大航海时代的数学:大炮的学问(上)

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  欧洲的火器从14世纪前期起步,到14世纪后期开始加速发展。尤其随着大航海時代的兴起,为了战胜竞争对手以及镇压被掠夺者的反抗,欧洲人竞相制造大炮。是否拥有大炮,数量的多少,质量的优劣,成为战胜对手的重要因素。
  战争之王“大炮”
  在大航海时代,大炮是绝对的主角,并很快获得了“战争之王”的称呼。
  1588年,英国海军战胜西班牙无敌舰队的这一场重要战争(在2018年第10期第22页的连载中有详细介绍),就是凭借大炮制胜的第一次海战。英国舰队在海战中充分发挥了他们舰船快速机动和火炮射程远的优越性,用舷炮伏击的方法打败西班牙舰队,取得了海战的胜利,进而夺得了 大西洋上的制海权。
  对当时的欧洲人来说,大炮的射程之内有黄金。
  大炮的要求
  因为大炮的功能是作战,人们对它的要求也就简单直接:一要射程远,二要威力大。
  射程远,指的是大炮射出弹丸的射程大,射程可以用下面的公式表示:
  弹丸的射程=弹丸的速度×飞行的时间
  也就是说,弹丸喷发出来的速度越快,飞行时间越长,大炮就射得越远。
  但是呢,让大炮射得远是一个永恒的难题,因为地球有重力。
  成熟的苹果从树上掉下来,扔进池塘的石头沉入水底……地球上的任何物体,不管它是大是小,是动是静,都受到重力的作用。炮弹也不例外,它一旦飞到空中,就会立刻被重力抓住,努力让它落回地面。
  对重力现象的探索
  宇宙诞生,重力出现,但是,人类在很长一段历史上,对它的认识都存在偏差。一直到16世纪以前,科学家都认为轻重不同的东西从同样的高度同时自由落下,一定是重的东西先着地。
  那时候,学校里讲授的是亚里士多德的落体运动法则。这位古希腊的哲学家指出:物体降落的速度,与物体的重量成正比,物体越重,下落的速度越快。这个谬论,在长达一千九百多年的时间里,一直被奉为金科玉律,不容置疑。
  伽利略的发现
  终于,一位勇敢的年轻人站出来向“权威”理论发起了挑战。他就是意大利杰出的物理学家、天文学家、数学家伽利略。
  1590年,26岁的伽利略在比萨斜塔上做了一个著名的自由落体实验。观众亲眼看到,几个重量不同的球同时开始下落,然后同时落地。伽利略还发现,物体下落的速度不是均匀的,而是越来越快,不断加速。
  伽利略的研究
  伽利略想,球体在斜面向下滚,和它在空中下落一样,都是重力作用的结果,只不过斜面减慢了滚动的速度罢了。于是,他巧妙地利用金属小球在斜槽中滚动,测量出小球在两秒钟内滚过的距离,是第一秒钟滚过的4倍,在三秒钟内滚过的距离是第一秒钟滚过的9倍。
  滚动距离与滚动时间的平方成正比——伽利略找到了匀加速度运动的规律。他为力学的研究和发展,作出了十分重要的贡献。
  重力的规律
  现在,我们根据精确的测量和计算知道:物体在做自由落体运动时,第一秒钟下落4.9米;第二秒钟下落14.7米;第三秒钟下落24.5米……
  炮弹在空中高速飞行,同时也受到重力作用。当弹丸向上的速度消失后,重力就会在第一秒钟把它下拉4.9米,第二秒钟内把它下拉14.7米……
  重力的影响是如此之大,就算是射得最远的洲际导弹最多只能在空中飞行一个小时左右。
  什么是空气阻力
  除了重力外,空气阻力对炮弹的飞行距离也有很大的影响。
  任何物体在空气中运动,都会受到空气的阻力。如果你只是正常地走路,对空气阻力的感受还不明显。当你跑起来,就有所感觉了;骑车的时候,感觉又更明显;如果你试试坐敞篷汽车,那感觉就相当强烈。这说明物体运动的速度越大,空气阻力越大。
  科学家发现,空气阻力和速度的平方成正比。也就是说,如果弹丸的速度翻一番,那么受到的空气阻力就会翻两番,变成之前的4倍,弹丸的速度也下降得更快。
  空气阻力和物体的形状
  人们可以想办法减少空气阻力,因为空气阻力的大小与物体的形状有关。
  生活中,我们也有调整自己的状态来减少阻力的经验。比如遇到刮大风,人们常常侧着身子朝前走。比赛用的自行车,车把设计成向下弯曲。自行车运动员比赛时,会把身子伏在车上。这都是为了缩小前进的正面积,从而减小空气的阻力。
  炮弹的飞行
  那么,空气阻力对炮弹的飞行有什么影响呢?这时候我们就要说一说炮弹的弹道了。
  理论上说,如果不考虑空气的阻力,不管向空中抛出一个什么物体,它通过的路径都是一段相同的曲线。古希腊科学家阿基米德研究过这种曲线形,给它取了一个形象的名字,叫抛物线。抛物线有一个特征,它左右两侧的曲线是对称的。
  在炮弹初速度一样的情况下,沿水平方向的不同角度发射,射程是不一样的,人们把能够得到最大射程的角度称为最大射程角。在真空中,大炮的最大射程角是45度。
  空气阻力的影响
  抛物线是在没有考虑空气阻力的条件下得出的。但是空气包裹着大地,炮弹只要是在地球上发射出去,不论它朝着哪个方向、以什么速度前进,都无法摆脱空气的这种影响。空气总是给予疾飞中的炮弹“迎头痛击”,不停地“拉它的后腿”,减低它的速度。
  比如,一门76毫米口径的大炮,在空气中的射程是8.5千米。要是在真空中,它的射程能达到35千米。空气中的射程比真空中的射程减少了四分之三还多,可见空气对炮弹的阻力之大。
  弹道曲线
  把空气阻力的影响考虑进来之后,才能画出炮弹真正的弹道图,它被称为弹道曲线。
  重力使炮弹的弹道成为曲线形,空气阻力使炮弹的速度急速降低,并且改变了原本应该形成的抛物线的形状。
  弹道曲线与抛物线的关系是这样:开始的时候,它和抛物线靠得很近,越往后差距越来越大。弹道曲线到达最高点比抛物线早得多,并且下降的坡度越来越陡。因此,弹道曲线不像抛物线那样两面对称,它的右半面比左半面短。而且,炮弹的速度越快,受到的空气阻力越大。   弹道曲线的分析
  弹道曲线的前半段叫升弧,炮弹在升弧上飛行时,位置不断升高;后半段叫降弧,炮弹在降弧上飞行时,位置不断下降。
  升弧长一些,形状比较平直;降弧短一些,形状更加弯曲。所以弹道的最高点不在正中,而是靠近炮弹的飞行终点,也就是落点。弹道曲线之所以会失去对称性,是因为空气阻力越来越大,使炮弹前进的速度越来越慢,这就使得炮弹相对下降速度越来越快,所以降弧部分很快就弯曲起来了。
  弹丸的形状
  大概在14世纪初,欧洲人开始在战斗中使用火炮。早期火炮的炮筒是一根内壁光滑的金属管子,点燃火药后,能发射球形石弹和球形实心铁弹。
  那时候,军队打仗是列队前进的,实心铁弹能给敌方造成很大的威胁。人们根据这些球形铁弹的重量给其命名——如12磅炮、24磅炮等等(磅是重量单位)。这些铁弹和同学们体育课上扔的实心球很像。实际上,扔实心球这个运动正是来源于早年炮兵扔铁弹的行为。
  开普勒猜想
  这个问题看上去很简单,实际上却很难。
  1606年,著名物理学家、数学家开普勒开始研究这个问题——他用数学语言描述为:在一个大立方体中堆放同样的小球,小球们所占据的钵积与立方体的体积之比最大是多少?
  经过长达5年的思考后,开普勒在《关于六角雪花》这本书里给出了这个问题的答案:小球们所占据的体积与立方体的体积之比最大是74.05%,不可能超过这个数字。
  存放弹丸的难题
  在大航海时代,为了保护自己的安全,当然更是为了占领殖民地,大部分船上(包括商船)都会装大炮,并且准备许多弹丸。
  但是船上的空间毕竟有限,如何携带更多的弹丸就成为航海者们需要解决的问题。16世纪90年代末,一位叫沃尔特·雷莱爵士的英国航海家提出了一个很实用的问题:用哪种方式堆放球形弹丸,才能在有限的船体空间内存放更多的弹丸呢?
  弹丸的改进
  随着战斗经验的丰富,人们变得越来越聪明:军队不再列阵前进,而是化整为零地分头前进。这样一来,利用实心铁弹的打击效果就降低了。到了18世纪时,人们发明了会爆炸的铁弹,又增加了杀伤力。
  人们为了给这种炮弹多装火药,把它做成了圆柱体,同时,为了减小阻力,前头还加上了一个尖端。
  超级难题
  开普勒虽然给出了问题的答案,却没有给出证明过程。之后的许多年,很多数学家、物理学家都跃跃欲试地想证明这个结论。
  然而,要严格证明这个猜想确实是一个超级难题。整整400年过去了,数学家拉格朗日、高斯、闵可夫斯基,物理学家牛顿、爱因斯坦都纷纷参与到这个超级难题的证明中,可时至今日也没人真正解决它。(要了解这个问题的发展史,同学们可以扫描右侧二维码阅读全文)
  弹丸形状的改变
  弹头的形状和空气阻力有什么关系呢?
  如果把圆柱体的炮弹在飞行中的空气阻力算作1;那么,在圆柱体前面加上一个圆锥体,随着圆锥角的大小变化,空气阻力能减小到1/2~ 1/4。要是在圆柱体前面加上一个弹头体的形状,可以把空气阻力减小到1/5。要是在圆柱体前后各加上一个弹头体,使炮弹成为鱼的形状,阻力甚至可以减小到1/25,这就是我们平常说的流线型。这就和我们现在见到的炮弹差不多了。
  膛线的出现
  圆柱形弹头的威力虽然变大了,可还有一个很大的缺陷,那就是打不准。
  这又是为什么呢?原来,圆柱体的炮弹从光滑的炮膛发射出去之后,总是一边前进一边在空中乱翻跟斗。同学们仔细观察电视中投掷手榴弹的画面,就会发现,手榴弹都是翻着跟斗前进的。
  这种前进方式遇到的空气阻力较大,而且落点很难预测。后来人们发现,旋转前进的方式能够在一定程度上克服这些问题,但是怎么让炮弹旋转起来呢?
  炮管里的膛线
  同学们观察工人师傅在给家具或者电器上螺母的时候,一定要顺着螺丝的丝扣拧,转一点,吃进去一点。这说明有螺纹的圆柱形物体,可以在相应的圆柱体中,旋转着前进。
  人们很可能就是从这里得到了启发,在光滑的炮筒里,做上了螺旋形状的膛线;又在炮弹的外壳上,也做上相应的突出纹。这样,炮弹在炮筒里运动的时候,就会像拧螺母一样,按照膛纹,一边旋转,一边前进。等到炮弹出膛以后,惯性作用会使炮弹不断旋转,保持一定的方向飞行。
  滑膛炮的出现
  这种有螺纹的炮被叫作线膛炮,为了加以区别,人们把之前那种有光滑炮管的炮叫作“滑膛炮”——意思是炮弹是滑出来的。
  高速旋转的炮弹,不仅能保持一定的方向,准确地击中目标;而且能像钻头一样钻进目标,增加爆炸的破坏力。
  从滑膛炮到线膛炮是一个重大的进步,那滑膛炮是不是就没用了呢(7倒也不是。现代作战工具坦克,为了提高炮弹的初速度,反而越来越多地使用滑膛炮,以便在可见距离内有力地打击敌人的装甲力量和其他目标。
  烈性火药
  要增加炮弹的射程,除了减少空气阻力外,还需要想方设法加大推动炮弹前进的火药力量。我们上期讲过黑火药,在大航海时代,人们常用黑火药来做发射药。
  那么,什么样的黑火药对大炮最有用呢(7颗粒大还是颗粒小?球状还是长条状?
  显然,如果火药的颗粒太小,燃烧太快,弹丸还没有到炮口,发射装药就全都燃烧完了。这样,炮膛内的气体不足,炮弹受到的压力较小,出膛速度也会降低。
  火药的颗粒
  那么,是不是火药的颗粒越大越好呢?这也未必。火药的颗粒大,燃烧慢,这就好像大块的木柴更耐烧。如果燃烧太慢,炮弹都离开炮口了,火药还没有烧完,既影响炮弹的出膛速度,又浪费了火药。
  所以,发射装药的颗粒大小要适中,使火药正好在炮弹出膛之前全部烧完。让炮弹沿炮膛运动时,火药能不断产生新的气体,使炮弹后面保持均匀的推力。   要想保持均匀的推力,可没那么简单。炮弹在炮筒里运动,后面的空间不断扩大,这就要求火药最好是能够越烧越快,产生的气体能越来越多才行。
  火药的形状
  怎样才能做到这一点呢?人们逐渐发现,把火药做成圆柱状效果最好。
  很早以前,火药就是圆柱状的,但燃烧情况并不理想。后来人们给圆柱状火药加了一个空心,变成管道形状。燃烧的时候,它的外表面虽然逐渐减小,内表面却逐渐增加,所以燃烧速度几乎不变,能够产生稳定的气体。
  后来,人们制作出了多孔圆柱状的颗粒火药,在圆柱形的药柱内部再增加几条圆柱形的孔,形状像蜂窝煤。这是一种理想的发射装药,燃烧的时候,它内表面积的增加比外表面积的减少来得快,这样就能产生越来越多的火药气体。
  大炮的寿命
  和人一样,大炮也有自己的寿命。一门大炮制作完成出厂,人们说一门新炮“诞生”了;当它不能再使用的时候,就说它“报废”了。
  有人认为大炮是钢铁制成的,寿命起码比人长,那就错了。一种机械寿命的长短,是由它的工作时间来计算的。现在中国人民革命军事博物馆中馆藏有1351年制造的铁炮,虽然它的外表看起来还比较完整,但它早就不能工作,所以谁也不会认为它“活到了现在”。
  大炮寿命的计算
  实际上,大炮的寿命不是用年、月、日、时来计算的,而是用分和秒。大炮寿命是指大炮在一定条件下,能够自然使用,并保持其战斗性能的时长(在战场上意外遭到破坏的情况除外)。因为身管是大炮最主要的构件,通常就以身管寿命作为大炮的寿命。
  以大航海时期传入中国的著名大炮——佛郎机炮为例,这种大炮最多可以发射炮弹数百发,每发射一发炮弹需要0.01秒左右。用简单的乘法计算可知,佛郎机炮大炮的寿命只有几秒钟而已。 ’
  现代的大炮质量好多了,发射次数可以达到上万发,但寿命也很难超过一分钟。
  短命的大炮
  为什么大炮这样短命呢?原因很多。
  首先,大炮发射的时候,火药燃烧的温度能达到2500℃~3000℃。和开水的温度100℃相比,它高出了几十倍;和钢铁熔化的温度相比,它也几乎高出了一倍。这么高的溫度,为什么烧不化大炮的炮筒呢?
  主要是因为炮弹发射的时间极其短促,只有千分之几秒。要是长时间连续射击,高温对炮筒的影响就会非常明显。机关枪连射的时间长了,枪管就会被打得通红,以至于不得不停止射击,大炮也是一样。
  多次的高温发射影响累积起来,会慢慢侵蚀炮筒,所以每一门大炮的寿命都是非常短暂的。
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