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【片段一】引思——挖掘情理相容的多彩内涵。
师：魔术开始了，这是一张长方形纸。
（讲台后 “嘶”“嘶”两声。）
师：变成了几片纸？
生1：4片。
生2：因为你撕了两下。
师：正确答案就是4片。
生3：我觉得有可能是3片。第一次先撕开，再把其中一张再撕开，就是3片。
师：正确答案就是3片。能自圆其说的答案，都是正确的。有没有可能撕成2片呢？
生：第一次从上往下撕开一半，第二次再从下对齐往上全部撕开，就成了2片。
师：正确答案就是2片。
生：1片也有可能。
生：第一次没撕开，第二次还是没撕开，还是1片。
师：还有很多的答案，条件不同，撕的方法不同，可能产生的答案也就不同，这些答案都是可能的。
【赏析】
数学活动的有效引领——一张纸的内涵。灵动、激情的数学课堂，活动是载体，徐老师的“听声辨形”，轻轻掀开了学生的思维之帘，让学生的思维在休眠中得以启动，了无痕迹，却又顺承自然，最终走向“一发不可收拾”。
数学思想的无形渗透——一切皆有可能。个性化的答案，基于自我的理解，呈现出数学学习是学生个体建构数学知识的活动，从徐老师的课堂中，数学思想已无形凸显。一方面数学知识是严密而又极具逻辑性的，“条件不同，方法不同”，正是对此最有利的诠释；另一方面，“可能产生的答案不同”，揭示了数学结果的多样性与不确定性。
【片段二】悟理——寻求情理相容的和谐共生。
师：结果是原来有1片，现在有4片。这里的每一片纸必须变成4片，猜，照这样变下去，能撕出2010片吗？2009片呢？2011片呢？
师：数学家华罗庚爷爷这样说：当你们在学习中遇到较复杂的数学现象和较困难的数学问题时，一定要学会知难而——“退”。
生：不是真的退，而是要从退中找到一种方法。
师：我们要学会知难而退，那这里退到几张纸？（ 1张）我们进了一小步，到了4张纸，（撕两声）现在几张纸？
学生猜测7或8张，一起数，得出7张。
师：我不问为什么是7张，而是8张错在哪里？
生： 4张，再撕成4张，成了8张，没考虑到是拿出其中一张大的纸再变成4张小的纸，所以要减1。
生：下面13张，16张……
师：该回头看了，大家发现……
生：每次都会增加3张。
师：到一定的时候要驻足回头看。原来有1片，每次增加的都是3的倍数，简化为n个3，就是3n+1。这里撕的片数都可以用3的倍数多1来表示。那2009能被撕出来吗？
生：不能，2009减1不是3的倍数。
生：2010不能，2011是可以撕出来的。
师：退退退，进进进，回头看，找规律。
【赏析】
当学生已有的知识已经不能解决当前所面临的问题，新的学习也就开始了。面对撕纸游戏后产生的新的数学问题：能不能撕成2009片、2010片、2011片呢？繁难而又冗长，怎么办？徐老师给予学生“思维自由驰骋”的猜想空间，并依循着“猜想—验证—运用”的行进路线，尝试“知难而退，以退为进”，“退到问题最简单的地方，从头再来，寻找规律”，学生退到“一张纸”的原点处，继而逐步演进，寻找到解决问题方法的支撑，使猜想趋于合理，答案得以精确。更难能可贵的是，学生在这样充盈着智慧的课堂上，体悟到了“退”的力量是那样的“巨大”，从中领会掌握合理的方法，这对问题的有效解决是不可或缺的。
徐老师教给学生的，不是一个简单的知识点，而是“一个能够撬起地球的支点”，是寓情于理、理中生情、情理互通的一个永生享用的“法宝”。他注重让学生学会对自我思维偏误的合理谨慎与反思，当知道错在哪里的时候，才是最厉害的；他亦关注基于规范操作下的合理猜想，“我们要做合理的操作，来支持我们合理的猜想”；他更聚焦于“寻规悟道修法”的学习本真追求，处处显现“进退两相依”的动人胜景。
【片段三】生义——演绎情理相容的智慧生长。
（板书：100000004边形）
师：这个图形是怎样的呢？
生：它是一个封闭图形，有100000004个角，100000004条边。
师：它的内角和是多少度？
生：100000002乘180°。
生：100000004减2再乘180°。
师：这个多边形的内角和与它的边可能有关系，为什么要减去2呢？你们有什么办法说明？
生：退退退，进进进，回头看，找规律。
师：退到几边形？
生：三角形，因为它是最简单的封闭图形。
师：回头看，三角形内角和多少度？四边形呢？为什么呢？
生：四边形可以分成两个三角形，两个三角形的内角和是360°，所以四边形的内角和就是360°。
生：两个三角形，也就是180°×2=360°。
师：五边形的内角和是怎样得到的呢？（3个三角形）你能让我看出3在哪里吗？
生：一分为三。
师：三角形内角和是一个180度，四边形会一分为二？五边形会一分为三……一亿边形呢？一亿零二边形呢？一亿零四边形呢？
师：法宝证明，边数减2是有道理的。
【赏析】
学生学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动。数学的价值是通过应用得以体现的。“100000004的内角和是多少？”让在场听课者着实捏了把汗，但课堂中的学生却并未惊呼连连，“100000002乘180度”，“100000004减2再乘180”，他们的猜测已经不是课堂伊始的不着边际，因为他们已经窥悟“退中之道，进中之理”——退到最简单的封闭图形，以此展开研究，通过有效的分割，化繁为简，直至问题的核心，继而向终极答案迈进。徐老师没有过多地说教与灌输，因为他坚信“答案就在我们心中”，他更相信“法宝”的力量。
“授之以鱼，只供一饭之需；授之以渔将终身受益。”学习方法其实比知识本身更重要，方法的领悟，不仅要靠教师言传身教，更是学生学习进程中在自我反思和实践中得以积淀和形成。“退退退，进进进，回头看，找规律。”简单而又实用，退是一种手段，是一种方法，是一种思想，是为进积聚能量。
追求情趣与理趣的完美相容，情是理的土壤，理是情的果实，依循着“情中生理，理中育情”的要旨，从感知起步，学生用自己的独特视角，多维思辨，经历提炼过程，直至运用突破，最终达成从情趣到理趣的自然升华，课堂也必然会浸润在快乐之中。
“课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”，徐老师的课堂，带领学生从感性走向理性，从肤浅走向深刻，体现出了一种人文关怀，情理相容，智慧生长，让整个课堂成为了共享数学理性光芒的诗意殿堂。
（作者单位：江苏省常州市武进区潘家小学 责任编辑：王彬）
师：魔术开始了，这是一张长方形纸。
（讲台后 “嘶”“嘶”两声。）
师：变成了几片纸？
生1：4片。
生2：因为你撕了两下。
师：正确答案就是4片。
生3：我觉得有可能是3片。第一次先撕开，再把其中一张再撕开，就是3片。
师：正确答案就是3片。能自圆其说的答案，都是正确的。有没有可能撕成2片呢？
生：第一次从上往下撕开一半，第二次再从下对齐往上全部撕开，就成了2片。
师：正确答案就是2片。
生：1片也有可能。
生：第一次没撕开，第二次还是没撕开，还是1片。
师：还有很多的答案，条件不同，撕的方法不同，可能产生的答案也就不同，这些答案都是可能的。
【赏析】
数学活动的有效引领——一张纸的内涵。灵动、激情的数学课堂，活动是载体，徐老师的“听声辨形”，轻轻掀开了学生的思维之帘，让学生的思维在休眠中得以启动，了无痕迹，却又顺承自然，最终走向“一发不可收拾”。
数学思想的无形渗透——一切皆有可能。个性化的答案，基于自我的理解，呈现出数学学习是学生个体建构数学知识的活动，从徐老师的课堂中，数学思想已无形凸显。一方面数学知识是严密而又极具逻辑性的，“条件不同，方法不同”，正是对此最有利的诠释；另一方面，“可能产生的答案不同”，揭示了数学结果的多样性与不确定性。
【片段二】悟理——寻求情理相容的和谐共生。
师：结果是原来有1片，现在有4片。这里的每一片纸必须变成4片，猜，照这样变下去，能撕出2010片吗？2009片呢？2011片呢？
师：数学家华罗庚爷爷这样说：当你们在学习中遇到较复杂的数学现象和较困难的数学问题时，一定要学会知难而——“退”。
生：不是真的退，而是要从退中找到一种方法。
师：我们要学会知难而退，那这里退到几张纸？（ 1张）我们进了一小步，到了4张纸，（撕两声）现在几张纸？
学生猜测7或8张，一起数，得出7张。
师：我不问为什么是7张，而是8张错在哪里？
生： 4张，再撕成4张，成了8张，没考虑到是拿出其中一张大的纸再变成4张小的纸，所以要减1。
生：下面13张，16张……
师：该回头看了，大家发现……
生：每次都会增加3张。
师：到一定的时候要驻足回头看。原来有1片，每次增加的都是3的倍数，简化为n个3，就是3n+1。这里撕的片数都可以用3的倍数多1来表示。那2009能被撕出来吗？
生：不能，2009减1不是3的倍数。
生：2010不能，2011是可以撕出来的。
师：退退退，进进进，回头看，找规律。
【赏析】
当学生已有的知识已经不能解决当前所面临的问题，新的学习也就开始了。面对撕纸游戏后产生的新的数学问题：能不能撕成2009片、2010片、2011片呢？繁难而又冗长，怎么办？徐老师给予学生“思维自由驰骋”的猜想空间，并依循着“猜想—验证—运用”的行进路线，尝试“知难而退，以退为进”，“退到问题最简单的地方，从头再来，寻找规律”，学生退到“一张纸”的原点处，继而逐步演进，寻找到解决问题方法的支撑，使猜想趋于合理，答案得以精确。更难能可贵的是，学生在这样充盈着智慧的课堂上，体悟到了“退”的力量是那样的“巨大”，从中领会掌握合理的方法，这对问题的有效解决是不可或缺的。
徐老师教给学生的，不是一个简单的知识点，而是“一个能够撬起地球的支点”，是寓情于理、理中生情、情理互通的一个永生享用的“法宝”。他注重让学生学会对自我思维偏误的合理谨慎与反思，当知道错在哪里的时候，才是最厉害的；他亦关注基于规范操作下的合理猜想，“我们要做合理的操作，来支持我们合理的猜想”；他更聚焦于“寻规悟道修法”的学习本真追求，处处显现“进退两相依”的动人胜景。
【片段三】生义——演绎情理相容的智慧生长。
（板书：100000004边形）
师：这个图形是怎样的呢？
生：它是一个封闭图形，有100000004个角，100000004条边。
师：它的内角和是多少度？
生：100000002乘180°。
生：100000004减2再乘180°。
师：这个多边形的内角和与它的边可能有关系，为什么要减去2呢？你们有什么办法说明？
生：退退退，进进进，回头看，找规律。
师：退到几边形？
生：三角形，因为它是最简单的封闭图形。
师：回头看，三角形内角和多少度？四边形呢？为什么呢？
生：四边形可以分成两个三角形，两个三角形的内角和是360°，所以四边形的内角和就是360°。
生：两个三角形，也就是180°×2=360°。
师：五边形的内角和是怎样得到的呢？（3个三角形）你能让我看出3在哪里吗？
生：一分为三。
师：三角形内角和是一个180度，四边形会一分为二？五边形会一分为三……一亿边形呢？一亿零二边形呢？一亿零四边形呢？
师：法宝证明，边数减2是有道理的。
【赏析】
学生学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动。数学的价值是通过应用得以体现的。“100000004的内角和是多少？”让在场听课者着实捏了把汗，但课堂中的学生却并未惊呼连连，“100000002乘180度”，“100000004减2再乘180”，他们的猜测已经不是课堂伊始的不着边际，因为他们已经窥悟“退中之道，进中之理”——退到最简单的封闭图形，以此展开研究，通过有效的分割，化繁为简，直至问题的核心，继而向终极答案迈进。徐老师没有过多地说教与灌输，因为他坚信“答案就在我们心中”，他更相信“法宝”的力量。
“授之以鱼，只供一饭之需；授之以渔将终身受益。”学习方法其实比知识本身更重要，方法的领悟，不仅要靠教师言传身教，更是学生学习进程中在自我反思和实践中得以积淀和形成。“退退退，进进进，回头看，找规律。”简单而又实用，退是一种手段，是一种方法，是一种思想，是为进积聚能量。
追求情趣与理趣的完美相容，情是理的土壤，理是情的果实，依循着“情中生理，理中育情”的要旨，从感知起步，学生用自己的独特视角，多维思辨，经历提炼过程，直至运用突破，最终达成从情趣到理趣的自然升华，课堂也必然会浸润在快乐之中。
“课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”，徐老师的课堂，带领学生从感性走向理性，从肤浅走向深刻，体现出了一种人文关怀，情理相容，智慧生长，让整个课堂成为了共享数学理性光芒的诗意殿堂。
（作者单位：江苏省常州市武进区潘家小学 责任编辑：王彬）