论文部分内容阅读
摘 要：指明了分段函数在经济数学中的意义与作用，分析了案例教学的内涵，将案例按应用方式分类，应用快递收费问题、邮资问题、薪金所得税案例、出租车收费问题实施分段函数的案例教学。案例教学对经济数学学习者实际应用能力的提高起着重要的作用。
关键词：经济数学 分段函数 案例教学
中图分类号：F224 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2015）02-262-02
一、引言
经济数学研究各种不同的函数，分段函数也是其中重要的一类。分段函数，作为一种十分特殊的函数，是指在定义域的不同部分，对应法则由不同的算式来表达的函数。当代的大学生，对分段函数并不陌生，因为中考试题中有关于分段函数图像的应用题（如哈尔滨市历年中考试题选择题的第十题），而全国各地的高考试题，更是以选择题或者填空题的形式，考查高考生讨论分段函数的单调性、周期性，求分段函数的零点，求分段函数的最值，解分段方程，或解分段不等式的能力，有的考题还涉及到含参数的分段函数。
而分段函数作为经济数学中的一类重要函数，对于经管类大学本科学生，其突出的意义与作用在于：通过讨论分段函数在分段点处的极限、连续性、可导性、可微性，讨论分段函数的不定积分、定积分等，促进和加深对极限、连续、导数、微分、不定积分（原函数）、定积分等概念及其相互关系的理解。分段函数在分段点处的解析性质是经济数学课程的教学难点，学生头脑中分段函数知识脉络的建构，是随着微积分教学进程的推进，由师生共同努力而逐步完成的，当然，学生是建构过程的主体。根据笔者对近两年来所教授的来自全国12个省、1个自治区、2个直辖市的240余名学生的调查发现，对于分段函数，学生们的困惑主要体现在以下两个方面：一是如何讨论分段点处的可导性、可积性，二是分段函数在生产生活实践中到底有什么用。前者对于高动机水平的学生不构成认知障碍，而后者是几乎所有学生关心而又茫然的问题。对于前者，广大奋战在教学一线的同仁们已有诸多探讨，本文仅以后者为主题，探讨分段函数的案例教学，以期使学生理解分段函数它来自何方，又将去向何处。
二、案例教学
（一）案例教学的内涵
对于案例教学，不同的教育工作者给出了不同的定义，不一而足。笔者认为，经济数学的案例教学，是指教师以案例为基本素材，创设（问题）情境，通过师生、生生间多向互动，激发学生有意义的学习，使其加深对基本原理和概念的理解，以达到建构知识与提高分析、解决问题能力的目的的一种特定的教学方法，是一种理论与实际有机切合的重要教学形式。
（二）案例应用方式分类
依据案例在经济数学概念（原理）教学过程中应用的方式和出现的位置，可将其分为以下四类。
1.概念（原理）前案例。在进入教学主题之前，先引入若干简单、特殊的案例，然后以不完全归纳的形式呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）前案例教学。概念（原理）前案例数量以二三为宜。如：在导数（边际）定义前引入变速直线运动物体的速度问题、曲线在一点处的切线的斜率问题，在定积分定义前引入曲边梯形的面积问题等。
2.概念（原理）中案例。通过引入贴合教学主题、难度适中的案例，随剖析随呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）中案例教学。经济数学中的弹性概念适合概念（原理）中案例教学。
3.概念（原理）后案例。在呈现概念（原理）后，再抛出相对较难的案例，以演绎的形式再现或者应用概念（原理），以加深学习者对概念（原理）的理解、内化、迁移能力的教学方式称为概念（原理）后案例教学。概念（原理）后案例涉及的知识面比较广，难度较大，可以分为课上、课下两部分实施。课上以教师为主导，课下以作业的形式，促使有兴趣的学生翻阅资料钻研探索，锻炼其分析综合、解决问题的能力。概念（原理）后案例教学具有普适性。
4.前后呼应式案例。在进入教学主题之前，先抛出案例题干激发学生的学习兴趣，而后呈现概念（原理），最后剖析案例，应用概念（原理）解决案例的教学方式称为前后呼应式案例教学。前后呼应式案例教学适合于复杂概念（原理），如微分方程理论、差分方程理论、级数理论等。
三、分段函数的案例教学
（一）分段函数的概念前案例
（二）分段函数的概念后案例
四、总结
数学到底有什么用？这是学习者——尤其是高动机水平的学生所热切关心的问题。经济数学的案例教学以案例为基本素材，以遒劲有力的笔触向学生点画出作为科学之王的数学在生产生活实践中的用武之地。快递收费问题、邮资问题，以及薪金所得税案例、出租车收费案例，联袂证明了分段函数不是一只无魂无魄的木偶，而是一只有血有肉的精灵。
[基金项目：黑龙江省高等教育教学改革项目（项目编号：JG2013010493）；黑龙江省高等教育学会“十二五”高等教育科研项目（项目编号：14G106）；黑龙江科技大学教学研究项目（高等数学的专业案例教学法研究）；黑龙江科技大学教学研究项目（项目编号：JY14-133）]
参考文献：
[1] 蔡瑾.浅谈高等数学一元微积分中的分段函数[J].长春理工大学学报，2013（2）
[2] 同济大学应用数学系.微积分（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003
[3] 杨耀南.2013年中考试题中的分段函数图像应用题研究[J].数学学习，2014（2）
[4] 景宝洪.例谈分段函数在高考中的四个考查方向[J].上海中学数学，2014（1-2）
[5] 曹宗明.一道分段函数的周期性问题的几种常见错解辨析[J].中学数学研究，2013（5）
[6] 李嘉.关于《高等数学》中分段函数性质的教学探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2014（10）
[7] 鲍培文.分段函数的微积分典型问题例析[J].当代教育理论与实践，2013（9）
[8] 赖莉飞.以案例教学法为特色的大学物理课程教学模式的探析[J].宁波教育学院学报，2009（12）
[9] 苏洪雨，江雪萍.高等数学案例教学的实践与探究[J].高等理科教育，2009（3）
[10] 刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010（3）
[11] 王春，王新霞，孙秀娟.案例式教学法在经济数学中的应用[J].高师理科学刊，2013（1）
[12] 母丽华，周永芳.数学建模[M].北京：科学出版社，2011
（作者单位：黑龙江科技大学理学院 黑龙江哈尔滨 150022；作者简介：王新霞，黑龙江科技大学理学院讲师，硕士，研究方向：模糊逻辑。）
（责编：贾伟）
关键词：经济数学 分段函数 案例教学
中图分类号：F224 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2015）02-262-02
一、引言
经济数学研究各种不同的函数，分段函数也是其中重要的一类。分段函数，作为一种十分特殊的函数，是指在定义域的不同部分，对应法则由不同的算式来表达的函数。当代的大学生，对分段函数并不陌生，因为中考试题中有关于分段函数图像的应用题（如哈尔滨市历年中考试题选择题的第十题），而全国各地的高考试题，更是以选择题或者填空题的形式，考查高考生讨论分段函数的单调性、周期性，求分段函数的零点，求分段函数的最值，解分段方程，或解分段不等式的能力，有的考题还涉及到含参数的分段函数。
而分段函数作为经济数学中的一类重要函数，对于经管类大学本科学生，其突出的意义与作用在于：通过讨论分段函数在分段点处的极限、连续性、可导性、可微性，讨论分段函数的不定积分、定积分等，促进和加深对极限、连续、导数、微分、不定积分（原函数）、定积分等概念及其相互关系的理解。分段函数在分段点处的解析性质是经济数学课程的教学难点，学生头脑中分段函数知识脉络的建构，是随着微积分教学进程的推进，由师生共同努力而逐步完成的，当然，学生是建构过程的主体。根据笔者对近两年来所教授的来自全国12个省、1个自治区、2个直辖市的240余名学生的调查发现，对于分段函数，学生们的困惑主要体现在以下两个方面：一是如何讨论分段点处的可导性、可积性，二是分段函数在生产生活实践中到底有什么用。前者对于高动机水平的学生不构成认知障碍，而后者是几乎所有学生关心而又茫然的问题。对于前者，广大奋战在教学一线的同仁们已有诸多探讨，本文仅以后者为主题，探讨分段函数的案例教学，以期使学生理解分段函数它来自何方，又将去向何处。
二、案例教学
（一）案例教学的内涵
对于案例教学，不同的教育工作者给出了不同的定义，不一而足。笔者认为，经济数学的案例教学，是指教师以案例为基本素材，创设（问题）情境，通过师生、生生间多向互动，激发学生有意义的学习，使其加深对基本原理和概念的理解，以达到建构知识与提高分析、解决问题能力的目的的一种特定的教学方法，是一种理论与实际有机切合的重要教学形式。
（二）案例应用方式分类
依据案例在经济数学概念（原理）教学过程中应用的方式和出现的位置，可将其分为以下四类。
1.概念（原理）前案例。在进入教学主题之前，先引入若干简单、特殊的案例，然后以不完全归纳的形式呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）前案例教学。概念（原理）前案例数量以二三为宜。如：在导数（边际）定义前引入变速直线运动物体的速度问题、曲线在一点处的切线的斜率问题，在定积分定义前引入曲边梯形的面积问题等。
2.概念（原理）中案例。通过引入贴合教学主题、难度适中的案例，随剖析随呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）中案例教学。经济数学中的弹性概念适合概念（原理）中案例教学。
3.概念（原理）后案例。在呈现概念（原理）后，再抛出相对较难的案例，以演绎的形式再现或者应用概念（原理），以加深学习者对概念（原理）的理解、内化、迁移能力的教学方式称为概念（原理）后案例教学。概念（原理）后案例涉及的知识面比较广，难度较大，可以分为课上、课下两部分实施。课上以教师为主导，课下以作业的形式，促使有兴趣的学生翻阅资料钻研探索，锻炼其分析综合、解决问题的能力。概念（原理）后案例教学具有普适性。
4.前后呼应式案例。在进入教学主题之前，先抛出案例题干激发学生的学习兴趣，而后呈现概念（原理），最后剖析案例，应用概念（原理）解决案例的教学方式称为前后呼应式案例教学。前后呼应式案例教学适合于复杂概念（原理），如微分方程理论、差分方程理论、级数理论等。
三、分段函数的案例教学
（一）分段函数的概念前案例
（二）分段函数的概念后案例
四、总结
数学到底有什么用？这是学习者——尤其是高动机水平的学生所热切关心的问题。经济数学的案例教学以案例为基本素材，以遒劲有力的笔触向学生点画出作为科学之王的数学在生产生活实践中的用武之地。快递收费问题、邮资问题，以及薪金所得税案例、出租车收费案例，联袂证明了分段函数不是一只无魂无魄的木偶，而是一只有血有肉的精灵。
[基金项目：黑龙江省高等教育教学改革项目（项目编号：JG2013010493）；黑龙江省高等教育学会“十二五”高等教育科研项目（项目编号：14G106）；黑龙江科技大学教学研究项目（高等数学的专业案例教学法研究）；黑龙江科技大学教学研究项目（项目编号：JY14-133）]
参考文献：
[1] 蔡瑾.浅谈高等数学一元微积分中的分段函数[J].长春理工大学学报，2013（2）
[2] 同济大学应用数学系.微积分（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003
[3] 杨耀南.2013年中考试题中的分段函数图像应用题研究[J].数学学习，2014（2）
[4] 景宝洪.例谈分段函数在高考中的四个考查方向[J].上海中学数学，2014（1-2）
[5] 曹宗明.一道分段函数的周期性问题的几种常见错解辨析[J].中学数学研究，2013（5）
[6] 李嘉.关于《高等数学》中分段函数性质的教学探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2014（10）
[7] 鲍培文.分段函数的微积分典型问题例析[J].当代教育理论与实践，2013（9）
[8] 赖莉飞.以案例教学法为特色的大学物理课程教学模式的探析[J].宁波教育学院学报，2009（12）
[9] 苏洪雨，江雪萍.高等数学案例教学的实践与探究[J].高等理科教育，2009（3）
[10] 刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010（3）
[11] 王春，王新霞，孙秀娟.案例式教学法在经济数学中的应用[J].高师理科学刊，2013（1）
[12] 母丽华，周永芳.数学建模[M].北京：科学出版社，2011
（作者单位：黑龙江科技大学理学院 黑龙江哈尔滨 150022；作者简介：王新霞，黑龙江科技大学理学院讲师，硕士，研究方向：模糊逻辑。）
（责编：贾伟）