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用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步：(1) 建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系；(3) 根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
题型一 空间向量的线性运算
【例１】 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,
设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量：
(1) AP；
(2) A1N；
(3) MP+NC1．
分析 根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。
解 (1) ∵P是C1D1的中点,
∴AP=AA1+A1D1+D1P
=a+AD+12D1C1
=a+c+12AB
=a+c+12b．
(2) ∵N是BC的中点,
∴A1N=A1A+AB+BN
=-a+b+12BC
=-a+b+12AD
=-a+b+12c．
(3) ∵M是AA1的中点,
∴MP=MA+AP=12A1A+AP
=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,
又NC1=NC+CC1=12BC+AA1
=12AD+AA1=12c+a,
∴MP+NC1=12a+12b+c+a+12c
=32a+12b+32c．
点拨 用已知向量来表示未知向量,以图形为指导是解题的关键。要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义。首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则四边形法则。
题型二 用空间向量证明平行问题
【例2】 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点．
(1) 求证：E,F,G,H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH.
分析 (1) 要证E,F,G,H四点共面,可寻求x,y使EG=xEF+yEH；
(2) 由向量共线得到线线平行,进而得到线面平行。
证明 (1) 如图,连接BG,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,
由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面．
(2) 因为EH=AH-12AB=12(AD-AB)=12BD,所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,所以BD∥平面EFGH．
点拨 (1) 证明共线问题的方法：若A,B,C共线,则存在唯一实数x使AB=λBC；(2) 证明共面问题的方法：若P,A,B,C共面,则存在实数x,y,使AP=xAB+yAC；(3) 证明线∥面时,可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc,或a与面内向量d满足a∥d。
题型一 数量积及其应用
【例1】 如图,
在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心．
(1) 试证A1,G,C三点共线；
(2) 试证A1C⊥平面BC1D;
(3) 求点C到平面BC1D的距离．
分析 (1) 即证CG∥CA1；(2) 可证CA1•BC1=0,CA1•BD=0；
(3) 利用CG=13CA1可求。
证明 (1) CA1=CB+BA+AA1
=CB+CD+CC1,
CG=CC1+23×12(C1B+C1D)
=13(CB+CD+CC1)=13CA1,
∴CG∥CA1,即A1,G,C三点共线．
(2) CB=a,CD=b,CC1=c,
则|a|=|b|=|c|=a,且a•b=b•c=c•a=0,∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,
∴CA1•BC1=(a+b+c)•(c-a)=c2-a2=0,∴CA1⊥BC1,
同理可证,CA1⊥BD.
又BD∩BC1=B,因此A1C⊥平面BC1D．
(3) 由(2)知,A1C⊥平面BC1D,则C到平面BC1D的距离为|CG|,
由(1)知CG=13CA1,∵CA1=a+b+c,
∴CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=3a,因此|CG|=33a．
点拨 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题。
(1) 求向量m和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos〈m,n〉=m•n|m||n|。
(2) 由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中|a|2=a•a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。
题型二 空间向量的线性运算
【例2】 如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点．
(1) 求BN的长；
(2) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
分析 正确利用两向量的夹角公式及模长公式。
解 如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系．
(1) 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3,∴BN的长为3．
(2) 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1•CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5．
∴cos〈BA1,CB1〉=BA1•CB1|BA1||CB1|=3010．
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为3010．
点拨 利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1) 根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系；(2) 利用题设条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标；(3) 利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角。
题型一 空间向量的线性运算
【例１】 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,
设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量：
(1) AP；
(2) A1N；
(3) MP+NC1．
分析 根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。
解 (1) ∵P是C1D1的中点,
∴AP=AA1+A1D1+D1P
=a+AD+12D1C1
=a+c+12AB
=a+c+12b．
(2) ∵N是BC的中点,
∴A1N=A1A+AB+BN
=-a+b+12BC
=-a+b+12AD
=-a+b+12c．
(3) ∵M是AA1的中点,
∴MP=MA+AP=12A1A+AP
=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,
又NC1=NC+CC1=12BC+AA1
=12AD+AA1=12c+a,
∴MP+NC1=12a+12b+c+a+12c
=32a+12b+32c．
点拨 用已知向量来表示未知向量,以图形为指导是解题的关键。要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义。首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则四边形法则。
题型二 用空间向量证明平行问题
【例2】 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点．
(1) 求证：E,F,G,H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH.
分析 (1) 要证E,F,G,H四点共面,可寻求x,y使EG=xEF+yEH；
(2) 由向量共线得到线线平行,进而得到线面平行。
证明 (1) 如图,连接BG,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,
由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面．
(2) 因为EH=AH-12AB=12(AD-AB)=12BD,所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,所以BD∥平面EFGH．
点拨 (1) 证明共线问题的方法：若A,B,C共线,则存在唯一实数x使AB=λBC；(2) 证明共面问题的方法：若P,A,B,C共面,则存在实数x,y,使AP=xAB+yAC；(3) 证明线∥面时,可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc,或a与面内向量d满足a∥d。
题型一 数量积及其应用
【例1】 如图,
在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心．
(1) 试证A1,G,C三点共线；
(2) 试证A1C⊥平面BC1D;
(3) 求点C到平面BC1D的距离．
分析 (1) 即证CG∥CA1；(2) 可证CA1•BC1=0,CA1•BD=0；
(3) 利用CG=13CA1可求。
证明 (1) CA1=CB+BA+AA1
=CB+CD+CC1,
CG=CC1+23×12(C1B+C1D)
=13(CB+CD+CC1)=13CA1,
∴CG∥CA1,即A1,G,C三点共线．
(2) CB=a,CD=b,CC1=c,
则|a|=|b|=|c|=a,且a•b=b•c=c•a=0,∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,
∴CA1•BC1=(a+b+c)•(c-a)=c2-a2=0,∴CA1⊥BC1,
同理可证,CA1⊥BD.
又BD∩BC1=B,因此A1C⊥平面BC1D．
(3) 由(2)知,A1C⊥平面BC1D,则C到平面BC1D的距离为|CG|,
由(1)知CG=13CA1,∵CA1=a+b+c,
∴CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=3a,因此|CG|=33a．
点拨 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题。
(1) 求向量m和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos〈m,n〉=m•n|m||n|。
(2) 由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中|a|2=a•a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。
题型二 空间向量的线性运算
【例2】 如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点．
(1) 求BN的长；
(2) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
分析 正确利用两向量的夹角公式及模长公式。
解 如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系．
(1) 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3,∴BN的长为3．
(2) 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1•CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5．
∴cos〈BA1,CB1〉=BA1•CB1|BA1||CB1|=3010．
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为3010．
点拨 利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1) 根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系；(2) 利用题设条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标；(3) 利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角。