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2012届高考说明已经出炉,立体几何方面较前两年没有变化,所以线、面之间的平行、垂直依旧是高考考察立体几何的重点,下面我们就结合具体题目来谈谈解决这类问题的方法技巧。
【例１】 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D在棱BC上.
(1) 若D为BC的中点,求证：A1B∥面ADC1;
(2) 若CD=3BD,P为AA1上一点,AP=λPA1,当λ为何值时,BP∥面C1AD.
分析 (1) 此问是证明线面平行,D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之；又或通过面面平行证明之。(2) 此问是针对把线面平行当作条件求参量λ的值,即求比例关系,可能要转化为平面几何来求,所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。
证明 (1) (法一)连接A1C交AC1于H,连接HD,
因为H为A1C的中点,又D为BC的中点,所以HD∥A1B.
因为HD∥A1B,HD面ADC1,A1B面ADC1,
则A1B∥面ADC1.
(法二)取B1C1的中点E,连接BE，A1E；
因为BE∥DC1,C1D面ADC1,EB面ADC1，所以BE∥面DC1A.
同理：A1E∥面DC1A,因为BE∥面DC1A,A1E∥面DC1A,A1E∩BE=E,
所以面BA1E∥面DC1A,又A1B面A1BE,所以得证.
(2) 连接PC,交AC1于H,连接HD，
因为BP∥面C1AD,BP面BPC,面BPC∩面ADC1=HD,所以BP∥HD.
所以BDDC=PHHC=PAC1C=13,即λ=12.
点拨 利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行,通过线面平行的判定定理证明,往往这样要作辅助线，特别是中位线等。
利用面面平行的性质：欲证明线面平行，可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的面,当然还要通过面面平行的判定定理,但这里一定要注意面面平行的判定定理如何用。
抓住两类定理是硬道理,当然线面平行的证明还是利用线线较好；
综上:证明线面平行关系可以如下表示：
【例2】 如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋3,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC．
(1) 求证：BC⊥面CDE；
(2) 在线段AE上找一点R,当R点满足3AR＝RE时，求证：面BDR⊥面DCB.
分析 (1) 欲证明BC⊥面CDE,则证BC垂直于该面的两相交直线即可;(2) 找出一条线非常重要,因为QC⊥DB很好找,所以我们选取QC作为线面垂直的那条线。
证明 (1) 由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E,
所以DE⊥平面ABCE,
所以DE⊥BC,又CE⊥BC,DE∩EC=E,
所以BC⊥面DCE.
(2) 当R点满足3AR＝RE时,取BD的中点Q,连接AC交BR于H,
连接HQ,因为QB=2,HB=255,
因为在△DBR中,cos∠DBR=105,所以QH=305,则有QH2+QC2=HC2,所以QC⊥QH,因为QC⊥DB,QC⊥QH,DB∩QH=Q,所以QC⊥面DBR,又因为QC面DBC,所以面DBC⊥面DBR.
点拨 证明垂直关系就三种：线线垂直,此类可通过线面垂直得到；线面垂直,通过判定定理中线线垂直；线面垂直还可以得到面面垂直,只要垂线过其中一个面即可。
综上：证明线面垂直关系可以如下表示:
牛刀小试
1. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点,且CG⊥C1G．
(1) 求证：CG∥平面BEF；
(2) 求证：CG⊥平面A1C1G.
2. 如图，在四棱锥PABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点.
(1) 求证：BE∥面PAD；
(2) AB⊥面PAD,面PBA⊥面PBD,求证：PA⊥PD.
3. 如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD,A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点．
(1) 求证：PA⊥平面ABCD；
(2) 求证：平面PAE⊥平面PDE；
(3) 在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE.
4. 已知△BCD中,∠BCD＝90°,BC＝CD＝1,AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°,E、F分别是AC、AD上的动点,AEAC=AFAD=λ(0<λ<1)．
(1) 求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；
(2) 当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD？
书籍——通过心灵观察世界的窗口。住宅里没有书，犹如房间没有窗户。——威尔逊
【参考答案】
1. 证明：(1) 连接AG交BE于D,连接DF,EG．
∵E,G分别是AA1,BB1的中点,∴AE∥BG且AE＝BG,
∴四边形AEGB是平行四边形.∴D是AG的中点,
又∵F是AC的中点,∴DF∥CG,
则由DF面BEF,CG面BEF,得CG∥面BEF.
(注：也可证明平面A1CG∥平面BEF)
(2) ∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB,
而CG面B1C1CB,∴A1C1⊥CG,
又CG⊥C1G,∴CG⊥平面A1C1G.
2. 思路1：转化为线线平行,构造一个平行四边形ABEF,其中F为PD的中点.
证明：(1) 取PD的中点F,连接AF,EF,则EF为△PCD的中位线,EF∥CD,且EF=12CD,又因为AB∥CD,AB=12CD,所以EF∥AB且EF=AB.
所以四边形ABEF为平行四边形.
所以BE∥AF,BE面PAD,AF面PAD,所以BE∥面PAD.
思路2：转化为线线平行,延长DA,CB,交于点F,连接PF,易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行,取CD的中点F,易证面PAD∥面BEF.
(2) 在平面PBA内,作AH⊥PB于H,面PBA⊥面PBD,且面PBA∩面PBD=PB,
所以AH⊥面PBD,所以AH⊥PD,又AB⊥面PAD,所以AB⊥PD.
又因为AB∩AH=A,所以PD⊥面PBA,所以PA⊥PD.
3. (1) 证明：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AB∩AD＝A,所以PA⊥平面ABCD．
(2) 证明：因为BC＝PB＝2CD,A是PB的中点,所以ABCD是矩形,
又E为BC边的中点,所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED,且PA∩AE＝A,所以ED⊥平面PAE,
而ED平面PDE,故平面PAE⊥平面PDE．
(3) 过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G,连接FG．
由FH∥ED,ED平面PED,得FH∥平面PED，
由GH∥PD,PD平面PED,得GH∥平面PED,
又FH∩GH＝H,所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE．
再分别取AD、PA的中点M、N,连接BM、MN,
易知H是AM的中点,G是AN的中点,
从而当点G满足AG＝14AP时,有FG∥平面PDE．
4. 证明：(1) ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B,
∴CD⊥平面ABC.
又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2) 由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1,∠BCD＝90°,∠ADB＝60°,
∴BD=2,AB=2tan60°=6,
∴AC=AB2+BC2=7，
由AB2＝AE•AC得AE=67,
∴λ=AEAC=67.
故当λ=67时,平面BEF⊥平面ACD.
(作者：戴平，江苏省扬中高级中学)
【例１】 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D在棱BC上.
(1) 若D为BC的中点,求证：A1B∥面ADC1;
(2) 若CD=3BD,P为AA1上一点,AP=λPA1,当λ为何值时,BP∥面C1AD.
分析 (1) 此问是证明线面平行,D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之；又或通过面面平行证明之。(2) 此问是针对把线面平行当作条件求参量λ的值,即求比例关系,可能要转化为平面几何来求,所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。
证明 (1) (法一)连接A1C交AC1于H,连接HD,
因为H为A1C的中点,又D为BC的中点,所以HD∥A1B.
因为HD∥A1B,HD面ADC1,A1B面ADC1,
则A1B∥面ADC1.
(法二)取B1C1的中点E,连接BE，A1E；
因为BE∥DC1,C1D面ADC1,EB面ADC1，所以BE∥面DC1A.
同理：A1E∥面DC1A,因为BE∥面DC1A,A1E∥面DC1A,A1E∩BE=E,
所以面BA1E∥面DC1A,又A1B面A1BE,所以得证.
(2) 连接PC,交AC1于H,连接HD，
因为BP∥面C1AD,BP面BPC,面BPC∩面ADC1=HD,所以BP∥HD.
所以BDDC=PHHC=PAC1C=13,即λ=12.
点拨 利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行,通过线面平行的判定定理证明,往往这样要作辅助线，特别是中位线等。
利用面面平行的性质：欲证明线面平行，可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的面,当然还要通过面面平行的判定定理,但这里一定要注意面面平行的判定定理如何用。
抓住两类定理是硬道理,当然线面平行的证明还是利用线线较好；
综上:证明线面平行关系可以如下表示：
【例2】 如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋3,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC．
(1) 求证：BC⊥面CDE；
(2) 在线段AE上找一点R,当R点满足3AR＝RE时，求证：面BDR⊥面DCB.
分析 (1) 欲证明BC⊥面CDE,则证BC垂直于该面的两相交直线即可;(2) 找出一条线非常重要,因为QC⊥DB很好找,所以我们选取QC作为线面垂直的那条线。
证明 (1) 由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E,
所以DE⊥平面ABCE,
所以DE⊥BC,又CE⊥BC,DE∩EC=E,
所以BC⊥面DCE.
(2) 当R点满足3AR＝RE时,取BD的中点Q,连接AC交BR于H,
连接HQ,因为QB=2,HB=255,
因为在△DBR中,cos∠DBR=105,所以QH=305,则有QH2+QC2=HC2,所以QC⊥QH,因为QC⊥DB,QC⊥QH,DB∩QH=Q,所以QC⊥面DBR,又因为QC面DBC,所以面DBC⊥面DBR.
点拨 证明垂直关系就三种：线线垂直,此类可通过线面垂直得到；线面垂直,通过判定定理中线线垂直；线面垂直还可以得到面面垂直,只要垂线过其中一个面即可。
综上：证明线面垂直关系可以如下表示:
牛刀小试
1. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点,且CG⊥C1G．
(1) 求证：CG∥平面BEF；
(2) 求证：CG⊥平面A1C1G.
2. 如图，在四棱锥PABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点.
(1) 求证：BE∥面PAD；
(2) AB⊥面PAD,面PBA⊥面PBD,求证：PA⊥PD.
3. 如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD,A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点．
(1) 求证：PA⊥平面ABCD；
(2) 求证：平面PAE⊥平面PDE；
(3) 在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE.
4. 已知△BCD中,∠BCD＝90°,BC＝CD＝1,AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°,E、F分别是AC、AD上的动点,AEAC=AFAD=λ(0<λ<1)．
(1) 求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；
(2) 当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD？
书籍——通过心灵观察世界的窗口。住宅里没有书，犹如房间没有窗户。——威尔逊
【参考答案】
1. 证明：(1) 连接AG交BE于D,连接DF,EG．
∵E,G分别是AA1,BB1的中点,∴AE∥BG且AE＝BG,
∴四边形AEGB是平行四边形.∴D是AG的中点,
又∵F是AC的中点,∴DF∥CG,
则由DF面BEF,CG面BEF,得CG∥面BEF.
(注：也可证明平面A1CG∥平面BEF)
(2) ∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB,
而CG面B1C1CB,∴A1C1⊥CG,
又CG⊥C1G,∴CG⊥平面A1C1G.
2. 思路1：转化为线线平行,构造一个平行四边形ABEF,其中F为PD的中点.
证明：(1) 取PD的中点F,连接AF,EF,则EF为△PCD的中位线,EF∥CD,且EF=12CD,又因为AB∥CD,AB=12CD,所以EF∥AB且EF=AB.
所以四边形ABEF为平行四边形.
所以BE∥AF,BE面PAD,AF面PAD,所以BE∥面PAD.
思路2：转化为线线平行,延长DA,CB,交于点F,连接PF,易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行,取CD的中点F,易证面PAD∥面BEF.
(2) 在平面PBA内,作AH⊥PB于H,面PBA⊥面PBD,且面PBA∩面PBD=PB,
所以AH⊥面PBD,所以AH⊥PD,又AB⊥面PAD,所以AB⊥PD.
又因为AB∩AH=A,所以PD⊥面PBA,所以PA⊥PD.
3. (1) 证明：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AB∩AD＝A,所以PA⊥平面ABCD．
(2) 证明：因为BC＝PB＝2CD,A是PB的中点,所以ABCD是矩形,
又E为BC边的中点,所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED,且PA∩AE＝A,所以ED⊥平面PAE,
而ED平面PDE,故平面PAE⊥平面PDE．
(3) 过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G,连接FG．
由FH∥ED,ED平面PED,得FH∥平面PED，
由GH∥PD,PD平面PED,得GH∥平面PED,
又FH∩GH＝H,所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE．
再分别取AD、PA的中点M、N,连接BM、MN,
易知H是AM的中点,G是AN的中点,
从而当点G满足AG＝14AP时,有FG∥平面PDE．
4. 证明：(1) ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B,
∴CD⊥平面ABC.
又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2) 由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1,∠BCD＝90°,∠ADB＝60°,
∴BD=2,AB=2tan60°=6,
∴AC=AB2+BC2=7，
由AB2＝AE•AC得AE=67,
∴λ=AEAC=67.
故当λ=67时,平面BEF⊥平面ACD.
(作者：戴平，江苏省扬中高级中学)