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已经有许多文章都认为数学开放题有利于培养发散性思维能力或创新能力。但都很少从理论上深入探讨。为了深入探讨这一问题，我们先回顾一下吉尔福特的创造性能力结构。吉尔福特认为从运演维度看，创造性能力分为：评价、辐合性加工、发散性加工、记忆、认知。本文将从运演这一维度深入探讨运用数学开放题、培养学生创造性能力这一基本问题。
一、数学开放题能够培养“发散性加工”能力。
无论是吉尔福特还是申克一丹齐格都强调指出：以追求多种答案和解决方法为特征的发散性认识加工能力就是一种创造性能力，后者更强调在最小信息量或信息不完备、不充分的前提下能产生新的观念是创造力强的标志。而数学开放题正具有条件不完备、答案不唯一、思维具有发散性、求解方法具有发散性等特点。这些特点与创造性能力结构中的主要元素——“发散性加工”完全一致。
吉尔福特在论述各种创造性能力的培养以及在测试各种创造性能力时，就常常采用我们现在称为数学开放题的一类问题。如在“符号关系发散性加工”能力的测试中，他就采用了这样的题目：“人们可以用多种方法从数字2出发得出数字6，请试之”。答案有：，，，……。
又如，吉尔福特在“符号系统发散性加工”的测试题中，有这样一题：“约翰把他2美元的零用钱，全花在买口香糖、铅笔和水果糖上，口香糖每盒10美分，铅笔每盒20美分，水果糖每盒30美分，他用这2美元可以有多少种不同的方式来购买上述东西？在每一种组合中，每样东西可以买多少？请写出一些组合。”
这是一道典型的严格意义上的数学开放题。每一种组合就是这个问题的一个正确答案：
再如，他用开放性问题“给出两个等式和，由这两个等式可得出哪些等式？”来检测“符号涵义发散性加工”，这个问题的答案显然也不是唯一。吉尔福特在很多情况下都是用“数学开放题”来测验被试者的创造性能力，他的开创新研究，充分表明了数学开放题在培养“发散性加工”能力中具有重要的、不可替代的作用。
二、利用数学开放题可以培养各种“评价”能力。
数学开放题不只是对训练各种“发散性加工能力”有效，对训练各种“评价”能力也十分有效。因为，在“发散性加工”这一概念中，重视的是观念的数量，而并不关注观念的质量，但是一般来说，当提出种种可供选择的观念时，其实也增加了产生某些高质量观念的可能性。识别哪些观念是好观念，这就是创造性能力结构中的另一项功能——“评价”的问题。对于一个数学开放题在训练发散性加工能力的基础上，进一步训练相应的评价能力实际上是事半功倍的事。我们以传统的“钟面问题”为例来论证这一观点。
钟面问题：“钟面上有1，2，3，……，12共12个数字，请在某些数的前面添加负号，使钟面上所有数字之和为零。”
学生在解答此题时，往往从尝试开始，如：，不为零。然后作出调整，写出一个正确的答案。重复上述尝试过程，会得到更多的答案，若对每一尝试与正确答案进行评价，学生在寻找正确答案的过程中，可能会领悟出问题的规律。如：（1）应添负号的各数之和为39，剩下的数之和也为39。（2）每一解都有对偶解，或添法成对出现。（3）添负号的数至少要有4个，最多是8个，等等。这些规律正是被评价出的特别优秀的观念。
更为重要的是评价具有自我纠正信息项目的作用。在解决问题的过程中，解决者正是在解决问题的每一个阶段的不断评价中，才能保证自己始终朝着富有成效的方向前进。
三、数学开放题能够训练创造力的流畅性、灵活性等个性特征。
发散性加工领域里的每一种功能，都与思维的流畅性有关。思维的流畅性是指在其它条件相同的情况下，在单位时间内能迅速形成大量观念的特性。发散性加工的每一种功能，都与思维的流畅性密切相关。因此，在训练发散性加工能力的同时，思维的流畅性也必然能得到训练。仍用“钟面问题”进行的众多实验结果[2]显示为例，研究者把初一学生以农村普通中学、一般城镇中学、省重点中学分为三类。对未接触过数学开放题的学生，各类被试者平均每分钟得到的解答数分别为0.18个、0.525个、1.17个。对接受过数学开放题训练的三类学生在解答此题时，每组被试者每分钟得到的解答数量分别为0.35个、1.2个、2.3个。这就是说，接受过数学开放题训练的学生比没有接受过训练的同年级学生在单位时间内得到的数量明显增加。这种比较实验的结果表明，数学开放题对于思维流畅性的提高确实有帮助。流畅性是创造力的个性特征，它包括形象的流畅性、理解的流畅性、思维的流畅性、联想的流畅性、表达的流畅性。它和灵活性、分析能力、综合能力、思维强度、洞察力等一起构成创造力的个性特征。灵活性能够摆脱惯性、克服思维定势。
例如开放题“火柴问题”就是训练和检测思维灵活性的好题。如图1：“移去5根火柴，留下三个完整的正方形”。
图1 图2 图3
测验表明，灵活性程度不高的被试者只能得到图2的图形，而灵活性程度较高的被试者，则能得到图2、图3等很多不同的图形。他们的思维突破了“三个完整的正方形”一定是图2所示图形的定势。顺便指出，如果把问题稍作改变，通过移去不同数目的火柴或留下不同数目的正方形，还可成为训练创造能力结构的“视觉转化发散性”能力的好题。
四、 数学开放题能促进学生发展认知、记忆能力。
数学开放题的解决，离不开数学基础知识的学习，对有关概念、解题方法的认知、记忆是解决数学开放题的基础。反之，数学开放题的解决又促使解题者加深对相关知识的认知、理解并加深记忆。按照信息加工心理学的观点，知识分为陈述性知识和程序性知识[3]，数学开放题的解决首先取决于陈述性知识的掌握，反过来，由于数学开放题具有多个正确答案，在解题过程中要求从不同的角度去探索，去寻求不同解题途径和策略。这又加深了对程序性知识的理解。进一步地，由于开放题解决过程不是学生在教师讲授灌输下的被动接受过程，而是学生对程序性知识的主动建构过程。他们在不同答案探索和不同解题方法、策略的寻找过程中积累经验，不断总结反省，主动建构数学概念和程序性知识，必然更有效地发展了学生的认知能力。
由上面的论述我们可以看到，在智力结构模型中，从运演角度去看，除了辐合性加工能力之外，其它能力，诸如发散性加工、评价、认知、记忆能力以及创造性能力个性特征中的灵活性和流畅性等，都可以用数学开放题进行训练和培养。
参考文献
[1] J·P·吉尔福特、施良方等译.创造性才能.北京人民教育出版社，1991
[2] 戴再平.一组数学开放型题的试验与分析.数学教育学报
[3] 邵瑞珍.教育心理学.上海教育出版社，1997.6
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收稿日期：2013-07-15
一、数学开放题能够培养“发散性加工”能力。
无论是吉尔福特还是申克一丹齐格都强调指出：以追求多种答案和解决方法为特征的发散性认识加工能力就是一种创造性能力，后者更强调在最小信息量或信息不完备、不充分的前提下能产生新的观念是创造力强的标志。而数学开放题正具有条件不完备、答案不唯一、思维具有发散性、求解方法具有发散性等特点。这些特点与创造性能力结构中的主要元素——“发散性加工”完全一致。
吉尔福特在论述各种创造性能力的培养以及在测试各种创造性能力时，就常常采用我们现在称为数学开放题的一类问题。如在“符号关系发散性加工”能力的测试中，他就采用了这样的题目：“人们可以用多种方法从数字2出发得出数字6，请试之”。答案有：，，，……。
又如，吉尔福特在“符号系统发散性加工”的测试题中，有这样一题：“约翰把他2美元的零用钱，全花在买口香糖、铅笔和水果糖上，口香糖每盒10美分，铅笔每盒20美分，水果糖每盒30美分，他用这2美元可以有多少种不同的方式来购买上述东西？在每一种组合中，每样东西可以买多少？请写出一些组合。”
这是一道典型的严格意义上的数学开放题。每一种组合就是这个问题的一个正确答案：
再如，他用开放性问题“给出两个等式和，由这两个等式可得出哪些等式？”来检测“符号涵义发散性加工”，这个问题的答案显然也不是唯一。吉尔福特在很多情况下都是用“数学开放题”来测验被试者的创造性能力，他的开创新研究，充分表明了数学开放题在培养“发散性加工”能力中具有重要的、不可替代的作用。
二、利用数学开放题可以培养各种“评价”能力。
数学开放题不只是对训练各种“发散性加工能力”有效，对训练各种“评价”能力也十分有效。因为，在“发散性加工”这一概念中，重视的是观念的数量，而并不关注观念的质量，但是一般来说，当提出种种可供选择的观念时，其实也增加了产生某些高质量观念的可能性。识别哪些观念是好观念，这就是创造性能力结构中的另一项功能——“评价”的问题。对于一个数学开放题在训练发散性加工能力的基础上，进一步训练相应的评价能力实际上是事半功倍的事。我们以传统的“钟面问题”为例来论证这一观点。
钟面问题：“钟面上有1，2，3，……，12共12个数字，请在某些数的前面添加负号，使钟面上所有数字之和为零。”
学生在解答此题时，往往从尝试开始，如：，不为零。然后作出调整，写出一个正确的答案。重复上述尝试过程，会得到更多的答案，若对每一尝试与正确答案进行评价，学生在寻找正确答案的过程中，可能会领悟出问题的规律。如：（1）应添负号的各数之和为39，剩下的数之和也为39。（2）每一解都有对偶解，或添法成对出现。（3）添负号的数至少要有4个，最多是8个，等等。这些规律正是被评价出的特别优秀的观念。
更为重要的是评价具有自我纠正信息项目的作用。在解决问题的过程中，解决者正是在解决问题的每一个阶段的不断评价中，才能保证自己始终朝着富有成效的方向前进。
三、数学开放题能够训练创造力的流畅性、灵活性等个性特征。
发散性加工领域里的每一种功能，都与思维的流畅性有关。思维的流畅性是指在其它条件相同的情况下，在单位时间内能迅速形成大量观念的特性。发散性加工的每一种功能，都与思维的流畅性密切相关。因此，在训练发散性加工能力的同时，思维的流畅性也必然能得到训练。仍用“钟面问题”进行的众多实验结果[2]显示为例，研究者把初一学生以农村普通中学、一般城镇中学、省重点中学分为三类。对未接触过数学开放题的学生，各类被试者平均每分钟得到的解答数分别为0.18个、0.525个、1.17个。对接受过数学开放题训练的三类学生在解答此题时，每组被试者每分钟得到的解答数量分别为0.35个、1.2个、2.3个。这就是说，接受过数学开放题训练的学生比没有接受过训练的同年级学生在单位时间内得到的数量明显增加。这种比较实验的结果表明，数学开放题对于思维流畅性的提高确实有帮助。流畅性是创造力的个性特征，它包括形象的流畅性、理解的流畅性、思维的流畅性、联想的流畅性、表达的流畅性。它和灵活性、分析能力、综合能力、思维强度、洞察力等一起构成创造力的个性特征。灵活性能够摆脱惯性、克服思维定势。
例如开放题“火柴问题”就是训练和检测思维灵活性的好题。如图1：“移去5根火柴，留下三个完整的正方形”。
图1 图2 图3
测验表明，灵活性程度不高的被试者只能得到图2的图形，而灵活性程度较高的被试者，则能得到图2、图3等很多不同的图形。他们的思维突破了“三个完整的正方形”一定是图2所示图形的定势。顺便指出，如果把问题稍作改变，通过移去不同数目的火柴或留下不同数目的正方形，还可成为训练创造能力结构的“视觉转化发散性”能力的好题。
四、 数学开放题能促进学生发展认知、记忆能力。
数学开放题的解决，离不开数学基础知识的学习，对有关概念、解题方法的认知、记忆是解决数学开放题的基础。反之，数学开放题的解决又促使解题者加深对相关知识的认知、理解并加深记忆。按照信息加工心理学的观点，知识分为陈述性知识和程序性知识[3]，数学开放题的解决首先取决于陈述性知识的掌握，反过来，由于数学开放题具有多个正确答案，在解题过程中要求从不同的角度去探索，去寻求不同解题途径和策略。这又加深了对程序性知识的理解。进一步地，由于开放题解决过程不是学生在教师讲授灌输下的被动接受过程，而是学生对程序性知识的主动建构过程。他们在不同答案探索和不同解题方法、策略的寻找过程中积累经验，不断总结反省，主动建构数学概念和程序性知识，必然更有效地发展了学生的认知能力。
由上面的论述我们可以看到，在智力结构模型中，从运演角度去看，除了辐合性加工能力之外，其它能力，诸如发散性加工、评价、认知、记忆能力以及创造性能力个性特征中的灵活性和流畅性等，都可以用数学开放题进行训练和培养。
参考文献
[1] J·P·吉尔福特、施良方等译.创造性才能.北京人民教育出版社，1991
[2] 戴再平.一组数学开放型题的试验与分析.数学教育学报
[3] 邵瑞珍.教育心理学.上海教育出版社，1997.6
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收稿日期：2013-07-15