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摘要：小概率原理是假设检验的基本思想，同时也是指导人们生活的一种准则。在假设检验的课程教学中，不仅有必要让学生尽快掌握小概率原理的统计思想，而且应融入思政教学，提高学生的思政水平。本文从假设检验的小概率原理的统计思想出发，研究了假设检验的步骤和检验方法，并分析了假设检验的两类错误及其关系。最后，利用小概率原理和控制两类错误概率的思想给出了课程思政教学中应注意的问题和教学策略。
关键词：小概率原理;假设检验;两类错误;课程思政
1 引言
中国人民教育家、思想家陶行知先生曾说过[1]：“道德是做人的根本。根本一坏，纵然你有一些学问和本领，也无甚用处。并且，没有道德的人，学问和本领愈大，就能为非作恶愈大”。随着时代潮流的变化，现当代教育在关注学科教学的同时，也更加重视对学生思想道德方面的培养。这主要表现在教学模式的改革，教师的教学不再是单一的知识传授，而更应该将学科知识与思想道德认识紧密结合起来，将马克思主义的思想、观点和作风融入课堂教学，提高学生的思想政治水平。毛泽东同志曾说过：“文化思想阵地我们不去占领敌人就会占领。”可见，思想政治教育的重要性。2014年，习近平总书记在第二十三次全国高等学校党的建设工作会议上强调，“办好中国特色社会主义大学，要坚持立德树人，把培育和践行社会主义核心价值观融入教书育人全过程。”在新课程的改革中，要注重各个学科中思想政治教育观点的深入挖掘，让传统的教学内容与现代的德育理念相结合，促进各类课程与思想理论课同向同行，努力达成全员、全程、全方位育人的目标[2]。继这会议之后，课程思政在全国的推行又向前迈进了一大步。
假设检验是统计学中一种被广泛应用于各个领域的极其重要的推断统计方法。假设检验的统计思想来源于小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不会发生的。什么是小概率事件？小概率事件一定不发生吗？如何用小概率原理进行假设检验？假设检验会犯错误吗？如果尽可能减少犯错误的概率？带着这些问题，我们将通过例子来分析假设检验的统计思想，以及探讨如何在假设检验的课程中融入马克思主义的辩证唯物主义思想进行课程思政教学。
2 小概率原理及其映射的思政理念
2.1 小概率与大概率的矛盾体
“久旱逢甘霖”、“水滴石穿”等生活中的成语，都是典型的小概率事件。小概率原理是以小概率事件为基础的统计思想，在数理统计中又被称作实际推断原理，它具体指“一个概率很小的事件在一次试验中几乎不发生”[3]。但是需要注意的是，即使这个小概率事件发生的可能性已经小到可以完全忽略不计，却不能否认它的意义。因为，当试验次数足够大的时候，它的发生又将成为必然事件。下面将对此進行理论推导[4]：
上述公式的推导说明，尽管某个事件发生的概率很小，然而，当次数多了以后该事件至少发生一次的概率将变成大概率事件。因此，在人们的生产生活中，也要不能忽略小概率事件。因为“量变将引起质变”、“常在河边走，哪有不湿鞋”，这些都是小概率事件在生活中的生动刻画[5-8]。
2.2 小概率原理在假设检验中的应用
小概率原理在统计学中的应用非常广泛，它是假设检验的基本原理。根据小概率原理，在一次试验中小概率事件是不可能发生的，如果发生则应该将其视为不合理现象或者反常现象，进而有理由判定假设不成立，，可以通过小概率反证法推出事件真实的结论[9]。因此，基于小概率原理进行假设检验的步骤如下。首先，根据实际问题的需要和试验的目的提出原假设H0与备择假设H1;其次，对给定的小概率α，寻找检验统计量T（X1，…，Xn） 并构造拒绝域W，使得P（T∈W|H0）=α;第三，将样本观测值代入后得到的统计量的表达式，得到统计量的观测值T（x1，…，xn），若T（x1，…，xn）落入了拒绝域，则说明小概率事件发生了，根据小概率原理，认为假设错误，因此做出拒绝原假设H0的判断;反之，如果观测值T（x1，…，xn）没有落入拒绝域，则做出接受H0的判断。
下面以一个例子说明假设检验的小概率思想以及假设检验的步骤和检验过程。
例1：某厂商生产了一批弹簧，假设弹簧的拉力服从正态分布N（μ，0.42）。该厂的负责人说他们厂生产的弹簧拉力至少为5千克力。为了验证负责人保证的弹簧拉力的质量，现从该厂生产的弹簧中抽取9根弹簧，测试结果为平均拉力为4.78千克力。现在的问题是：是否相信该厂的负责人对弹簧的质量保证。
因此落入了拒绝域，说明一次试验中小概率事件发生了，因而拒绝原假设H0，认为该厂生产的弹簧的拉力并没有达到5千克力的标准。
在上述例子中，由于样本X1，…，Xn是随机变量，因而U=U（X1，…，Xn）也是随机变量，因此U的取值具有随机性。然而，当抽样次数足够多的情况下，统计量U的分布为标准正态分布。在原假设H0成立时，统计量U的值在0附近，而U落入构造的拒绝域W中的概率非常小（最多为α），当观测值T（x1，…，xn）确实落入了拒绝域时，说明小概率事件在一次实验中确实发生了，因而做出了拒绝原假设H0的判断。从上面的分析中可以看出，当在原假设H0确实是正确的时候，统计量T（X1，…，Xn）有可能落入拒绝域（虽然概率很小，不超过α），这时我们做出拒绝H0的判断，因而犯了第一类错误。这种错误称为拒真错误。
假设检验的小概率原理利用了反证法的思想，认为在一次试验中，小概率事件不会发生。然而，在现实生活中，有些事件的概率虽然小，但也有可能发生。因而，在做假设检验的拒绝原假设的判断时，有可能会犯第一类错误。小概率原理告诉我们，犯错并不可怕，可怕的是犯了错误后不知悔改。马克思主义告诉我们，实践是检验真理的唯一标准。人们在实践过程中，可能容易犯一两次错误，但从犯错中总结教训，找到错误的原因，加以改正，最终才能发现真理，社会才能不断进步。如果因为怕犯错而停步不前，就没有真理的发现，也就没有人类的进步。 3 假设检验的两类错误与思政理念的融合
3.1 假设检验的两类错误分析
假设检验有两类错误，其中第I类错误也被称为弃真错误，指在假设检验中，当原假设H0为真时，样本统计量（X1，X2，…，Xn）因为样本的随机性落入拒绝域W而判定它拒绝原假设。犯第Ⅰ类错误的概率也是小概率事件发生的概率，是假设检验中显著性水平α的值，用公式表示为：
从表2数据来看，α越来越小，对应的β就越来越大，二者确实存在此消彼长的关系。因此，当样本容量不变的情况下，要降低犯第二类错误的概率β，则必然导致犯第一类错误的概率α值的上升;反之，要降低犯第一类错误的概率值α，又会导致犯第二类错误的概率β值的上升。
假设检验的两类错误又构成了一对新的矛盾。根据马克思主义关于解决矛盾的论证，在解决矛盾的过程中，需要分清主要矛盾和次要矛盾。抓住主要矛盾，就能抓住事物的中心，找到解决矛盾的方法。在假设检验的过程中，需要平衡两类错误的的概率，找到主要矛盾，兼顾次要矛盾，才能合理解决问题。例如，在控制犯第一类错误小于或等于α的条件下，寻找拒绝域W*，使得犯第二类错误的概率尽可能小。称为最优检验问题。在教学过程中，适当引导学生思考对矛盾的认识，展开对矛盾的思考和讨论。在人生的不同阶段，都会有不同的矛盾，要认真抓好每一个阶段的主要矛盾，处理好生活中的每一次矛盾，成为对社会有用的人才。
3.2 两类错误概率的控制
根据前面的分析可知，当样本容量n一定时，α和β呈反向变化。如果要使得α和β同时减小，则只有可能n是变化的。
根据标准正态分布概率表和正态分布的对称性可以推算得到：
显然，当公式右边增加的时候，导致Zα+Zβ增大，由于Zα和Zβ分别是α和β的减函数，因此当n增大时，可以使得α和β同时减小。
如果希望控制犯两类错误的概率，则需要增加样本容量，增加样本的信息，也就是多动手、多做实验。再次验证了马克思主义中实践是检验真理的唯一标准这一大观点。只要实验次数足够多，犯错误的概率将不断减少，实验的结果也将更趋于理想化，也就能最终获得成功。
4 假设检验映射的思政教育理念
教学不只在于知识的普及，更在于道德素质、政治文化思想的培养。根据假设检验中小概率原理和两类错误的概率分析，教师在教学过程中可以融入思政理念和观点，让学生学会运用辩证唯物主义的观点、方法分析问题和解决问题。在实际生活中，要有所为，有所不为。在碰到困难的时候，要敢于担当，勇于克服困难，不怕犯错。因为小概率原理告诉我们，有些错误需要避免，有些错误则无法避免。另一方面，当生活中遇到矛盾的时候，要分清主要矛盾和次要矛盾，有所取舍。就像假设检验中的两类错误，当两者无法兼顾的时候，可以考虑只控制犯第一类错误的显著性检验，也可以控制第一类错误的概率在一定范围内，寻找犯第二类错误的概率最小的最优检验。
参考文献：
[1] 胡晓风等编，陶行知教育文集[M]，四川教育出版社，2005.
[2]陈华栋编著，课程思政：从理念到实践，上海交通大学出版社，2020.
[3]盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第4版）[M]，高等教育出版社，2008.
[4] 李昀鸿.小概率事件的原理及应用[J].科技资讯，2016，14（16）：168-170+172.
[5] 刘东海，陆丽宇.小概率事件与实际问题例谈[J].科技经济导刊，2018，26（12）：114-118.
[6] 金明鸥，尚晗之，程学建.概率论教学难点解析[J].吉林省教育学院学报，2012，28（10）：145-146.
[7] 张洁，杨文国.浅谈小概率事件的内涵[J].科技风，2018（25）：74+76.
[8] 高显彩，单雪红.概率论中小概率事件原理的应用[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2014，16（06）：156-159.
[9] 嵇冉，王健.生活中的小概率事件——从巴黎圣母院失火说起[J].中国统计，2019（07）：47-49.
[10] 李庆. 我国走失人群规模呈现逐年递减状态[N]. 公益时报， 2021-03-02（002）.
[11] 叶鸿烈.假设检验中两类错误教学研究[J].课程教育研究，2019（24）：63-64.
[12] 张忠群.对假设检验中两类错误的探讨[J].六盘水师范高等专科学校学报，2006（06）：4-7.
[13] 邱芳.统计假设检验中的两类错误[J].滨州师专学报，2003（02）：38-40.
[14] 沈荣泸.参数假设检验中的两类错误[J].数学学习与研究，2015（23）：133.
[15] 钢铁工业大气污染物排放标准[A]. 河北省冶金学会、北京金属学会、天津市金属学会、河北省環境科学学会.2015京津冀钢铁业清洁生产、环境保护交流会论文集[C].河北省冶金学会、北京金属学会、天津市金属学会、河北省环境科学学会：河北省冶金学会，2015：7.
1.江西师范大学数学与统计学院 南昌 330022
2.江西师范大学财政金融学院
关键词：小概率原理;假设检验;两类错误;课程思政
1 引言
中国人民教育家、思想家陶行知先生曾说过[1]：“道德是做人的根本。根本一坏，纵然你有一些学问和本领，也无甚用处。并且，没有道德的人，学问和本领愈大，就能为非作恶愈大”。随着时代潮流的变化，现当代教育在关注学科教学的同时，也更加重视对学生思想道德方面的培养。这主要表现在教学模式的改革，教师的教学不再是单一的知识传授，而更应该将学科知识与思想道德认识紧密结合起来，将马克思主义的思想、观点和作风融入课堂教学，提高学生的思想政治水平。毛泽东同志曾说过：“文化思想阵地我们不去占领敌人就会占领。”可见，思想政治教育的重要性。2014年，习近平总书记在第二十三次全国高等学校党的建设工作会议上强调，“办好中国特色社会主义大学，要坚持立德树人，把培育和践行社会主义核心价值观融入教书育人全过程。”在新课程的改革中，要注重各个学科中思想政治教育观点的深入挖掘，让传统的教学内容与现代的德育理念相结合，促进各类课程与思想理论课同向同行，努力达成全员、全程、全方位育人的目标[2]。继这会议之后，课程思政在全国的推行又向前迈进了一大步。
假设检验是统计学中一种被广泛应用于各个领域的极其重要的推断统计方法。假设检验的统计思想来源于小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不会发生的。什么是小概率事件？小概率事件一定不发生吗？如何用小概率原理进行假设检验？假设检验会犯错误吗？如果尽可能减少犯错误的概率？带着这些问题，我们将通过例子来分析假设检验的统计思想，以及探讨如何在假设检验的课程中融入马克思主义的辩证唯物主义思想进行课程思政教学。
2 小概率原理及其映射的思政理念
2.1 小概率与大概率的矛盾体
“久旱逢甘霖”、“水滴石穿”等生活中的成语，都是典型的小概率事件。小概率原理是以小概率事件为基础的统计思想，在数理统计中又被称作实际推断原理，它具体指“一个概率很小的事件在一次试验中几乎不发生”[3]。但是需要注意的是，即使这个小概率事件发生的可能性已经小到可以完全忽略不计，却不能否认它的意义。因为，当试验次数足够大的时候，它的发生又将成为必然事件。下面将对此進行理论推导[4]：
上述公式的推导说明，尽管某个事件发生的概率很小，然而，当次数多了以后该事件至少发生一次的概率将变成大概率事件。因此，在人们的生产生活中，也要不能忽略小概率事件。因为“量变将引起质变”、“常在河边走，哪有不湿鞋”，这些都是小概率事件在生活中的生动刻画[5-8]。
2.2 小概率原理在假设检验中的应用
小概率原理在统计学中的应用非常广泛，它是假设检验的基本原理。根据小概率原理，在一次试验中小概率事件是不可能发生的，如果发生则应该将其视为不合理现象或者反常现象，进而有理由判定假设不成立，，可以通过小概率反证法推出事件真实的结论[9]。因此，基于小概率原理进行假设检验的步骤如下。首先，根据实际问题的需要和试验的目的提出原假设H0与备择假设H1;其次，对给定的小概率α，寻找检验统计量T（X1，…，Xn） 并构造拒绝域W，使得P（T∈W|H0）=α;第三，将样本观测值代入后得到的统计量的表达式，得到统计量的观测值T（x1，…，xn），若T（x1，…，xn）落入了拒绝域，则说明小概率事件发生了，根据小概率原理，认为假设错误，因此做出拒绝原假设H0的判断;反之，如果观测值T（x1，…，xn）没有落入拒绝域，则做出接受H0的判断。
下面以一个例子说明假设检验的小概率思想以及假设检验的步骤和检验过程。
例1：某厂商生产了一批弹簧，假设弹簧的拉力服从正态分布N（μ，0.42）。该厂的负责人说他们厂生产的弹簧拉力至少为5千克力。为了验证负责人保证的弹簧拉力的质量，现从该厂生产的弹簧中抽取9根弹簧，测试结果为平均拉力为4.78千克力。现在的问题是：是否相信该厂的负责人对弹簧的质量保证。
因此落入了拒绝域，说明一次试验中小概率事件发生了，因而拒绝原假设H0，认为该厂生产的弹簧的拉力并没有达到5千克力的标准。
在上述例子中，由于样本X1，…，Xn是随机变量，因而U=U（X1，…，Xn）也是随机变量，因此U的取值具有随机性。然而，当抽样次数足够多的情况下，统计量U的分布为标准正态分布。在原假设H0成立时，统计量U的值在0附近，而U落入构造的拒绝域W中的概率非常小（最多为α），当观测值T（x1，…，xn）确实落入了拒绝域时，说明小概率事件在一次实验中确实发生了，因而做出了拒绝原假设H0的判断。从上面的分析中可以看出，当在原假设H0确实是正确的时候，统计量T（X1，…，Xn）有可能落入拒绝域（虽然概率很小，不超过α），这时我们做出拒绝H0的判断，因而犯了第一类错误。这种错误称为拒真错误。
假设检验的小概率原理利用了反证法的思想，认为在一次试验中，小概率事件不会发生。然而，在现实生活中，有些事件的概率虽然小，但也有可能发生。因而，在做假设检验的拒绝原假设的判断时，有可能会犯第一类错误。小概率原理告诉我们，犯错并不可怕，可怕的是犯了错误后不知悔改。马克思主义告诉我们，实践是检验真理的唯一标准。人们在实践过程中，可能容易犯一两次错误，但从犯错中总结教训，找到错误的原因，加以改正，最终才能发现真理，社会才能不断进步。如果因为怕犯错而停步不前，就没有真理的发现，也就没有人类的进步。 3 假设检验的两类错误与思政理念的融合
3.1 假设检验的两类错误分析
假设检验有两类错误，其中第I类错误也被称为弃真错误，指在假设检验中，当原假设H0为真时，样本统计量（X1，X2，…，Xn）因为样本的随机性落入拒绝域W而判定它拒绝原假设。犯第Ⅰ类错误的概率也是小概率事件发生的概率，是假设检验中显著性水平α的值，用公式表示为：
从表2数据来看，α越来越小，对应的β就越来越大，二者确实存在此消彼长的关系。因此，当样本容量不变的情况下，要降低犯第二类错误的概率β，则必然导致犯第一类错误的概率α值的上升;反之，要降低犯第一类错误的概率值α，又会导致犯第二类错误的概率β值的上升。
假设检验的两类错误又构成了一对新的矛盾。根据马克思主义关于解决矛盾的论证，在解决矛盾的过程中，需要分清主要矛盾和次要矛盾。抓住主要矛盾，就能抓住事物的中心，找到解决矛盾的方法。在假设检验的过程中，需要平衡两类错误的的概率，找到主要矛盾，兼顾次要矛盾，才能合理解决问题。例如，在控制犯第一类错误小于或等于α的条件下，寻找拒绝域W*，使得犯第二类错误的概率尽可能小。称为最优检验问题。在教学过程中，适当引导学生思考对矛盾的认识，展开对矛盾的思考和讨论。在人生的不同阶段，都会有不同的矛盾，要认真抓好每一个阶段的主要矛盾，处理好生活中的每一次矛盾，成为对社会有用的人才。
3.2 两类错误概率的控制
根据前面的分析可知，当样本容量n一定时，α和β呈反向变化。如果要使得α和β同时减小，则只有可能n是变化的。
根据标准正态分布概率表和正态分布的对称性可以推算得到：
显然，当公式右边增加的时候，导致Zα+Zβ增大，由于Zα和Zβ分别是α和β的减函数，因此当n增大时，可以使得α和β同时减小。
如果希望控制犯两类错误的概率，则需要增加样本容量，增加样本的信息，也就是多动手、多做实验。再次验证了马克思主义中实践是检验真理的唯一标准这一大观点。只要实验次数足够多，犯错误的概率将不断减少，实验的结果也将更趋于理想化，也就能最终获得成功。
4 假设检验映射的思政教育理念
教学不只在于知识的普及，更在于道德素质、政治文化思想的培养。根据假设检验中小概率原理和两类错误的概率分析，教师在教学过程中可以融入思政理念和观点，让学生学会运用辩证唯物主义的观点、方法分析问题和解决问题。在实际生活中，要有所为，有所不为。在碰到困难的时候，要敢于担当，勇于克服困难，不怕犯错。因为小概率原理告诉我们，有些错误需要避免，有些错误则无法避免。另一方面，当生活中遇到矛盾的时候，要分清主要矛盾和次要矛盾，有所取舍。就像假设检验中的两类错误，当两者无法兼顾的时候，可以考虑只控制犯第一类错误的显著性检验，也可以控制第一类错误的概率在一定范围内，寻找犯第二类错误的概率最小的最优检验。
参考文献：
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[6] 金明鸥，尚晗之，程学建.概率论教学难点解析[J].吉林省教育学院学报，2012，28（10）：145-146.
[7] 张洁，杨文国.浅谈小概率事件的内涵[J].科技风，2018（25）：74+76.
[8] 高显彩，单雪红.概率论中小概率事件原理的应用[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2014，16（06）：156-159.
[9] 嵇冉，王健.生活中的小概率事件——从巴黎圣母院失火说起[J].中国统计，2019（07）：47-49.
[10] 李庆. 我国走失人群规模呈现逐年递减状态[N]. 公益时报， 2021-03-02（002）.
[11] 叶鸿烈.假设检验中两类错误教学研究[J].课程教育研究，2019（24）：63-64.
[12] 张忠群.对假设检验中两类错误的探讨[J].六盘水师范高等专科学校学报，2006（06）：4-7.
[13] 邱芳.统计假设检验中的两类错误[J].滨州师专学报，2003（02）：38-40.
[14] 沈荣泸.参数假设检验中的两类错误[J].数学学习与研究，2015（23）：133.
[15] 钢铁工业大气污染物排放标准[A]. 河北省冶金学会、北京金属学会、天津市金属学会、河北省環境科学学会.2015京津冀钢铁业清洁生产、环境保护交流会论文集[C].河北省冶金学会、北京金属学会、天津市金属学会、河北省环境科学学会：河北省冶金学会，2015：7.
1.江西师范大学数学与统计学院 南昌 330022
2.江西师范大学财政金融学院