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高考对圆锥曲线的考查主要是检查学生对相关概念、性质的深刻理解,以及对所学知识灵活运用程度。所以理解概念性质、总结题型、掌握通性通法、积累解题技巧是学好圆锥曲线内容的重要手段。
一、 理解概念、熟悉性质、强化解题能力
“要想高楼盖得稳,打好地基很重要”,要想题目做得得心应手,先要从基础做起,具体说应做到以下几点：
(一) 牢固掌握概念。概念是解题的原生力量,概念在解题中的作用不容忽视。许多轨迹问题都可以根据定义和标准方程直接解答。
(1) 在解轨迹有关问题时,如果动点符合有关曲线条件,就可以直接写出轨迹的方程,而免去繁杂的计算及化简过程。
(2) 涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合三角形的知识来解决。
(3) 对于涉及到圆锥曲线上一点到焦点的距离问题,常用到圆锥曲线第一定义,“定点和定直线是相应的焦点和准线”且“点点距为分子、点线距是分母”,其商是离心率e,据此,可以根据解题需要将点到焦点的距离与点到准线的距离进行相互转化。
(二) 熟练理解性质。熟练掌握圆锥曲线有关性质并深入了解其几何特性,对于解题思路的探寻,提高解题速度有深刻的影响。这也是每一个考生必须具备的最基本的知识技能。对于基本性质的掌握必须做到：
(1) 根据圆锥曲线的基本量,能迅速写出对应的标准方程，并理解这些量与圆锥曲线形状和位置等之间的关系。
(2) 根据圆锥曲线方程,能迅速写出顶点、焦点所在的位置、离心率、准线方程、变量x、y范围、对称轴等。
(三) 强化解题能力。扎实的解题基本功为解题提供最可靠的保障，同时还应注意：
(1) 数形结合的解题方法。解题时画一个比较接近题意的图形,然后将题目的条件“图形化”,凭借形的直观,借助于厚实的平面几何知识,进行优化组合,从而发现最佳的解题方法,虽说这对思维质量要求较高,但这是常见的比较好的分析问题方法。
(2) 解析法也是常规方法。用解析法解关于圆锥曲线的问题,思路比较自然,规律性较强,思维量要小些,但是使用这种方法往往题目涉及量较多、计算量大、运算过程较繁锁,所以考生必须具备较强的运算能力。
二、 总结题型,注意通性、关注通法、积累解题技能和技巧
知识的积累为我们做题提供可能,解题技能技巧的积累,为我们解新题、解“难题”提供参考的模板,高考题一般都忌“偏”避“怪”,所以,我们平常要注意总结题型,注重通性,关注通法,同时注意解题技巧的归纳和总结。
(一) 涉及圆锥曲线内容的常见题型
1. 圆锥曲线的基本量的计算,重点是计算离心率
2. 动点轨迹问题
3. 直线与圆锥曲线的位置关系问题
4. 弦长问题、中点弦问题
5. 最值及参数范围问题
6. 定点与定值问题等
(二) 解题的通性、通法以及解题技巧
1. 动点轨迹方程。(1) 求轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2) 求轨迹方程的常用方法：①直接法 ②待定系数法 ③定义法 ④代入转移法：如动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某一曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线的方程,就得到要求的轨迹方程。
2. 直线与圆锥曲线的位置关系问题。可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论。(1) 若方程组消元后得到一元二次方程,根据根的判别式来讨论：Δ>0,有两交点；Δ=0,有一个交点；Δ<0,无交点。(2) 若方程组消元后得到一元一次方程,则相交于一个公共点。值得注意的是,直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,如抛物线,与其对称轴平行(或重合)的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点,但不是相切,而是相交!(3) 若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分(如双曲线的一支)的公共点个数,则应注意未知数的范围。当然,直线与圆锥曲线的位置关系,还可以利用数形结合,以形助数的方法解决.这是避免繁琐计算的好途径,要记得优先运用。此法行不通时,再考虑用方程的思想解决问题。
3. 弦长问题、中点弦问题。与相交弦有关的问题内容十分丰富,基本类型有弦长、弦中点、有关最值、有关轨迹等问题,但解题思想都很一致,即由直线方程与圆锥曲线方程联立、消元转化为方程的问题求解。在解题过程中,一定要形成常规的通解通法,形成规范的解题步骤。(1) 有关弦长问题,应注意运用韦达定理及弦长公式。如弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB斜率k存在且k≠0,则|AB|=1+k2•|(x1－x2|=1+1k2|y1－y2|；
当然,在运用韦达定理时,要注意Δ≥0；(2) 若涉及弦中点问题,除了可以运用韦达定理，还可以运用“点差法”,即将弦AB的坐标A(x1,y1),B(x2,y2)都代入圆锥曲线方程,再将两方程相减,可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化,从而求出弦中点轨迹方程。(3) 焦点弦问题,要注意圆锥曲线定义的应用。如点A(x1,y1)为椭圆上一点,根据第一定义,A点到椭圆左右两焦点F1、F2的距离(也有称焦半径)AF1=a+ex1,AF2=a－ex1等。
4. 与圆锥曲线有关的最值问题和参数范围问题。这些问题均具有较强的综合性,涉及到多个知识点。如向量、三角、函数等,也与圆锥曲线的定义、方程联系紧密,对思维能力要求高。常用的方法有如下四种：(1) 利用定义转化为几何问题；(2) 利用参数方程转化为三角函数问题(也就是三角换元)；(3) 利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征进而求解；(4) 利用函数最值的探求方法,将其转化为函数最值问题,此时应注意圆锥曲线中x、y的范围。
5. 定点、定值的存在性问题。
解析几何问题,一个相对精确的图形,对结论的探寻有非常重要的帮助。对探索题,我们在读题的同时,可以将已知条件图象化,然后借助于图形将复杂抽象的问题变得直观、具体,有利于探明结论。对于没有给出定值的情况,可以先在特殊条件下,明确定值,然后再在一般条件下,证明定值。在解这类问题时,要特别注意将圆锥曲线的知识与其他数学知识灵活结合,在平常解题时要注意总结反思,形成自己的问题模型,做到既能以变应变,又能做到以不变应万变。
总之,在分析直线与圆锥曲线的问题时,只有重视数形结合思想、函数思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想等思想方法的应用,注重待定系数法、判别式法、数形结合法等数学方法的运用,才能提高综合运用能力和创新探索能力。
（作者：朱永瑛，洪泽县教师研修中心）
一、 理解概念、熟悉性质、强化解题能力
“要想高楼盖得稳,打好地基很重要”,要想题目做得得心应手,先要从基础做起,具体说应做到以下几点：
(一) 牢固掌握概念。概念是解题的原生力量,概念在解题中的作用不容忽视。许多轨迹问题都可以根据定义和标准方程直接解答。
(1) 在解轨迹有关问题时,如果动点符合有关曲线条件,就可以直接写出轨迹的方程,而免去繁杂的计算及化简过程。
(2) 涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合三角形的知识来解决。
(3) 对于涉及到圆锥曲线上一点到焦点的距离问题,常用到圆锥曲线第一定义,“定点和定直线是相应的焦点和准线”且“点点距为分子、点线距是分母”,其商是离心率e,据此,可以根据解题需要将点到焦点的距离与点到准线的距离进行相互转化。
(二) 熟练理解性质。熟练掌握圆锥曲线有关性质并深入了解其几何特性,对于解题思路的探寻,提高解题速度有深刻的影响。这也是每一个考生必须具备的最基本的知识技能。对于基本性质的掌握必须做到：
(1) 根据圆锥曲线的基本量,能迅速写出对应的标准方程，并理解这些量与圆锥曲线形状和位置等之间的关系。
(2) 根据圆锥曲线方程,能迅速写出顶点、焦点所在的位置、离心率、准线方程、变量x、y范围、对称轴等。
(三) 强化解题能力。扎实的解题基本功为解题提供最可靠的保障，同时还应注意：
(1) 数形结合的解题方法。解题时画一个比较接近题意的图形,然后将题目的条件“图形化”,凭借形的直观,借助于厚实的平面几何知识,进行优化组合,从而发现最佳的解题方法,虽说这对思维质量要求较高,但这是常见的比较好的分析问题方法。
(2) 解析法也是常规方法。用解析法解关于圆锥曲线的问题,思路比较自然,规律性较强,思维量要小些,但是使用这种方法往往题目涉及量较多、计算量大、运算过程较繁锁,所以考生必须具备较强的运算能力。
二、 总结题型,注意通性、关注通法、积累解题技能和技巧
知识的积累为我们做题提供可能,解题技能技巧的积累,为我们解新题、解“难题”提供参考的模板,高考题一般都忌“偏”避“怪”,所以,我们平常要注意总结题型,注重通性,关注通法,同时注意解题技巧的归纳和总结。
(一) 涉及圆锥曲线内容的常见题型
1. 圆锥曲线的基本量的计算,重点是计算离心率
2. 动点轨迹问题
3. 直线与圆锥曲线的位置关系问题
4. 弦长问题、中点弦问题
5. 最值及参数范围问题
6. 定点与定值问题等
(二) 解题的通性、通法以及解题技巧
1. 动点轨迹方程。(1) 求轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2) 求轨迹方程的常用方法：①直接法 ②待定系数法 ③定义法 ④代入转移法：如动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某一曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线的方程,就得到要求的轨迹方程。
2. 直线与圆锥曲线的位置关系问题。可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论。(1) 若方程组消元后得到一元二次方程,根据根的判别式来讨论：Δ>0,有两交点；Δ=0,有一个交点；Δ<0,无交点。(2) 若方程组消元后得到一元一次方程,则相交于一个公共点。值得注意的是,直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,如抛物线,与其对称轴平行(或重合)的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点,但不是相切,而是相交!(3) 若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分(如双曲线的一支)的公共点个数,则应注意未知数的范围。当然,直线与圆锥曲线的位置关系,还可以利用数形结合,以形助数的方法解决.这是避免繁琐计算的好途径,要记得优先运用。此法行不通时,再考虑用方程的思想解决问题。
3. 弦长问题、中点弦问题。与相交弦有关的问题内容十分丰富,基本类型有弦长、弦中点、有关最值、有关轨迹等问题,但解题思想都很一致,即由直线方程与圆锥曲线方程联立、消元转化为方程的问题求解。在解题过程中,一定要形成常规的通解通法,形成规范的解题步骤。(1) 有关弦长问题,应注意运用韦达定理及弦长公式。如弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB斜率k存在且k≠0,则|AB|=1+k2•|(x1－x2|=1+1k2|y1－y2|；
当然,在运用韦达定理时,要注意Δ≥0；(2) 若涉及弦中点问题,除了可以运用韦达定理，还可以运用“点差法”,即将弦AB的坐标A(x1,y1),B(x2,y2)都代入圆锥曲线方程,再将两方程相减,可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化,从而求出弦中点轨迹方程。(3) 焦点弦问题,要注意圆锥曲线定义的应用。如点A(x1,y1)为椭圆上一点,根据第一定义,A点到椭圆左右两焦点F1、F2的距离(也有称焦半径)AF1=a+ex1,AF2=a－ex1等。
4. 与圆锥曲线有关的最值问题和参数范围问题。这些问题均具有较强的综合性,涉及到多个知识点。如向量、三角、函数等,也与圆锥曲线的定义、方程联系紧密,对思维能力要求高。常用的方法有如下四种：(1) 利用定义转化为几何问题；(2) 利用参数方程转化为三角函数问题(也就是三角换元)；(3) 利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征进而求解；(4) 利用函数最值的探求方法,将其转化为函数最值问题,此时应注意圆锥曲线中x、y的范围。
5. 定点、定值的存在性问题。
解析几何问题,一个相对精确的图形,对结论的探寻有非常重要的帮助。对探索题,我们在读题的同时,可以将已知条件图象化,然后借助于图形将复杂抽象的问题变得直观、具体,有利于探明结论。对于没有给出定值的情况,可以先在特殊条件下,明确定值,然后再在一般条件下,证明定值。在解这类问题时,要特别注意将圆锥曲线的知识与其他数学知识灵活结合,在平常解题时要注意总结反思,形成自己的问题模型,做到既能以变应变,又能做到以不变应万变。
总之,在分析直线与圆锥曲线的问题时,只有重视数形结合思想、函数思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想等思想方法的应用,注重待定系数法、判别式法、数形结合法等数学方法的运用,才能提高综合运用能力和创新探索能力。
（作者：朱永瑛，洪泽县教师研修中心）