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世界上一切事物都按照一定的客观规律运动、变化着，事物之间又彼此联系和制约着。从浩瀚的宇宙到渺小的粒子，从自然科学到社会科学……它们通过数学建立起了密切的联系。
用数学来解读社会科学，可以让我们获得新的知识。比如在经济学中引入数学，就形成了计量经济学这门学科。同样地，社会科学中的一些原理可以引导我们突破思维的极限，在自然科学上取得新突破。
破窗效应
多米诺骨牌的倒塌
1982年，美国的政治学家詹姆斯·威尔逊和犯罪学家乔治·凯琳进行了一项有趣的实验。两人把两辆一模一样的汽车分别停放在两个不同的街区，将外表完好无损的那辆车停放在较好的社区，将另一辆车摘掉车牌、打开顶棚，停放在相对杂乱的街区。
结果很快揭晓。停放在较好社区的那辆汽车，过了一个星期仍然完好无损;而摘掉车牌、打开顶棚的那一辆，不到一天就被偷走了。后来，他们把完好无损的那辆汽车敲碎了一块玻璃，仅仅几小时这辆车就不见了。
以这项实验为基础，两人提出了“破窗效应”。他们认为：如果有人打坏了一栋建筑上的一块玻璃，又没有及时修复，别人就可能受到某些暗示性的纵容，去打碎更多的玻璃。久而久之，这些窗户就给人造成一种无序的感觉。在这种麻木不仁的氛围中，犯罪就容易滋生、蔓延。
破窗效应在我们生活中随处可见。比如，一个干净整洁的地方，人们会不好意思丢垃圾。可一旦发现地上已经有垃圾，很多人就觉得，再脏一点无所谓，就会毫不犹疑地扔垃圾，丝毫不觉得羞愧。再比如，一面墙上只要出现了一个小广告，很快地，墙上就会贴满乱七八糟的小广告。
我们可以用下面这个数学模型来说明破窗效应背后的数学原理。
假设某市有一个大广场，每到周末就会有1000名家长和小朋友来休闲露营。这1000人里，有900人遵纪守法（无论如何都不会乱扔垃圾），还有100人不那么遵纪守法。这100个不遵纪守法的人，每人都有一定的“扔垃圾阈值”（意思是当最少有多少人扔垃圾时，他们也会加入扔垃圾的行列）。
我们来将这100人进行排队：
第一个人的“扔垃圾阈值”为0（即素质最差的那个人，不论别人是否扔垃圾他都要扔），第二个人的“扔垃圾阈值”为1（当有一个人开始扔垃圾的时候，他就开始扔），再后面的为2（当有两个人开始扔垃圾的时候，他也开始扔）……顺次延到99。
可以想象到，只要有一个人开始扔垃圾，就会很快蔓延至第100人，这种“扔垃圾阈值”的递增就像多米诺骨牌的倒塌，很难控制，最后就会出现广场上到处都有垃圾的惨状。
根据破窗效应，我们不难总结出这样一个道理：任何不良现象的存在都在向我们传递着某种信息，而这种信息会导致不良现象无限制扩展。
木桶原理
找到生活中的短板
在社会科学中有一个广为流传的理论叫“木桶理论”，又称“短板理论”，其核心内容为：盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由这些木板共同决定的。正常而言，木板的长度是相同的，但假设其中一块木板很短，那这个木桶的盛水量就会被短板限制——也就是说，一个木桶盛水量的大小，取决于最短的那块木板的高度。
根据这一核心内容，木桶理论还有两个推论：其一，只有桶壁上的所有木板都足够高，木桶才能盛满水。其二，只要有一块木板不够高，木桶里的水就不可能是满的。
木桶原理非常出名，也容易理解。木桶的形状大家都不陌生，它是由几十块木板和一个圆形的桶底构成的。同学们有没有想过，这些木板到底是怎样拼成木桶的？这样拼成的木桶为什么不会漏水？平面的木板又是怎么拼成圆形的呢？
制作木桶是一种非常古老的手艺，不仅中国有，外国也有。箍桶非常考验木工的计算能力和技术水平，奥妙就在于用好圆周率。当然还需要经验，操作灵活才能箍得牢、不漏水，技术难度很高，因此还诞生了一个专门的工种——“箍桶匠”。
◆木桶原理背后的数学
木桶的特点很明显，桶口较大，桶底较小，整体形状是一个圆台。圆台的数学定义是，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分。
圆台的体积可用两个圆锥的体积之差来计算，可以推出圆台的体积公式是：
V=1?π?h（R2Rr+r2）
（注：公式中的r是圆台上底半径，R是下底半径，h是高）
箍桶匠决定做一个木桶的时候，首先要明确，这个桶要做多大。
假设准备做一个约20升的木桶，桶的高度是30厘米，箍桶匠就可以通过圆台的体积公式算出木桶的桶底半径为13厘米，桶口半径为16厘米。（答案不唯一）
已知半径，桶底和桶口的周长也可以算出，分别是13×2×3.14=81.64厘米和16×2×3.14=100.48厘米。
随后，箍桶匠根据这个数据小心地加工木板。若要用40块大小一样的木板拼成木桶，每块木板的上底和下底是81.64÷40=2.041厘米和100.48÷40=2.512厘米，木板的长度略长于30厘米（如果用勾股定律计算，可求得木板长度
（16?13）2+302≈30.14
厘米）。一般而言，木桶上底半径、下底半径相差不大，木板的长度可视为桶的高。
制作好40块木板后，就是拼合工作。箍桶匠會把一块块木板用竹钉（或者黏胶）拼成圆台形状，再加上半径13厘米的圆形桶底，拼好一个桶样。
仅仅把木板拼在一起是不够的，还有一道工序是箍桶，这是决定木桶是否漏水的关键程序。箍桶的材料有铜条和铁条，一般分为上下两道，有时候也有三道，位置选择在桶的最大受力处。
箍桶匠的法宝是热胀冷缩原理，他们会用烧熟的铜条、铁条去箍桶。对铁条来说，温度每升高1°C，长度会增加原长度的十万分之一，如果温度升高1000°C，长度会增加原长度的百分之一。对铜条而言，温度每升高1°C，长度会增加原长度的十万分之二，如果温度升高1000°C，长度会增加原长度的百分之二。 假设箍桶时使用的铁条温度为500°C，长度为100厘米，那么铁条冷却到常温后长度就会变短为99.5厘米;铜条也是一样的道理。
铜条、铁条的长度缩短后，木板和木板间的距离也会缩短，木板就能被牢固地箍住，保证桶不漏水。
当然，前面的计算只针对最简单的圆台形木桶，如果是中间呈圆鼓形的桶，比如装葡萄酒的酒桶，那就更需要箍桶匠精确地计算木板的大小，才能制作出来。
奥卡姆剃刀法则
简单的就是最好的
公元14世纪前期，一个囚犯从法国的一所监狱中逃了出来。
在欧洲黑暗的中世纪，这算不上什么大事，可是这个人不是等闲之辈，而是一位很有学问的天主教教士。他名叫威廉，出生于英格兰萨里郡的奥卡姆，因此人们称他为“奥卡姆的威廉”。
威廉曾在巴黎大学和牛津大学学习，并一度在巴黎大学任教。他知识渊博，能言善辩，有“驳不倒的博士”之称。由于他发表了许多诸如“通过思辨不能得出上帝存在的结论”之类的言论，惹怒了当时的罗马教廷，结果被教皇关进了监狱。
在狱中待了约五年后，威廉居然找到机会逃了出来，并投靠了教皇的死敌——德国的路易皇帝。他对路易皇帝说了一句很有名的话：“你用剑保护我，我用笔来捍卫你。”于是路易皇帝收留了他。
他提出了一个观点，叫“如无必要，勿增实体”。意思是，在给出解释时，应该把需要做出的假设的数量降到最少，因为比起复杂和混乱的解释，简洁明了的解释更可能是正确的。这个过程就好像用一把剃刀把解释“剃”到最简洁的程度。
因为他是英国奥卡姆人，人们就把“如无必要，勿增实体”称为“奥卡姆剃刀法则”。
“奥卡姆剃刀法则”曾使很多人感到威胁，被认为是异端邪说，威廉本人也因此受到迫害。但毋庸置疑，这把“剃刀”是最尖厉的思想武器，在科学史上，无数科学家用这把“剃刀”磨砺科学理论和科学思维，取得一个又一个成果，其中相当典型的案例就是日心说取代地心说的过程。
◆奥卡姆剃刀和日心说
和日心说相比，地心说的历史非常悠久。从远古时期开始，人们仰起头就会看到天空。在长期的观测中，他们发现天上的星星主要分为两类：一类是绕着北极星转、位置很固定的恒星;除此外，还有五颗神秘的星星，它们的位置变化多端，人们给它们取名为行星。这五颗星星在天空中划出繁复而美丽的图案（行星轨迹），这种图形十分复杂，人们无法看出其中的规律——以至于在很长时间内人们都以为五大行星拥有神奇的魔力。
古希腊天文学家首先认识到，这些复杂的行星轨迹图可以用簡单的模型来描绘——附着在大轮子上的小轮子边缘上的一个点，当两个轮子同时转动时，它走过的路径就会变得如此复杂（原理类似同学们玩过的万花尺）。大轮子被称为“本轮”，小轮子被称为“均轮”。万花尺画出的曲线，和行星轨迹非常相似。
随着天文数据的积累，人们对行星运动的轨迹了解得越来越清楚。为了更准确地描述行星运动，历代天文学家不断添加越来越多的“小轮子”。到最后，这个系统里面的“轮子”数目达到60个甚至90个之多。系统的复杂程度更是到了让人难以忍受的地步。
后来，终于出现了第一个对这样的状况忍无可忍的人——哥白尼。哥白尼看过威廉的书，非常赞同他提出的“奥卡姆剃刀法则”。哥白尼发现，只要把本轮的中心从地球移到太阳，假设地球绕着太阳转，那些复杂的曲线马上就消失了，新的体系就会变得相当简单（虽然还有轮子，但已经相当少了）！
接下来，物理学家、数学家开普勒发现，只要抛弃两千年来人们心目中“完美而自然”的圆形轨道，改用椭圆轨道来描述行星运动，每个行星只有一个椭圆轨道，那些轮子统统都成为不必要的了，模型也变得最简单。同学们最常看到的太阳系图就是这么来的。
用数学来解读社会科学，可以让我们获得新的知识。比如在经济学中引入数学，就形成了计量经济学这门学科。同样地，社会科学中的一些原理可以引导我们突破思维的极限，在自然科学上取得新突破。
破窗效应
多米诺骨牌的倒塌
1982年，美国的政治学家詹姆斯·威尔逊和犯罪学家乔治·凯琳进行了一项有趣的实验。两人把两辆一模一样的汽车分别停放在两个不同的街区，将外表完好无损的那辆车停放在较好的社区，将另一辆车摘掉车牌、打开顶棚，停放在相对杂乱的街区。
结果很快揭晓。停放在较好社区的那辆汽车，过了一个星期仍然完好无损;而摘掉车牌、打开顶棚的那一辆，不到一天就被偷走了。后来，他们把完好无损的那辆汽车敲碎了一块玻璃，仅仅几小时这辆车就不见了。
以这项实验为基础，两人提出了“破窗效应”。他们认为：如果有人打坏了一栋建筑上的一块玻璃，又没有及时修复，别人就可能受到某些暗示性的纵容，去打碎更多的玻璃。久而久之，这些窗户就给人造成一种无序的感觉。在这种麻木不仁的氛围中，犯罪就容易滋生、蔓延。
破窗效应在我们生活中随处可见。比如，一个干净整洁的地方，人们会不好意思丢垃圾。可一旦发现地上已经有垃圾，很多人就觉得，再脏一点无所谓，就会毫不犹疑地扔垃圾，丝毫不觉得羞愧。再比如，一面墙上只要出现了一个小广告，很快地，墙上就会贴满乱七八糟的小广告。
我们可以用下面这个数学模型来说明破窗效应背后的数学原理。
假设某市有一个大广场，每到周末就会有1000名家长和小朋友来休闲露营。这1000人里，有900人遵纪守法（无论如何都不会乱扔垃圾），还有100人不那么遵纪守法。这100个不遵纪守法的人，每人都有一定的“扔垃圾阈值”（意思是当最少有多少人扔垃圾时，他们也会加入扔垃圾的行列）。
我们来将这100人进行排队：
第一个人的“扔垃圾阈值”为0（即素质最差的那个人，不论别人是否扔垃圾他都要扔），第二个人的“扔垃圾阈值”为1（当有一个人开始扔垃圾的时候，他就开始扔），再后面的为2（当有两个人开始扔垃圾的时候，他也开始扔）……顺次延到99。
可以想象到，只要有一个人开始扔垃圾，就会很快蔓延至第100人，这种“扔垃圾阈值”的递增就像多米诺骨牌的倒塌，很难控制，最后就会出现广场上到处都有垃圾的惨状。
根据破窗效应，我们不难总结出这样一个道理：任何不良现象的存在都在向我们传递着某种信息，而这种信息会导致不良现象无限制扩展。
木桶原理
找到生活中的短板
在社会科学中有一个广为流传的理论叫“木桶理论”，又称“短板理论”，其核心内容为：盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由这些木板共同决定的。正常而言，木板的长度是相同的，但假设其中一块木板很短，那这个木桶的盛水量就会被短板限制——也就是说，一个木桶盛水量的大小，取决于最短的那块木板的高度。
根据这一核心内容，木桶理论还有两个推论：其一，只有桶壁上的所有木板都足够高，木桶才能盛满水。其二，只要有一块木板不够高，木桶里的水就不可能是满的。
木桶原理非常出名，也容易理解。木桶的形状大家都不陌生，它是由几十块木板和一个圆形的桶底构成的。同学们有没有想过，这些木板到底是怎样拼成木桶的？这样拼成的木桶为什么不会漏水？平面的木板又是怎么拼成圆形的呢？
制作木桶是一种非常古老的手艺，不仅中国有，外国也有。箍桶非常考验木工的计算能力和技术水平，奥妙就在于用好圆周率。当然还需要经验，操作灵活才能箍得牢、不漏水，技术难度很高，因此还诞生了一个专门的工种——“箍桶匠”。
◆木桶原理背后的数学
木桶的特点很明显，桶口较大，桶底较小，整体形状是一个圆台。圆台的数学定义是，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分。
圆台的体积可用两个圆锥的体积之差来计算，可以推出圆台的体积公式是：
V=1?π?h（R2Rr+r2）
（注：公式中的r是圆台上底半径，R是下底半径，h是高）
箍桶匠决定做一个木桶的时候，首先要明确，这个桶要做多大。
假设准备做一个约20升的木桶，桶的高度是30厘米，箍桶匠就可以通过圆台的体积公式算出木桶的桶底半径为13厘米，桶口半径为16厘米。（答案不唯一）
已知半径，桶底和桶口的周长也可以算出，分别是13×2×3.14=81.64厘米和16×2×3.14=100.48厘米。
随后，箍桶匠根据这个数据小心地加工木板。若要用40块大小一样的木板拼成木桶，每块木板的上底和下底是81.64÷40=2.041厘米和100.48÷40=2.512厘米，木板的长度略长于30厘米（如果用勾股定律计算，可求得木板长度
（16?13）2+302≈30.14
厘米）。一般而言，木桶上底半径、下底半径相差不大，木板的长度可视为桶的高。
制作好40块木板后，就是拼合工作。箍桶匠會把一块块木板用竹钉（或者黏胶）拼成圆台形状，再加上半径13厘米的圆形桶底，拼好一个桶样。
仅仅把木板拼在一起是不够的，还有一道工序是箍桶，这是决定木桶是否漏水的关键程序。箍桶的材料有铜条和铁条，一般分为上下两道，有时候也有三道，位置选择在桶的最大受力处。
箍桶匠的法宝是热胀冷缩原理，他们会用烧熟的铜条、铁条去箍桶。对铁条来说，温度每升高1°C，长度会增加原长度的十万分之一，如果温度升高1000°C，长度会增加原长度的百分之一。对铜条而言，温度每升高1°C，长度会增加原长度的十万分之二，如果温度升高1000°C，长度会增加原长度的百分之二。 假设箍桶时使用的铁条温度为500°C，长度为100厘米，那么铁条冷却到常温后长度就会变短为99.5厘米;铜条也是一样的道理。
铜条、铁条的长度缩短后，木板和木板间的距离也会缩短，木板就能被牢固地箍住，保证桶不漏水。
当然，前面的计算只针对最简单的圆台形木桶，如果是中间呈圆鼓形的桶，比如装葡萄酒的酒桶，那就更需要箍桶匠精确地计算木板的大小，才能制作出来。
奥卡姆剃刀法则
简单的就是最好的
公元14世纪前期，一个囚犯从法国的一所监狱中逃了出来。
在欧洲黑暗的中世纪，这算不上什么大事，可是这个人不是等闲之辈，而是一位很有学问的天主教教士。他名叫威廉，出生于英格兰萨里郡的奥卡姆，因此人们称他为“奥卡姆的威廉”。
威廉曾在巴黎大学和牛津大学学习，并一度在巴黎大学任教。他知识渊博，能言善辩，有“驳不倒的博士”之称。由于他发表了许多诸如“通过思辨不能得出上帝存在的结论”之类的言论，惹怒了当时的罗马教廷，结果被教皇关进了监狱。
在狱中待了约五年后，威廉居然找到机会逃了出来，并投靠了教皇的死敌——德国的路易皇帝。他对路易皇帝说了一句很有名的话：“你用剑保护我，我用笔来捍卫你。”于是路易皇帝收留了他。
他提出了一个观点，叫“如无必要，勿增实体”。意思是，在给出解释时，应该把需要做出的假设的数量降到最少，因为比起复杂和混乱的解释，简洁明了的解释更可能是正确的。这个过程就好像用一把剃刀把解释“剃”到最简洁的程度。
因为他是英国奥卡姆人，人们就把“如无必要，勿增实体”称为“奥卡姆剃刀法则”。
“奥卡姆剃刀法则”曾使很多人感到威胁，被认为是异端邪说，威廉本人也因此受到迫害。但毋庸置疑，这把“剃刀”是最尖厉的思想武器，在科学史上，无数科学家用这把“剃刀”磨砺科学理论和科学思维，取得一个又一个成果，其中相当典型的案例就是日心说取代地心说的过程。
◆奥卡姆剃刀和日心说
和日心说相比，地心说的历史非常悠久。从远古时期开始，人们仰起头就会看到天空。在长期的观测中，他们发现天上的星星主要分为两类：一类是绕着北极星转、位置很固定的恒星;除此外，还有五颗神秘的星星，它们的位置变化多端，人们给它们取名为行星。这五颗星星在天空中划出繁复而美丽的图案（行星轨迹），这种图形十分复杂，人们无法看出其中的规律——以至于在很长时间内人们都以为五大行星拥有神奇的魔力。
古希腊天文学家首先认识到，这些复杂的行星轨迹图可以用簡单的模型来描绘——附着在大轮子上的小轮子边缘上的一个点，当两个轮子同时转动时，它走过的路径就会变得如此复杂（原理类似同学们玩过的万花尺）。大轮子被称为“本轮”，小轮子被称为“均轮”。万花尺画出的曲线，和行星轨迹非常相似。
随着天文数据的积累，人们对行星运动的轨迹了解得越来越清楚。为了更准确地描述行星运动，历代天文学家不断添加越来越多的“小轮子”。到最后，这个系统里面的“轮子”数目达到60个甚至90个之多。系统的复杂程度更是到了让人难以忍受的地步。
后来，终于出现了第一个对这样的状况忍无可忍的人——哥白尼。哥白尼看过威廉的书，非常赞同他提出的“奥卡姆剃刀法则”。哥白尼发现，只要把本轮的中心从地球移到太阳，假设地球绕着太阳转，那些复杂的曲线马上就消失了，新的体系就会变得相当简单（虽然还有轮子，但已经相当少了）！
接下来，物理学家、数学家开普勒发现，只要抛弃两千年来人们心目中“完美而自然”的圆形轨道，改用椭圆轨道来描述行星运动，每个行星只有一个椭圆轨道，那些轮子统统都成为不必要的了，模型也变得最简单。同学们最常看到的太阳系图就是这么来的。