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1 三个学段的内容结构的比较与分析
现行的教育体制小学初中为九年一贯制，而小学分为两个学段，1～3年级为小学的第一学段，4～6年级为小学的第二学段，初中（7～9年级）为九年一贯的第三学段.现对三个学段的内容结构比较与分析如下：
由上表观察，知识内容难度逐步加深，由具体的数到抽象的式，由数的运算到函数的变化，由图形的认识到图形的证明，逻辑性、严密性逐步提高.由生活中的不确定现象到理论上的概率，抽象程度加强了.由实践活动、综合应用到课题的学习，应用能力的要求有明显的提升.
2 对三个学段内容要求的比较与分析
2.1 对数与代数内容的比较与分析
（1）对数与代数内容的比较
小学阶段要求学生通过具体情境认识整数、分数、小数和百分数及常见的量.掌握数的基本运算，理解简单的数量关系.通过解决实际问题培养学生的数感，体会用数来表示和交流的作用，重视口算，加强估算，提倡算法多样化，应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题.
初中阶段要求学生掌握实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识.要求学生在实际背景中理解的数量关系和变化规律，发展符号感，学会让学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性，应加强知识间的联系.增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决实际问题的能力.
（2）对数与代数内容的分析
对于数的要求由小学中的正数和零扩充到了初中的有理数、无理数，进而到了实数.数系扩大了，要求学生的思维能力有所提高，要理解数是由实际的需要而产生的，逻辑、抽象思维逐步加强.小学中通过认识生活中的量，为初中的数量关系奠定了基础，进而引出了代数式，整式、分式.由小学中数的比较大小，到了初中的方程和不等式，小学中的正反比例、探索规律、数量关系奠定了初中的函数关系，内容逐渐加深，要求学生思维，抽象能力渐渐提高.
如：地球绕太阳转动（即地球的公转），每小时约通过110 000km，声音在空气中传播，每小时约通过1 200 000m，试问地球公转的速度和声音的速度哪个大？此题在小学阶段是让学生对大数进行感受、大小进行比较，而到了初一是在对数感受的基础上让学生进行大数的表示，即科学计数法.内容加深，并且用到了幂的表示，牵连到乘方的概念.
再如下面的例子图1：观察并填表：用黑白两颜色的正六边形地面砖，按如图所示规律拼成若干个图案：①第4个图案中有白色地面砖
此题由具体到一般，小学生可以通过观察找到规律，第一问还比较容易理解，第二问是在规律的基础上用代数式表示，对小学生有难度，而在初一则是一般的找规律的题目.
此题因为涉及函数问题，思维含量明显加大，要求学生分清二人之间的速度关系，明确运动过程，不但要数形结合，还要合理的进行比较判断.
2.2 对图形与几何内容的比较与分析
（1）对图形与几何内容的比较
小学阶段要求学生认识简单图形，了解它们的基本特征，感受图形的简单变换，学会确定物体位置的方法.在教学中，让学生通过观察、操作、推理等手段，认识简单图形的形状、大小、变换，发展学生简单的空间观念.
初中阶段要求学生探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，丰富对图形的认识和感受.学习平移、旋转、对称的基本性质，体验变换在现实生活中的广泛应用.学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念.学会推理与论证，发展合情推理，有条理地思考与表达能力.从几个基本的事实出发，会证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性和基本过程，掌握用综合法证明的格式.注重培养学生的观察、操作、推理、想像能力，养成与他人合作交流的习惯，积累了一定的数学活动经验，注重所学内容与现实生活的密切联系.
（2）对于图形与几何内容的分析
小学阶段的图形一般都是从实际生活中抽象出来的，抽象程度不深且易于学生理解，即便研究图形的性质也是从面积，体积、周长的计算上进行.平移、旋转都不是很难想象的.而初中阶段的图形与几何的研究，抽象程度明显高于小学，且逻辑性也逐步增强，且研究三角形、四边形、圆多边形的图形自身的边、角性质，和图形之间的全等、相似关系.一些性质定理和判定定理的探索需要学生仔细观察、充分想象、大胆猜测、归纳概括.研究的比较深入且抽象、严谨、逻辑性大大提高，对学生的要求也越来越严格.
例如：电影院中的第2行第3列，用（3，2）表示，问第4行第3列该如何表示？小学阶段要求学生确定位置比较简单.而初中要上升到坐标系的高度，开始由实际情景抽象出平面二维图形，更具有一般化.
如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）.①若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；②画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；③△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标；④顺次连结C、C1、C′、C2所得到的图形是轴对称图形吗？解答：如图4，①画出平移后的图形，②画出旋转后的图形，③写出坐标（0，0），④是轴对称图形此题的综合性较强，涉及平移、旋转、轴对称，考察比较全面，作图操作能力要求较强，题目难度适中.
再如：图5所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得△A1B1C1再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是（ ）
A.A1的标为（3，1） B.S四边形ABB1A1=3C.B2C=2[KF（]2[KF）] D.∠AC2O=45°本题目不但要求进行作图操作，还要进行相关的面积、长度、角的大小的计算，难度明显增加. 2.3 对统计与概率内容的比较与析
（1）对统计与概率的比较
小学阶段要求学生经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，根据数据分析的结果作出简单的判断与预测，并能计算一些简单事件发生的可能性.要求学生注重对不确定性和可能性的直观感受和在具体情境中对可能性的体验.
初中阶段要求学生体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，学会用三数、两差描述数据，能计算简单事件发生的概率.注重在具体情境中体会概率的意义和统计与概率对制定决策的重要作用，注重所学内容与日常生活的联系，让学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断.
（2）对统计与概率内容的分析
小学阶段的统计只是让学生了解、知道，对于一些结果也只是定性的描述.而初中阶段要求学生要定量的刻画，并且理解程度加深，如要求用树状图或者列表来列出随机事件的所有可能的结果，通过具体例子体会古典概型和几何概型.但总体说来统计与概率在初中阶段要求也不是很高，学生还可以比较容易理解的.
对于统计的要求，小学要求学生感受数据可能产生误导，如：表2，某物流公司原有18名员工，因业务增加现需新增人员，在招聘会上该公司经理称他们
的职工月平均工资超过2600元.你是怎样看待经理的说法的？
初中要求学生不但认识误导还要解释出原因，要求学会用数据说明问题.让学生明确平均数、中位数、众数的区别与联系，同时也发展了学生的思维的严密性和逻辑性.如图6是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）.请分别计算这些车辆行驶速度的平均数、中位数和众数.（结果精确到01）本题将平均数、中位数和众数三个概念进行考察，加强了知识的综合性和实际应用.
概率问题由小学的可能性过渡为概率，难度同样加大 .小学中的可能性问题，如：在掷骰子游戏中，求6朝上的可能性大小？此题目对于小学生来说不难.到了初中阶段此问题就进一步抽象为概率问题，并且让学生理解几何概型和古典概型两种类型.要求会用树状图和列表格求概率问题，并且会做出合理的决策.例如：将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差.
①请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
②小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢.你认为该游戏公平吗？请说明理由.如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.
因为P（小明赢）≠ P（小华赢）， 所以该游戏不公平.
修改后的规则：若两数差为正数，则小明赢；否则小华赢.
2.4 对综合与实践内容的比较与分析
（1）对综合与实践内容的比较
小学阶段要求学生通过实践活动，初步获得一些数学活动的经验，了解数学与生活的广泛联系，获得运用数学解决问题的思考方法， 鼓励学生尝试独立地解决，也要学会与他人进行合作交流.
初中阶段要求学生探讨一些具有挑战性的研究课题，引导学生从不同角度发现实际问题中所包含的数学信息，发展应用数学知识解决问题的能力，进一步加深对数学知识的理解，认识数学知识之间的联系.引导学生结合生活经验提出课题、思考课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题.
（2）对综合与实践内容的分析
小学阶段要求在给定目标下，体会由具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程，获得有用的数学活动经验.而初中阶段则要求学生要会反思实践活动的过程，进一步理解所运用的数学知识和数学方法，加深体会所学知识之间的联系，并将过程和结果以报告或小论文的形式展现出来，要求明显提高，且会进行交流，能获得丰富的数学活动经验，进一步发展学生的应用意识和能力.
小学的综合与实践问题可加深学生对大数的感知与认识，进一步发展数感.如小学的一个例子：平阴县的电视塔有多高？洪范池镇的天柱峰有多高？它们的高度大约分别相当于几个教室的高度？分别相当于多少个学生手拉手的长度？还有什么样的办法可以形象地描述电视塔的高度？此题还可让学生通过询问、查阅资料等调查方式来收集数据.
而初中阶段则要求学生学会综合灵活应用三角形相似的知识进行测量大数和山的高度，寻求不同的方法来解决.有的课题是根据所学知识进行几何体的制作，让学生亲自根据所学知识进行操作，体验动手成功的快乐.如：用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？（由三维空间到二维平面，展开）②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？（由二维平面到三维空间，折叠）③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？（计算体积 ）④什么情况下无盖长方体的体积会较大？（思考最值、有效问题）⑤如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？（多角度思考）通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力，进一步获得丰富的数学活动经验.
现行的教育体制小学初中为九年一贯制，而小学分为两个学段，1～3年级为小学的第一学段，4～6年级为小学的第二学段，初中（7～9年级）为九年一贯的第三学段.现对三个学段的内容结构比较与分析如下：
由上表观察，知识内容难度逐步加深，由具体的数到抽象的式，由数的运算到函数的变化，由图形的认识到图形的证明，逻辑性、严密性逐步提高.由生活中的不确定现象到理论上的概率，抽象程度加强了.由实践活动、综合应用到课题的学习，应用能力的要求有明显的提升.
2 对三个学段内容要求的比较与分析
2.1 对数与代数内容的比较与分析
（1）对数与代数内容的比较
小学阶段要求学生通过具体情境认识整数、分数、小数和百分数及常见的量.掌握数的基本运算，理解简单的数量关系.通过解决实际问题培养学生的数感，体会用数来表示和交流的作用，重视口算，加强估算，提倡算法多样化，应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题.
初中阶段要求学生掌握实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识.要求学生在实际背景中理解的数量关系和变化规律，发展符号感，学会让学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性，应加强知识间的联系.增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决实际问题的能力.
（2）对数与代数内容的分析
对于数的要求由小学中的正数和零扩充到了初中的有理数、无理数，进而到了实数.数系扩大了，要求学生的思维能力有所提高，要理解数是由实际的需要而产生的，逻辑、抽象思维逐步加强.小学中通过认识生活中的量，为初中的数量关系奠定了基础，进而引出了代数式，整式、分式.由小学中数的比较大小，到了初中的方程和不等式，小学中的正反比例、探索规律、数量关系奠定了初中的函数关系，内容逐渐加深，要求学生思维，抽象能力渐渐提高.
如：地球绕太阳转动（即地球的公转），每小时约通过110 000km，声音在空气中传播，每小时约通过1 200 000m，试问地球公转的速度和声音的速度哪个大？此题在小学阶段是让学生对大数进行感受、大小进行比较，而到了初一是在对数感受的基础上让学生进行大数的表示，即科学计数法.内容加深，并且用到了幂的表示，牵连到乘方的概念.
再如下面的例子图1：观察并填表：用黑白两颜色的正六边形地面砖，按如图所示规律拼成若干个图案：①第4个图案中有白色地面砖
此题由具体到一般，小学生可以通过观察找到规律，第一问还比较容易理解，第二问是在规律的基础上用代数式表示，对小学生有难度，而在初一则是一般的找规律的题目.
此题因为涉及函数问题，思维含量明显加大，要求学生分清二人之间的速度关系，明确运动过程，不但要数形结合，还要合理的进行比较判断.
2.2 对图形与几何内容的比较与分析
（1）对图形与几何内容的比较
小学阶段要求学生认识简单图形，了解它们的基本特征，感受图形的简单变换，学会确定物体位置的方法.在教学中，让学生通过观察、操作、推理等手段，认识简单图形的形状、大小、变换，发展学生简单的空间观念.
初中阶段要求学生探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，丰富对图形的认识和感受.学习平移、旋转、对称的基本性质，体验变换在现实生活中的广泛应用.学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念.学会推理与论证，发展合情推理，有条理地思考与表达能力.从几个基本的事实出发，会证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性和基本过程，掌握用综合法证明的格式.注重培养学生的观察、操作、推理、想像能力，养成与他人合作交流的习惯，积累了一定的数学活动经验，注重所学内容与现实生活的密切联系.
（2）对于图形与几何内容的分析
小学阶段的图形一般都是从实际生活中抽象出来的，抽象程度不深且易于学生理解，即便研究图形的性质也是从面积，体积、周长的计算上进行.平移、旋转都不是很难想象的.而初中阶段的图形与几何的研究，抽象程度明显高于小学，且逻辑性也逐步增强，且研究三角形、四边形、圆多边形的图形自身的边、角性质，和图形之间的全等、相似关系.一些性质定理和判定定理的探索需要学生仔细观察、充分想象、大胆猜测、归纳概括.研究的比较深入且抽象、严谨、逻辑性大大提高，对学生的要求也越来越严格.
例如：电影院中的第2行第3列，用（3，2）表示，问第4行第3列该如何表示？小学阶段要求学生确定位置比较简单.而初中要上升到坐标系的高度，开始由实际情景抽象出平面二维图形，更具有一般化.
如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）.①若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；②画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；③△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标；④顺次连结C、C1、C′、C2所得到的图形是轴对称图形吗？解答：如图4，①画出平移后的图形，②画出旋转后的图形，③写出坐标（0，0），④是轴对称图形此题的综合性较强，涉及平移、旋转、轴对称，考察比较全面，作图操作能力要求较强，题目难度适中.
再如：图5所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得△A1B1C1再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是（ ）
A.A1的标为（3，1） B.S四边形ABB1A1=3C.B2C=2[KF（]2[KF）] D.∠AC2O=45°本题目不但要求进行作图操作，还要进行相关的面积、长度、角的大小的计算，难度明显增加. 2.3 对统计与概率内容的比较与析
（1）对统计与概率的比较
小学阶段要求学生经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，根据数据分析的结果作出简单的判断与预测，并能计算一些简单事件发生的可能性.要求学生注重对不确定性和可能性的直观感受和在具体情境中对可能性的体验.
初中阶段要求学生体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，学会用三数、两差描述数据，能计算简单事件发生的概率.注重在具体情境中体会概率的意义和统计与概率对制定决策的重要作用，注重所学内容与日常生活的联系，让学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断.
（2）对统计与概率内容的分析
小学阶段的统计只是让学生了解、知道，对于一些结果也只是定性的描述.而初中阶段要求学生要定量的刻画，并且理解程度加深，如要求用树状图或者列表来列出随机事件的所有可能的结果，通过具体例子体会古典概型和几何概型.但总体说来统计与概率在初中阶段要求也不是很高，学生还可以比较容易理解的.
对于统计的要求，小学要求学生感受数据可能产生误导，如：表2，某物流公司原有18名员工，因业务增加现需新增人员，在招聘会上该公司经理称他们
的职工月平均工资超过2600元.你是怎样看待经理的说法的？
初中要求学生不但认识误导还要解释出原因，要求学会用数据说明问题.让学生明确平均数、中位数、众数的区别与联系，同时也发展了学生的思维的严密性和逻辑性.如图6是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）.请分别计算这些车辆行驶速度的平均数、中位数和众数.（结果精确到01）本题将平均数、中位数和众数三个概念进行考察，加强了知识的综合性和实际应用.
概率问题由小学的可能性过渡为概率，难度同样加大 .小学中的可能性问题，如：在掷骰子游戏中，求6朝上的可能性大小？此题目对于小学生来说不难.到了初中阶段此问题就进一步抽象为概率问题，并且让学生理解几何概型和古典概型两种类型.要求会用树状图和列表格求概率问题，并且会做出合理的决策.例如：将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差.
①请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
②小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢.你认为该游戏公平吗？请说明理由.如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.
因为P（小明赢）≠ P（小华赢）， 所以该游戏不公平.
修改后的规则：若两数差为正数，则小明赢；否则小华赢.
2.4 对综合与实践内容的比较与分析
（1）对综合与实践内容的比较
小学阶段要求学生通过实践活动，初步获得一些数学活动的经验，了解数学与生活的广泛联系，获得运用数学解决问题的思考方法， 鼓励学生尝试独立地解决，也要学会与他人进行合作交流.
初中阶段要求学生探讨一些具有挑战性的研究课题，引导学生从不同角度发现实际问题中所包含的数学信息，发展应用数学知识解决问题的能力，进一步加深对数学知识的理解，认识数学知识之间的联系.引导学生结合生活经验提出课题、思考课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题.
（2）对综合与实践内容的分析
小学阶段要求在给定目标下，体会由具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程，获得有用的数学活动经验.而初中阶段则要求学生要会反思实践活动的过程，进一步理解所运用的数学知识和数学方法，加深体会所学知识之间的联系，并将过程和结果以报告或小论文的形式展现出来，要求明显提高，且会进行交流，能获得丰富的数学活动经验，进一步发展学生的应用意识和能力.
小学的综合与实践问题可加深学生对大数的感知与认识，进一步发展数感.如小学的一个例子：平阴县的电视塔有多高？洪范池镇的天柱峰有多高？它们的高度大约分别相当于几个教室的高度？分别相当于多少个学生手拉手的长度？还有什么样的办法可以形象地描述电视塔的高度？此题还可让学生通过询问、查阅资料等调查方式来收集数据.
而初中阶段则要求学生学会综合灵活应用三角形相似的知识进行测量大数和山的高度，寻求不同的方法来解决.有的课题是根据所学知识进行几何体的制作，让学生亲自根据所学知识进行操作，体验动手成功的快乐.如：用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？（由三维空间到二维平面，展开）②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？（由二维平面到三维空间，折叠）③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？（计算体积 ）④什么情况下无盖长方体的体积会较大？（思考最值、有效问题）⑤如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？（多角度思考）通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力，进一步获得丰富的数学活动经验.