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一、数学思想方法的界定
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念--数学思想方法。
二、初中階段应渗透的主要数学思想方法
在初中数学教学中至少应该向学生渗透如下几种主要的数学思想方法：
1.分类讨论的思想方法
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数学方法，能克服思维的片面性，防止漏解。
2.类比的思想方法
类比是根据两个或两类的对象间有部分属性相同，而推出它们某种属性也相同的推理形式，被称为最有创造性的一种思想方法。
3.数形结合的思想方法
数形结合的思想方法是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
4.化归的思想方法
所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。
5.方程与函数的思想方法
运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与教学法未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程（组）问题。
用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使问题获得解决，称为函数思想方法。
6.整体的思想方法
整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
三、数学思想方法渗透教学的途径
1.在问题的情境创设中渗透数学思想方法
老师们都知道，有效的情境创设能激发起学生探究学习的热情，调动起学生参与学习的兴趣，还能挖掘情境中和后续学习有关的数学学习内容。不过，我个人认为在问题的情境创设中更重要的是要适时地给学生渗透一些数学思想方法。
例如在讲解同类项这个概念时，可创设如下情境：
把下面这些实物的塑料模型进行分类 ：蛋筒、菠萝、棒冰、萝卜、菜椒、香蕉、白菜。
先由学生小组讨论后进行演示，尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，从而引出同类项这个概念。学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态，另一方面可培养学生思维的灵活性，同时渗透分类的思想方法。
2.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法
数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过程中应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的飞跃。只讲概念、定理、公式而不注重渗透数学思想、方法的教学，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高。在教学过程中要引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。
案例1：
探索：
（1）请学生们在数轴上将下列各数表示出来：0，1，-1，4，-4
（2）1与-1，4与-4有什么关系？
（3）4到原点的距离与-4到原点的距离有何关系？1与-1呢？
给出绝对值的概念，并让学生自己从数轴上，从各点之间的关系中讨论归纳出绝对值的描述性定义。
（4）绝对值等于9的数有几个？如何利用数轴加以说明？
今后我们可以借助数轴来分析解决有关绝对值的问题，这种方法称之为“数形结合”。
这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了数形结合的思想方法。在此，教师在教学中应恰当地对数学思想方法给予提炼与概括，以加深学生的印象。
数学知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个反复训练，不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。 例如，根据学生直觉思维的特点，在完全平方公式教学中，可以有层次性地设计如下的问题引导学生思考：
（1）计算22+32，（2+3）2，它们在题目和结论上有什么区别？
（2）计算22-32，（2-3）2，它们在题目和结论上有什么区别？
（3）判断（a+b）2=a2+b2，（a-b）2 =a2-b2正确吗？如果不正确，正确结果是什么？ （4）你能得出（a+b）2和（a-b）2的公式吗？它们两个有什么区别？
易见，通过以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨在数学思想方法应用上的教育和示范功能。其中渗透了数形结合的方法、转化的思想，分类思想，归纳、抽象概括思想，特殊与一般思想等等。使学生在很好得掌握知识的同时也领悟了其中相应的数学思想方法。
3.在思维活动过程中揭示数学思想方法
数学教学过程中应充分暴露思维过程，让学生积极参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想，才能有效地培养和发展学生的数学思维能力。下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要的作一个说明。
教学过程设计：
（1）创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。
问题1：三角形和四边形的内角和分别为多少？
问题2：如何探求四边形内角和？（转化为三角形）
问题3：那么，五边形内角和你会探索求吗？
问题4：六边形、七边形…… n 边形内角和又是多少呢？
（2）鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。
思考1：从四边形内角和的探求思想方法中，你受到什么启发呢？（转化为三角形内角和）
思考2：五边形内角和能否转化为三角形内角和求解？六边形，…… ，n 边形呢？
思考3：你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、分割的三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？
思考4：猜一猜 n 边形内角和有何结论？类比、归纳、猜想的含义和作用，你能理解和认识吗？
（3）暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法.
思考5：如何验证或推断上面猜想的结论呢？
思考6：既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化歸方法是否唯一的呢？
思考7：三角形顶点与多边形的位置关系怎样？（分类思想指导化归方法的探索）哪一种对获取证明最简洁？（至此，教材中在多边形内任取一点O……的思维过程得以充分自然地暴露）。
（4）反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。
小结：从上面的探索过程中，我们发现化归思想有着很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢？原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想，它对提供解题方法有重要作用。
让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。
4.在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法
我们平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措，总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。而培养学生解决问题的综合能力又是数学教学的核心目标。在解决问题的过程中，教师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想到，到哪里去找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能──定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。若学生能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。
案例2：
练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值）和斜边，求一直角边？
（通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何思维，突出数形结合）
练习二、思考探索：
（1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=23，AC=2，你能求出△ABC中其他的边和角吗？
（2）已知：在Rt△DEF中，∠E=90°，EF=5， ∠F=60°， 你能求出△DEF中其他的边和角吗？
（3）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∠B=60°， 你能求出△ABC中其他的边吗？若能求，则写出求解过程。
（探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多角度去探索）
这样的设计，充分发挥了学生的主体作用，学生参与问题的探索，大大激发了学生的求知兴趣，使学生在知识学习的同时，感受和领会到了数学思想和方法的魅力。
5.在知识的总结、归纳和反思的过程中形成数学思想方法
数学思想方法的获得，一方面是课中有意的渗透，但更多的是靠学生在反思过程中领悟，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训，等等。只有这样，才能对数学思想方法有所认识。
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法可以从某个概念、定理、公式和问题教学中纵横归纳，也可以通过课堂小结，单元总结和总复习进行升华和概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，应当有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加紧学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。概括数学思想一般可分两步进行：一是揭示数学思想的内容、规律，即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来；二是明确数学思想方法与 知识的联系，即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别性认识上升为一般性认识。
例如：通过解方程（x-2）2+（x-2）-2=0 ，发现可用换元法来求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想是对换元法的高度概括，还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂，是对数学知识的高度概括。由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，所以通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至是某个概念、定理公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
以上便是我在多年的教学实践中得到的一些体会。从某种意义上讲，数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，正适合现在方兴未艾的“素质教育”，其教学潜在价值是不可估量的。
参考文献
[1]《新课程理念与教学策略》
[2]《中学数学教学参考》初二、初三版
[3]《中学数学教学参考》
[4]《初中数学教与学》
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念--数学思想方法。
二、初中階段应渗透的主要数学思想方法
在初中数学教学中至少应该向学生渗透如下几种主要的数学思想方法：
1.分类讨论的思想方法
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数学方法，能克服思维的片面性，防止漏解。
2.类比的思想方法
类比是根据两个或两类的对象间有部分属性相同，而推出它们某种属性也相同的推理形式，被称为最有创造性的一种思想方法。
3.数形结合的思想方法
数形结合的思想方法是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
4.化归的思想方法
所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。
5.方程与函数的思想方法
运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与教学法未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程（组）问题。
用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使问题获得解决，称为函数思想方法。
6.整体的思想方法
整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
三、数学思想方法渗透教学的途径
1.在问题的情境创设中渗透数学思想方法
老师们都知道，有效的情境创设能激发起学生探究学习的热情，调动起学生参与学习的兴趣，还能挖掘情境中和后续学习有关的数学学习内容。不过，我个人认为在问题的情境创设中更重要的是要适时地给学生渗透一些数学思想方法。
例如在讲解同类项这个概念时，可创设如下情境：
把下面这些实物的塑料模型进行分类 ：蛋筒、菠萝、棒冰、萝卜、菜椒、香蕉、白菜。
先由学生小组讨论后进行演示，尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，从而引出同类项这个概念。学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态，另一方面可培养学生思维的灵活性，同时渗透分类的思想方法。
2.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法
数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过程中应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的飞跃。只讲概念、定理、公式而不注重渗透数学思想、方法的教学，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高。在教学过程中要引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。
案例1：
探索：
（1）请学生们在数轴上将下列各数表示出来：0，1，-1，4，-4
（2）1与-1，4与-4有什么关系？
（3）4到原点的距离与-4到原点的距离有何关系？1与-1呢？
给出绝对值的概念，并让学生自己从数轴上，从各点之间的关系中讨论归纳出绝对值的描述性定义。
（4）绝对值等于9的数有几个？如何利用数轴加以说明？
今后我们可以借助数轴来分析解决有关绝对值的问题，这种方法称之为“数形结合”。
这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了数形结合的思想方法。在此，教师在教学中应恰当地对数学思想方法给予提炼与概括，以加深学生的印象。
数学知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个反复训练，不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。 例如，根据学生直觉思维的特点，在完全平方公式教学中，可以有层次性地设计如下的问题引导学生思考：
（1）计算22+32，（2+3）2，它们在题目和结论上有什么区别？
（2）计算22-32，（2-3）2，它们在题目和结论上有什么区别？
（3）判断（a+b）2=a2+b2，（a-b）2 =a2-b2正确吗？如果不正确，正确结果是什么？ （4）你能得出（a+b）2和（a-b）2的公式吗？它们两个有什么区别？
易见，通过以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨在数学思想方法应用上的教育和示范功能。其中渗透了数形结合的方法、转化的思想，分类思想，归纳、抽象概括思想，特殊与一般思想等等。使学生在很好得掌握知识的同时也领悟了其中相应的数学思想方法。
3.在思维活动过程中揭示数学思想方法
数学教学过程中应充分暴露思维过程，让学生积极参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想，才能有效地培养和发展学生的数学思维能力。下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要的作一个说明。
教学过程设计：
（1）创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。
问题1：三角形和四边形的内角和分别为多少？
问题2：如何探求四边形内角和？（转化为三角形）
问题3：那么，五边形内角和你会探索求吗？
问题4：六边形、七边形…… n 边形内角和又是多少呢？
（2）鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。
思考1：从四边形内角和的探求思想方法中，你受到什么启发呢？（转化为三角形内角和）
思考2：五边形内角和能否转化为三角形内角和求解？六边形，…… ，n 边形呢？
思考3：你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、分割的三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？
思考4：猜一猜 n 边形内角和有何结论？类比、归纳、猜想的含义和作用，你能理解和认识吗？
（3）暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法.
思考5：如何验证或推断上面猜想的结论呢？
思考6：既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化歸方法是否唯一的呢？
思考7：三角形顶点与多边形的位置关系怎样？（分类思想指导化归方法的探索）哪一种对获取证明最简洁？（至此，教材中在多边形内任取一点O……的思维过程得以充分自然地暴露）。
（4）反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。
小结：从上面的探索过程中，我们发现化归思想有着很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢？原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想，它对提供解题方法有重要作用。
让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。
4.在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法
我们平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措，总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。而培养学生解决问题的综合能力又是数学教学的核心目标。在解决问题的过程中，教师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想到，到哪里去找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能──定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。若学生能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。
案例2：
练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值）和斜边，求一直角边？
（通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何思维，突出数形结合）
练习二、思考探索：
（1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=23，AC=2，你能求出△ABC中其他的边和角吗？
（2）已知：在Rt△DEF中，∠E=90°，EF=5， ∠F=60°， 你能求出△DEF中其他的边和角吗？
（3）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∠B=60°， 你能求出△ABC中其他的边吗？若能求，则写出求解过程。
（探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多角度去探索）
这样的设计，充分发挥了学生的主体作用，学生参与问题的探索，大大激发了学生的求知兴趣，使学生在知识学习的同时，感受和领会到了数学思想和方法的魅力。
5.在知识的总结、归纳和反思的过程中形成数学思想方法
数学思想方法的获得，一方面是课中有意的渗透，但更多的是靠学生在反思过程中领悟，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训，等等。只有这样，才能对数学思想方法有所认识。
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法可以从某个概念、定理、公式和问题教学中纵横归纳，也可以通过课堂小结，单元总结和总复习进行升华和概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，应当有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加紧学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。概括数学思想一般可分两步进行：一是揭示数学思想的内容、规律，即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来；二是明确数学思想方法与 知识的联系，即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别性认识上升为一般性认识。
例如：通过解方程（x-2）2+（x-2）-2=0 ，发现可用换元法来求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想是对换元法的高度概括，还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂，是对数学知识的高度概括。由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，所以通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至是某个概念、定理公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
以上便是我在多年的教学实践中得到的一些体会。从某种意义上讲，数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，正适合现在方兴未艾的“素质教育”，其教学潜在价值是不可估量的。
参考文献
[1]《新课程理念与教学策略》
[2]《中学数学教学参考》初二、初三版
[3]《中学数学教学参考》
[4]《初中数学教与学》