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数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。下面就初中数学中的概念教学中“分类思想”的运用浅谈自己的一点体会。
一、数学概念导学阶段——启发学生分类讨论意识
数学概念来源于实践，从实际问题出发引入概念，使得抽象的数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念的实际意义。每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
二、数学概念探究阶段——指导学生分类讨论方法
数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”以概念为基础，以过程为导向，是概念教学的基本理念。让学生在探究中发现问题，并通过一定的方式解决问题，这是新课程理念的最好体现。在概念教学中，教师应在学生现有的知识背景、能力水平和心理特点的基础上，给学生提供适当的范例，引导学生对实例进行观察、比较，对概念进行假设、验证，从而获得正确的概念。
在概念教学中渗透分类思想时，首先应让学生清楚在什么情况下需要考虑分类讨论。初中阶段需要进行分类讨论的问题归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。其次，要让学生把握分类的原则。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；
（3）分类讨论应逐级进行。最后，要指导学生掌握一定的分类讨论方法。分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。学生通过适当练习还是比较容易能掌握的。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一类是代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。如一次函数y=kx b中，对k、b的取值的讨论：k为什么不能为0，b为什么可以为0，要让学生知其然，方可才能使学生知其所以然，在今后的学习中才能运用自如。又如，一元二次方程ax2 bx c=0中a的取值问题，根的判别式Δ=b2-4ac的值的讨论问题等。另一类是根据几何图形的点和线出现不同位置的确定，逐一讨论解决问题。如三角形中高的位置的确定有三种可能。正方形中找一点，使其与正方形各顶点所连的线段分正方形为四个等腰三角形，这样的点共有五种可能等。
三、数学概念运用阶段——强化学生分类讨论思想
在自主探究、合作学习的基础上，学生对概念有了一般了解。理论只有与实践不断结合，在实践操作过程中强化所学概念，概念才可能转化为学生的实际解决运用能力。故我在每节课后布置与所学内容相适宜的题目，让学生练习中巩固所学内容。这样做也是出于不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
例如，化简：x 2 x-1。
分析：这是根据绝对值的意义，围绕正数、零、负数进行分类讨论的。
由题可知：当x=1时，x-1=0，当x=-2时，x 2=0。故将数分成三类：①当x＜-2时；②当-2≤x＜1时；③当x≥1时，即可化简这个代
数式。
解：①当x＜-2时，原式=-（x 2）-（x-1）=-2x-1；
②当-2≤x＜1时，原式=（x 2）-（x-1）=1；
③当x≥1时，原式=（x 2） （x-1）=2x 1；
再如，解关于x的不等式：ax 3＜2x a.
分析：通过移项，不等式可化为（a-2）x＜a-3的形式，然后根据不等式的性质分为a-2＞0，a-2=0，a-2＜0三种情况分别解不等式
即可。
有些几何概念是根据图形的不同特征或相互间的关系进行
分类。
例如，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。
分析：本题就是根据三角形的分类而把问题分解为：当等腰三角形是锐角三角形时以及当等腰三角形是钝角三角形时这两类来解决的。
再如，已知：坐标平面中，点A（2，0），B（0，4）。在x轴上求一点C，使△ABC为等腰三角形。
分析：根据等腰三角形的定义，等腰三角形的边有腰与底之分，学生只有准确地理解这些概念，根据图形的特征及相互关系作如下分类，逐一解决问题，才能解决最终问题。
从已知边AB入手，进行分类：
■
因此，数学概念的教学，不可让学生生硬地死记，一定要理解。讲解这类习题时一定要教会学生这种分类的思想方法，确保答案
的完整、全面。
分类的根本目的是使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常明了。这很能激发学生学习数学的兴趣，所以，一名合格的教师一定会在平时的概念教学中强化分类思想方法的渗透的。概念教学是学习初中数学知识的启蒙，教与学好概念，就为今后的学习打下了坚实的基础。只要平时坚持这样的理念，就会使学生在认识层次上得到极大的提高，使以后的学习收到事半功倍的效果。
（作者单位 江苏省兴化海南中心校初中部）
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。下面就初中数学中的概念教学中“分类思想”的运用浅谈自己的一点体会。
一、数学概念导学阶段——启发学生分类讨论意识
数学概念来源于实践，从实际问题出发引入概念，使得抽象的数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念的实际意义。每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
二、数学概念探究阶段——指导学生分类讨论方法
数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”以概念为基础，以过程为导向，是概念教学的基本理念。让学生在探究中发现问题，并通过一定的方式解决问题，这是新课程理念的最好体现。在概念教学中，教师应在学生现有的知识背景、能力水平和心理特点的基础上，给学生提供适当的范例，引导学生对实例进行观察、比较，对概念进行假设、验证，从而获得正确的概念。
在概念教学中渗透分类思想时，首先应让学生清楚在什么情况下需要考虑分类讨论。初中阶段需要进行分类讨论的问题归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。其次，要让学生把握分类的原则。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；
（3）分类讨论应逐级进行。最后，要指导学生掌握一定的分类讨论方法。分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。学生通过适当练习还是比较容易能掌握的。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一类是代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。如一次函数y=kx b中，对k、b的取值的讨论：k为什么不能为0，b为什么可以为0，要让学生知其然，方可才能使学生知其所以然，在今后的学习中才能运用自如。又如，一元二次方程ax2 bx c=0中a的取值问题，根的判别式Δ=b2-4ac的值的讨论问题等。另一类是根据几何图形的点和线出现不同位置的确定，逐一讨论解决问题。如三角形中高的位置的确定有三种可能。正方形中找一点，使其与正方形各顶点所连的线段分正方形为四个等腰三角形，这样的点共有五种可能等。
三、数学概念运用阶段——强化学生分类讨论思想
在自主探究、合作学习的基础上，学生对概念有了一般了解。理论只有与实践不断结合，在实践操作过程中强化所学概念，概念才可能转化为学生的实际解决运用能力。故我在每节课后布置与所学内容相适宜的题目，让学生练习中巩固所学内容。这样做也是出于不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
例如，化简：x 2 x-1。
分析：这是根据绝对值的意义，围绕正数、零、负数进行分类讨论的。
由题可知：当x=1时，x-1=0，当x=-2时，x 2=0。故将数分成三类：①当x＜-2时；②当-2≤x＜1时；③当x≥1时，即可化简这个代
数式。
解：①当x＜-2时，原式=-（x 2）-（x-1）=-2x-1；
②当-2≤x＜1时，原式=（x 2）-（x-1）=1；
③当x≥1时，原式=（x 2） （x-1）=2x 1；
再如，解关于x的不等式：ax 3＜2x a.
分析：通过移项，不等式可化为（a-2）x＜a-3的形式，然后根据不等式的性质分为a-2＞0，a-2=0，a-2＜0三种情况分别解不等式
即可。
有些几何概念是根据图形的不同特征或相互间的关系进行
分类。
例如，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。
分析：本题就是根据三角形的分类而把问题分解为：当等腰三角形是锐角三角形时以及当等腰三角形是钝角三角形时这两类来解决的。
再如，已知：坐标平面中，点A（2，0），B（0，4）。在x轴上求一点C，使△ABC为等腰三角形。
分析：根据等腰三角形的定义，等腰三角形的边有腰与底之分，学生只有准确地理解这些概念，根据图形的特征及相互关系作如下分类，逐一解决问题，才能解决最终问题。
从已知边AB入手，进行分类：
■
因此，数学概念的教学，不可让学生生硬地死记，一定要理解。讲解这类习题时一定要教会学生这种分类的思想方法，确保答案
的完整、全面。
分类的根本目的是使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常明了。这很能激发学生学习数学的兴趣，所以，一名合格的教师一定会在平时的概念教学中强化分类思想方法的渗透的。概念教学是学习初中数学知识的启蒙，教与学好概念，就为今后的学习打下了坚实的基础。只要平时坚持这样的理念，就会使学生在认识层次上得到极大的提高，使以后的学习收到事半功倍的效果。
（作者单位 江苏省兴化海南中心校初中部）