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[摘 要]在数学教学中，教师有意识地向学生渗透一些基本的数学思想，既是提高学生数学素养和思维能力的重要手段，又是培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径。因此，教师要搭建平台，降低难度，调整策略，让学生在学习过程中初步感悟数学思想；通过分析比较，主动探索，合理引导，让学生在策略比较中适时感悟数学思想；重视操作，做中感悟，悟中提炼，让学生在动手操作中深切感悟数学思想；及时应用，用中建模，强化提升，让学生在实际生活中自觉应用数学思想，从而促进学生的可持续发展。
[关键词]优化思想 比较 动手操作 数学思想 感悟
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-022
“烙饼问题”是人教版数学教材四年级上册第八单元“数学广角——优化”中的内容，主要是通过生活中烙饼这一简单的事例，让学生经历自主探究知识的过程，体验解决问题策略的多样化，并尝试在解决问题的多种方案中寻求最优方案，初步体会优化思想在实际生活中的应用。所谓优化思想，就是在有限或无限种可行方案中挑选最优方案的思想。随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛地应用于社会生产和日常生活的各个方面，其中优化思想在工农业、国防、交通、金融、通信等众多领域的应用也越来越广泛。
近日，我在全镇的“农泽杯”教学展示活动中执教“烙饼问题”一课，前期进行了三次试教，试教过程中遇到了一些问题，经过一次次的修改，最终在执教时获得了较好的教学效果。下面，我仅从自己在磨课过程中所得的一些体会，说说课堂教学中是如何引导学生感悟数学思想的。
一、搭建平台，降低难度，调整策略，让学生在学习过程中初步感悟数学思想
第一次试教，我按照烙1张、2张、3张饼的顺序展开教学，一开始学生能较好地说出1张饼和2张饼的烙法（PPT同时出示烙饼的方法）。紧接着，我便教学3张饼的烙法，先提出问题：“烙3张饼最快需要多长时间？下面同桌合作，一人操作，一人记录。”在巡视过程中，我发现很多学生把圆片拿在手上摆弄，却不知如何下手“烙”，更不用说记录烙饼的方法了。最后，我只能一桌一桌地对学生进行指导。解决烙3张饼的问题后，我带领学生研究烙4～10张饼的方法，并以PPT的形式呈现烙1～10张饼的记录单（略），同时让学生观察、寻找规律。结果，学生似懂非懂，只有个别学生参与课堂教学，教学开展甚是艰难。
第一次试教以失败告终，课后我进行了反思：首先，按照常规的思路烙1张、2张、3张饼，继而到烙4～10张饼，学生似乎有点难以接受；其次，我在试教过程中并没有将烙饼的方法、时间等信息记录在黑板上，只以PPT的形式呈现，这对学生来说印象不深，难以构建新知。此外，我只在PPT上呈现烙2张饼的方法，导致学生不会记录烙3张饼的方法，由于不会记录，更谈不上感悟数学思想了。
基于第一次试教的失败，我对教案进行了修改，决定降低难度，为学生搭建探究的平台：先教学烙2张饼的方法，并将烙的方法（如图1）记录在黑板上，方便学生模仿与参考。接着烙4张、6张、8张、10张饼，双数张饼烙完以后，学生对烙饼的方法已有初步的了解，我再提出问题：“烙3张饼最短需要多少时间？”这样教学，学生更容易接受。烙3张饼的方法在这节课中既是教学重点，又是教学难点，于是我把这个问题交给学生讨论、合作、探究。为了方便学生记录烙3张饼的方法，更好地感受优化思想，我以表格的形式设计好记录单（如图2），引导学生解决问题之后，再接着探究烙5张、7张这些单数张饼数的时间。同时，我在教学中将烙饼的过程都记录在黑板上。
这一次教学，我为学生搭建了探究的平台——先烙双数张饼，再着重教学烙3张饼的方法，学生的反应明显较之前积极了不少。同时，我在黑板上记录烙2张饼的方法，并为学生设计好记录单，从而降低了教学难度，调整了教学策略，使教学更符合农村学生的学习，让学生在学习过程中初步感悟数学思想。
二、分析比较，主动探索，合理引导，让学生在策略比较中适时感悟数学思想
教学烙3张饼的方法时，我先让学生利用学具锅和学具饼进行操作，再请学生上台演示烙饼的过程。主要有以下两种烙法：烙法1，第一次烙饼1和饼2的A面，3分钟；第二次烙它们的B面，3分钟；第三次烙饼3的A面，3分钟；第四次烙饼3的B面，3分钟，共需12分钟。烙法2：第一次烙饼1和饼2的A面，3分钟；第二次烙饼1的B面和饼3的A面，3分钟；第三次烙饼2的B面和饼3的B面，3分钟，共需9分钟。接着，我让学生思考：“都是烙3张饼，为什么烙法2节省了3分钟？烙法1浪费时间在什么地方？”……这样教学的目的是引导学生找到问题的关键：要想节约时间，锅里就要有2张饼。
烙3张饼的方法是这节课教学的重、难点，课堂上，我让学生自主探索。在学生出现两种解决方法时，我顺势让学生对比这两种方法，并适时引导：“都是烙3张饼，为什么烙法2节省了3分钟？烙法1浪费时间在什么地方？”通过问题，引发学生的数学思考。同时，教学中我通过PPT，让烙饼的过程更直观地呈现在学生面前，使学生在策略比较中感悟数学思想。
三、重视操作，做中感悟，悟中提炼，让学生在动手操作中深切感悟数学思想
开始教学烙3张饼的方法时，我让学生先通过动手操作来探究，但能想到最优方法的学生并不多，大部分学生都只能想到烙饼要12分钟的方法。因此，我让烙饼9分钟时间的学生在黑板上用教具演示两次，边烙边解释，再通过PPT将烙饼的过程完整地展示出来。接着，我带领全体学生一起说一说烙3张饼的最优方法，最后让全班学生学着刚才同学说的烙饼方法，用自己的学具再烙饼。第二次烙3张饼时，我发现基本上学生都会用最优方法烙饼了。如果这里没有第二次让学生动手操作，学生对最优化的烙饼方法还是停留在别人的想法上，自己并没有真正地进行实践，甚至有些学生还会持怀疑的态度。所以，在讲授烙3张饼的最优方法后，有必要再次让学生动手操作，使全体学生能通过自己的实践，深切感悟优化思想。
在突破本课的教学难点——烙3张饼的方法后，我安排了操作活动，先让学生自己操作，在操作中寻求烙3张饼的最优方法，然后由优秀学生将烙饼的过程演示给全班学生看，最后让学生再次进行操作，使学生深刻感悟烙3张饼的最优方法，进而对方法进行提炼与总结，将感性认识上升到理性认识。
四、及时应用，用中建模，强化提升，让学生在生活中自觉应用数学思想
在教学烙3张饼的最优方法后，我顺势介绍数学家华罗庚和优化思想：“华罗庚把数学优化思想应用于实际，在工农业生产中普及推广统筹法、优选法，既能统筹兼顾、合理安排，又极大地提高了工作效率。”通过这样教学，让学生的思想上升到一定的高度。随后，我让学生观察黑板上的烙饼记录（如图3），寻找规律，概括出一般方法。学生得出：饼数=次数，所用时间=饼数×3（烙一次的时间）。
课堂最后，我精心设计了两道练习题：第一题是结合班级的实际人数解决“烙饼问题”，这是本节课的巩固练习；第二题以复印文字资料为素材，此题既是生活中经常遇到的事，又跟“烙饼问题”有关，如“复印文字”相当于“烙饼”、“资料的正反面都要复印”相当于“烙饼的两面”、“一次最多放两张资料”相当于“锅里一次最多只能放两张饼”。练习设计的目的是让学生及时应用所学的数学知识解决问题，让学生在运用中建立数学模型，感受到数学与生活是紧密联系的，进而使学生在实际生活中自觉应用数学思想解决问题。
教学感悟：
“烙饼问题”是优化方法的运用，学生从自主操作到脱离学具，从直观感受到抽象概括，从过程体验到灵活运用，层层深入，最终感悟优化思想。在这节课教学中，学生经历提出问题、解决问题、自主操作、合作交流、寻找规律、建构模型的过程，感悟到如何烙饼才最优的思想和策略。美国心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本的数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’，使学生终身受益。”这节课我以饼为“媒”，让优化思想扎根于学生的脑海之中，促进了学生的可持续发展。
（责编 杜 华）
[关键词]优化思想 比较 动手操作 数学思想 感悟
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-022
“烙饼问题”是人教版数学教材四年级上册第八单元“数学广角——优化”中的内容，主要是通过生活中烙饼这一简单的事例，让学生经历自主探究知识的过程，体验解决问题策略的多样化，并尝试在解决问题的多种方案中寻求最优方案，初步体会优化思想在实际生活中的应用。所谓优化思想，就是在有限或无限种可行方案中挑选最优方案的思想。随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛地应用于社会生产和日常生活的各个方面，其中优化思想在工农业、国防、交通、金融、通信等众多领域的应用也越来越广泛。
近日，我在全镇的“农泽杯”教学展示活动中执教“烙饼问题”一课，前期进行了三次试教，试教过程中遇到了一些问题，经过一次次的修改，最终在执教时获得了较好的教学效果。下面，我仅从自己在磨课过程中所得的一些体会，说说课堂教学中是如何引导学生感悟数学思想的。
一、搭建平台，降低难度，调整策略，让学生在学习过程中初步感悟数学思想
第一次试教，我按照烙1张、2张、3张饼的顺序展开教学，一开始学生能较好地说出1张饼和2张饼的烙法（PPT同时出示烙饼的方法）。紧接着，我便教学3张饼的烙法，先提出问题：“烙3张饼最快需要多长时间？下面同桌合作，一人操作，一人记录。”在巡视过程中，我发现很多学生把圆片拿在手上摆弄，却不知如何下手“烙”，更不用说记录烙饼的方法了。最后，我只能一桌一桌地对学生进行指导。解决烙3张饼的问题后，我带领学生研究烙4～10张饼的方法，并以PPT的形式呈现烙1～10张饼的记录单（略），同时让学生观察、寻找规律。结果，学生似懂非懂，只有个别学生参与课堂教学，教学开展甚是艰难。
第一次试教以失败告终，课后我进行了反思：首先，按照常规的思路烙1张、2张、3张饼，继而到烙4～10张饼，学生似乎有点难以接受；其次，我在试教过程中并没有将烙饼的方法、时间等信息记录在黑板上，只以PPT的形式呈现，这对学生来说印象不深，难以构建新知。此外，我只在PPT上呈现烙2张饼的方法，导致学生不会记录烙3张饼的方法，由于不会记录，更谈不上感悟数学思想了。
基于第一次试教的失败，我对教案进行了修改，决定降低难度，为学生搭建探究的平台：先教学烙2张饼的方法，并将烙的方法（如图1）记录在黑板上，方便学生模仿与参考。接着烙4张、6张、8张、10张饼，双数张饼烙完以后，学生对烙饼的方法已有初步的了解，我再提出问题：“烙3张饼最短需要多少时间？”这样教学，学生更容易接受。烙3张饼的方法在这节课中既是教学重点，又是教学难点，于是我把这个问题交给学生讨论、合作、探究。为了方便学生记录烙3张饼的方法，更好地感受优化思想，我以表格的形式设计好记录单（如图2），引导学生解决问题之后，再接着探究烙5张、7张这些单数张饼数的时间。同时，我在教学中将烙饼的过程都记录在黑板上。
这一次教学，我为学生搭建了探究的平台——先烙双数张饼，再着重教学烙3张饼的方法，学生的反应明显较之前积极了不少。同时，我在黑板上记录烙2张饼的方法，并为学生设计好记录单，从而降低了教学难度，调整了教学策略，使教学更符合农村学生的学习，让学生在学习过程中初步感悟数学思想。
二、分析比较，主动探索，合理引导，让学生在策略比较中适时感悟数学思想
教学烙3张饼的方法时，我先让学生利用学具锅和学具饼进行操作，再请学生上台演示烙饼的过程。主要有以下两种烙法：烙法1，第一次烙饼1和饼2的A面，3分钟；第二次烙它们的B面，3分钟；第三次烙饼3的A面，3分钟；第四次烙饼3的B面，3分钟，共需12分钟。烙法2：第一次烙饼1和饼2的A面，3分钟；第二次烙饼1的B面和饼3的A面，3分钟；第三次烙饼2的B面和饼3的B面，3分钟，共需9分钟。接着，我让学生思考：“都是烙3张饼，为什么烙法2节省了3分钟？烙法1浪费时间在什么地方？”……这样教学的目的是引导学生找到问题的关键：要想节约时间，锅里就要有2张饼。
烙3张饼的方法是这节课教学的重、难点，课堂上，我让学生自主探索。在学生出现两种解决方法时，我顺势让学生对比这两种方法，并适时引导：“都是烙3张饼，为什么烙法2节省了3分钟？烙法1浪费时间在什么地方？”通过问题，引发学生的数学思考。同时，教学中我通过PPT，让烙饼的过程更直观地呈现在学生面前，使学生在策略比较中感悟数学思想。
三、重视操作，做中感悟，悟中提炼，让学生在动手操作中深切感悟数学思想
开始教学烙3张饼的方法时，我让学生先通过动手操作来探究，但能想到最优方法的学生并不多，大部分学生都只能想到烙饼要12分钟的方法。因此，我让烙饼9分钟时间的学生在黑板上用教具演示两次，边烙边解释，再通过PPT将烙饼的过程完整地展示出来。接着，我带领全体学生一起说一说烙3张饼的最优方法，最后让全班学生学着刚才同学说的烙饼方法，用自己的学具再烙饼。第二次烙3张饼时，我发现基本上学生都会用最优方法烙饼了。如果这里没有第二次让学生动手操作，学生对最优化的烙饼方法还是停留在别人的想法上，自己并没有真正地进行实践，甚至有些学生还会持怀疑的态度。所以，在讲授烙3张饼的最优方法后，有必要再次让学生动手操作，使全体学生能通过自己的实践，深切感悟优化思想。
在突破本课的教学难点——烙3张饼的方法后，我安排了操作活动，先让学生自己操作，在操作中寻求烙3张饼的最优方法，然后由优秀学生将烙饼的过程演示给全班学生看，最后让学生再次进行操作，使学生深刻感悟烙3张饼的最优方法，进而对方法进行提炼与总结，将感性认识上升到理性认识。
四、及时应用，用中建模，强化提升，让学生在生活中自觉应用数学思想
在教学烙3张饼的最优方法后，我顺势介绍数学家华罗庚和优化思想：“华罗庚把数学优化思想应用于实际，在工农业生产中普及推广统筹法、优选法，既能统筹兼顾、合理安排，又极大地提高了工作效率。”通过这样教学，让学生的思想上升到一定的高度。随后，我让学生观察黑板上的烙饼记录（如图3），寻找规律，概括出一般方法。学生得出：饼数=次数，所用时间=饼数×3（烙一次的时间）。
课堂最后，我精心设计了两道练习题：第一题是结合班级的实际人数解决“烙饼问题”，这是本节课的巩固练习；第二题以复印文字资料为素材，此题既是生活中经常遇到的事，又跟“烙饼问题”有关，如“复印文字”相当于“烙饼”、“资料的正反面都要复印”相当于“烙饼的两面”、“一次最多放两张资料”相当于“锅里一次最多只能放两张饼”。练习设计的目的是让学生及时应用所学的数学知识解决问题，让学生在运用中建立数学模型，感受到数学与生活是紧密联系的，进而使学生在实际生活中自觉应用数学思想解决问题。
教学感悟：
“烙饼问题”是优化方法的运用，学生从自主操作到脱离学具，从直观感受到抽象概括，从过程体验到灵活运用，层层深入，最终感悟优化思想。在这节课教学中，学生经历提出问题、解决问题、自主操作、合作交流、寻找规律、建构模型的过程，感悟到如何烙饼才最优的思想和策略。美国心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本的数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’，使学生终身受益。”这节课我以饼为“媒”，让优化思想扎根于学生的脑海之中，促进了学生的可持续发展。
（责编 杜 华）