元教学的相关要求。在集体备课之前，首先让教师根据以往的教学经验以及班级学生的实际情况，整理出教学难点：
（1）小数乘、除法时准确确定小数点的位置；
（2）联系生活实际，灵活运用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取积的近似值或商的近似值；
（3）熟练进行关于小数的简便运算；
（4）探索因数与积、商与被除数之间的变化规律，能运用规律解决一些简单的实际问题；
（5）解决简单的实际问题时，加强运算意义的理解指导。
教师提出的教学难点，大多都是教学的重点，如何突出重点、突破难点，是集体备课一直以来关注的焦点。在集体备课过程中，教师们提出了自己的困惑。在计算教学中，计算技能的掌握貌似是最重要的，如何才能体现数学学科的教学本质，促进学生数学能力的提高。关于归纳运算法则的时机，教师提出了两个不同的观点：一些教师认为为了让学生更熟练地进行计算，要尽快给出法则；而另一些教师则认为，要延迟“和盘而出”，目的是让学生自己“悟”方法，在尝试、失败与成功中获得自己深刻理解的运算法则。
二、以生为本，突出思维，促进发展
【研讨】小数乘、除法的算理与法则。
运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。运算法则是指怎样算的、算理说的是为什么这样算。运算法则是计算的向导，是正确计算的前提。那法则究竟该不该归纳？在什么时候归纳比较合适呢？集体备课中，教师们积极商讨，提出了不同看法。一位教师认为，小数的乘、除法，都是在整数的基础上学习的。小数乘法的算理，其实是利用“转化”的思想，把小数转化为整数后，探讨数发生了什么变化、要怎样处理积的过程。学生们在学习过程中应该能领悟到面对新知识，可以尝试用转化的方法，把新知识转化为旧知识，从而解决问题。小数乘法、除法乃至以后的数学学习，几乎都是沿着这样的思路进行的。所以，要让学生自己尝试、自己悟算理，而不是用“法则”过早禁锢学生的思维。
“我觉得算理要讲，但法则可以早点给孩子，每学一例，都可以小结一些，有利于学生记忆和运用，对于后进生来说，这更为必要。”另一位教师提出了不同意见。
“那我们来尝试一下这两种方法，看一看最后的效果如何，到时再谈谈自己的感受。”一位年轻教师有点兴奋地提议。
【反思】他们争论的焦点实际上就是处理好“算理”与“法则”的关系。要提高、培养学生的计算能力，学生必须牢固地掌握法则和熟练地运用法则。根据最后的讨论结果，让教师们根据任教班级学生的实际情况进行试验。在学生思维比较活跃的班级，可以尽快给出“法则”，而在学生思维相对不太活跃的班级，则采用“延迟和盘托出”，给学生创造了充足的时间与空间关注如何正确进行小数乘、除法的计算。当发现计算错误时，先让学生自己找理由，再让其他同学帮忙指正。几节课下来，大部分学生能用自己的话准确陈述小数乘、除法的算理，并很容易地概括出计算的法则。这样做可能会多花些时间，但给了学生思考、理解、运用、自悟自得、不断调整、大胆有序表达的机会，促进了学生思维能力的发展。
因此，在实践中，处理“算理”与“法则”的关系时，应该根据任教班级的实际情况来把握总结归纳法则的最佳时机和有效方法。
三、分析例题，找准连接，明确起点
教材上的例题讲授，经常只给出了例题，却没有突出学生已有的知识生长点，这会导致年轻教师把握不准，在教学实施过程中难以唤醒学生用已有的知识，使他们“跳一跳能摘到桃子”。
【研讨】小数除法的教学关键要注意什么？
“三、四年级学生学习了计算整数除法的计算方法，而且也比较熟练地进行试商了，为什么一遇到小数除法就乱了套？”一年轻教师问。
“你知道小数除法的关键点是什么？”一老教师反问。
“把除数扩大为一个整数”，年轻教师答。
“方法是怎样的，你的依据是什么？”老教师追问。
……
“是商不变的规律，是学生们进行小数点移动、实现除数转化成整数后才进行计算”，年轻教师自言自语。
【反思】在计算教学的过程中，要注重关键性知识的突破，明确知识的来源，才能让学生深刻理解知识点，并学会举一反三。教学的最佳状态，就是把学生带入“最近发展区”，就是要充分挖掘新旧知识的连接点，为学生有效学习新知扫除障碍。例如，小数乘法时末尾的“0”可以划掉，依据就是小数的基本性质。看上去比较容易理解，但解决问题的过程中，不少孩子比较难做到。因此，在教学中，不仅要找准新旧知识的连接点，还要给予积极唤醒，利用思维定势，进行单项练习或题目辨析，从而有效促进学生对知识的掌握。
五年级的小数乘除法单元教学，一改以往比较单一的数学知识点或内容，一道例题是多个知识内容的大组拼，学习障碍多，有时教师自己都不清楚关键点在哪里、相关的基础知识有哪些。因此，教师自身要善于发现、明确知识的起点，找准新旧知识的连接点，有针对性地进行铺垫，才有利于学生理解算理、掌握法则、有效运用。
四、联系生活，重组教材，题组推进
【研讨】求积或商的近似值。
联系生活实际，灵活运用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取积的近似值或商的近似值，这也是学生学习的难点之一。
“上学年，我校有两位老师到外省学习，回来后曾进行移植课例《用除法解决问题》，当时老师并没有简单地说用“进一法”还是“去尾法”，而是大量运用生活实例，让学生在实际运用中产生取商的近似值的需要，而且明确是怎样取的，给我的印象很深刻。取积的近似值的教学也可以模仿操作吗？”A教师问道。
“加强数学知识联系实际，是十分有必要的，但是教取积的近似值时，我觉得只是书中有要求，紧迫感不大，没有唤醒学生的内需”，B教师应接道。
“我也有这样的感觉”，C教师说，“在生活中有哪些例子能唤醒学生的这种内需呢？”
“算钱的时候”，B教师应道，“如一千克苹果4.5元，买了0.75千克，要多少钱？得数肯定是三位小数，我们可以让学生先掉到这个陷阱里，让他们产生强烈的认知冲突，这样会容易记住。”她恍然大悟。
“嗯！其实，在教取积的近似值时，要与生活实际联系起来，让学生产生‘内需’，到学习商的近似值时，还可以进行对比，尽管商的千分位是小于5的数，如果涉及付钱，还是要用‘进一法’取近似值，否则就会出现钱不够买的现象。”A教师顿悟了。
教师们根据讨论对教材进行了整理，总结出不同的题组进行教学。
题组一：
（1）1千克苹果4.5元，妈妈买了0.75千克，要付多少钱？（请根据实际情况保留小数位数）（这道题的答案不唯一）
（2）1千克苹果4.5元，妈妈买了0.8千克，要付多少钱？
题组二：
（1）1千克苹果4.5元，买了0.75千克，要多少钱？
（2）准备瓶子装酱油，每瓶能装1.25千克，有24千克酱油，要准备多少个这样的瓶子？
（3）用彩带包装礼物，每份大约要用1.5米，有25米彩带能包装多少份这样的礼物？
【反思】没想到移植课例《用除法解决问题》给教师们带来如此大的影响。而且，当时，备课组也是遵循设计者的意图，弱化了“进一法”“去尾法”这两个名称，通过不同的题组，唤醒学生已有的生活经验，使其在解决问题的过程中掌握方法，学会结合生活实际，理解、感悟什么时候要用“进一法”、什么时候要用“去尾法”，这样的教学强化了数学理解，突出了数学的本质，确实让大家开了眼界。
其实，在运用除法解决简单实际问题的过程中，也应运用题组，促进学生根据问题理解题意而不是用定势思维“大数除以小数”来解决。
题组三：
（1）妈妈买5千克苹果花了10元，每千克苹果要多少钱？
（2）妈妈买5千克苹果花了10元。如果只有1元，能买多少千克苹果？
通过题组教学，让学生经历“悟”与“学”的过程，能有效提高学生对事物的整体认识，建立比较完整的知识体系，提高学生的数学思维能力。
五、循序渐进，强化对比，灵活变式
【研讨】简便运算。
中年级的时候，学生已经学会了五大运算定律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律），也学过减法和除法的性质。到了五年级，学生对简便运算感到困惑。一是对所学的运算定律有些遗忘了；二是对数的拓展感到不适，如1.02可以看做是1＋0.02，9.9相当于10－0.1；三是五年级还要求学生结合积的变化规律与商不变的规律等进行简便运算。
对此，教师们经过商讨，提出了以下建议：
第一，加强基础知识的学习。如：25×4＝100,125×8＝1000，2.5×4＝10，1.25×8＝100等。
第二，指导学生合理灵活地对算式进行变形。如：2.5×４.８，２.５×９９，１６.３５×９.６－０.９６×６３.５等。
第三，要强化简便运算的审题步骤：（1）看算式的运算符号；（2）想数的特点；（3）考虑用哪个运算定律；（4）回顾检查。
【反思】诚然，简便运算是学习的一大难点，要让学生学会具体情况具体分析。学习时，可分阶段让学生循序渐进地接受专项练习，然后对容易混淆的知识进行对比。如乘法结合律与分配律，学生们总是误写成：（A×B）×C＝(A×B)×(B×C)，这其实是对运算定律本身不理解。只有在对比再认知中，促进学生真正理解，再进行综合练习，帮助其理清算式中数的特点并采取相应的方法进行计算，让学生认识到“具体情况具体分析，并要择优选用”，在这个过程中，学生的思维能力必定能得到发展。
小数乘、除法这两个单元，提高学生的计算技能技巧是主要的教学目标，但经过集体备课研讨，教学观念的碰撞、调整以及学习，教师们认识到要坚持以发展学生的数学思维能力为首要任务，通过不同的形式、途径，加强学生对计算算理的理解，并花心思钻研如何充分利用教材，真正让学生经历算理转化为规律的过程，促进了学生数学能力的提高，提高了学生的思维品质，使其具有一定的深刻性、灵活性，这样的数学课堂，数学味更浓。数学的学习，应该是学生思维空间拓展的过程，需要教师们一直努力践行！
（作者单位:广东省广州市海珠区菩提路小学）
(责任编辑：令狐小柯)