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【摘 要】数学一直被称作是科学之王，是一切知识的最高形式。初中数学包含方程、函数、几何等丰富内容，对很多学生来讲，复杂且抽象，学起来很吃力。动点问题是初中数学函数题型中常见的问题，存在一定的难度。在动点问题的学习上，很多学生都有畏难心理，教师在进行相关的教学时，可以把问题拆分为几个小问题，从浅到深，化动为静，使学生逐步掌握动点问题的解决方式。
【关键词】初中数学;动点;解题策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0174-02
动点問题是一类开放性题型，具有较强的灵活性，在解题时需要把握好动点问题的解题思路， 将问题主体拆分成若干个小问题，由浅入深，层层递进，将一切动点问题静点化，通过动中取静和动静互换的方式确定题中变量间的关系、把握运动位置、构建函数关系，以此探寻解决问题的思路和办法。动点问题对培养学生的动态思维具有重要帮助，借助该思维方式，学生可以有效地解决数学中的类似问题，提升分析和解决问题的能力。
1 明确问题中变量与不变量之间的关系
动点问题的解决需要借助空间想象力，学生要想象问题中的动点，在“动”中求“静”，教师要在课堂上给学生演示，让学生理解变量和不变量之间的关系[1]。在解决动点问题时，学生需要找出条件中变量与不变量之间的关系，确定图形运动中变量与不变量之间的关系，从而找到有效的解决方法。明确问题中的变量和不变量关系的解题方法，可以让学生迅速在脑海进行解决问题的构想，选择适合解决问题的方法，从而有效地提高解题的正确率。
2 构建图形中变量的函数关系
很多解题方法是通过动点运动轨迹来解题，如一只蚂蚁从点出发，均匀绕扇形的一端一周，蚂蚁爬行的时间为，蚂蚁到点的距离为，计算的函数图象。分析：→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随着爬行时间的增加而增加;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离几乎不变;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随爬行时间的增大而缩小。用这种思维方式思考问题可以解答很多相似的题，如移动点和点、点组成的的形状面积如何变化？
3 二次函数的动点问题
在中学数学中，二次函数的动点问题难度较大，很多学生在学习过程中遇到颇多困难。通过一个动点，将几何图形与二次函数有机结合，解这类题需要具有严谨的逻辑思维和较强的理解能力[2]。充分把握二次函数的动点知识，既能让已学知识得到有效巩固，还能提高思维能力，提高答题的准确率。数学是一门抽象且复杂的学科，不仅需要学生具有强大的空间、逻辑思维，还要求学生全面提高对数学知识的理解能力及数学计算能力。然而，部分学生并没有很好地掌握该知识点，也不能熟练地运用这个知识点，这就需要教师提高课堂质量，让学生在学习二次函数的动点问题的时候不那么困难。另外，教师的单一教学方式也是问题之一，数学的灵活性很强，很多数学题都有不同的解法，部分教师在上课时不仅缺乏多种方法，还缺乏引导学生去探索另一种解法的鼓励。要想提高学生的数学能力，教师就要进行多元化教学，培养学生的多种解题思维。在学习动点的时候，学生需要努力，教师也需要努力，应该激发学生的积极性，让学生有勇气面对动点难题，提高学习效率。
4 把握运动中的特殊位置
在利用动点求一个值或者一个图形时，学生应该注意动点运动的位置和规律，把运动轨迹连接起来，捕捉图形运动变化所隐藏的静态瞬间，将一般的问题特殊化，寻求动与静的内在关系。在动点问题上，就像探索二次函数的性质一样，为了说明这部分的知识，传统的教法是这样的：首先取5个以上的动点，在练习本上画图象，然后研究二次函数的性质。在新教材中，可调整这里的部分知识，有效地融合几何画板和数学教学，在教室里进行二次函数图象的几何画板授课[3]。
5 动点问题的解题策略与措施
5.1 灵活运用知识点，探索多种解题方法
数学问题的魅力在于其没有一种固定的解题思路，教师在教学中必须改变固有的思考方式，采取多元化的教学方法，明确地反映客观事实，帮助学生迅速、有效地理解其中的知识点。如果一板一眼地上课，学生迟早会感到厌倦。如针对初中函数的常见问题：如何把二次函数的图象移动到的图象的位置？看到问题后可以先作图，然后根据“左加右减”的法则，将向左平移2个单位变成，再根据“上增下减”的法则，将“+2”变为“-3”，必须将整个函数的图象向下平移5个单位。所以，答案是先向左移动2个单位，再往下移动5个单位。通过从不同角度思考问题来锻炼思维。
5.2 联系生活用辅助工具解题
生活中，有很多常见的东西可以让人联想到动点，利用生活中的事物辅助学生答题，能够让学生更加容易理解。对此，教师应在上课前做好充足准备，选用更加生活化的题，在准备教案时考虑学生的特性，使其掌握二次函数动点问题的整体内容。另外，教师也可以在课堂中将数学知识与生活联系，帮助学生更加形象地理解函数。如与几何图形结合，让学生更加直观地看到动点移动的轨迹，更加直观、方便地找出其中的数学规律，从而有效地完成解答。
5.3 引导探究，化复杂为简单
函数本身是很难理解的，在教授二次函数问题时，教师要尽量选择科学、恰当、通俗易懂的授课方式，简单、直观地教授学生。如在教授函数知识时，教师可以先把一条直线上两点之间的距离用代替，把复杂的坐标用数字标出来，方便学生直观理解，然后列举出一些组数值（注意选择简单、有特点的数值），让学生看到函数值的变化。如是二次函数的一般式，是带有二次函数根的表达式。教师可以利用不同的教授方法，引导学生掌握多种多样的思考方法，提高解题能力。 6 动点问题的解法
在初中数学学习中，经常会遇到题目中有这样一句话“加上，沿着某条线运动”，这样的问题叫做“动点问题”。动点问题与一般的几何问题不同，其图形形状会随着动点的运动发生变化。学生在遇到这样的问题时经常在两个地方出问题：一是不知道问题是什么;二是无法理解题目的意思。那么，要怎样避免这样的问题呢？在这里，笔者分享一下关于动点的学习经验。如题：在直角梯形中，、B=90°、=16cm、=6 cm、=24 cm，动点从点开始沿边向点以1 cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以4 cm/s的速度运动，若、分别从点、同时出发，当其中一点达到端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为秒。
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）四边形有可能是菱形吗？
（3）当为何值时，四边形是直角梯形？
（4）是否存在，使得四边形是等腰梯形？
针对这个例题，按照上述步骤进行尝试。
解析：
（1）点和点为动点，剩下的点为定点。点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是1 cm/s;点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是4 cm/s。可以看到两个点中，点的速度很快。另外，这里需要特别注意，点从移动到需要16秒，点从移到只需要6秒。条件是“其中一点到达终点后，另一個要点就是停止运动”，所以，题中总共的运动时间最多是6秒。
（2）表示线段。运动时间为时，=、=4、=16-、=24-4、=6、=10。
（3）列方程式。这里利用几何图形本身的性质，找出其中的等量关系，排列公式。
等边：=16-=4=3.2。
菱形：四边相等，===，即=3.2，所以=12.8，但==10，矛盾，故不可能形成
菱形。
直角梯形：根据四边形为矩形，矩形的对边也相等，得==24-4，即=4.8。
等腰梯形：等腰梯形的高度，基于两个三角形的联合。分别过点、做边上的垂线，垂足分别为、
，=-（24-4）=24-16=6。检验结果，发现结果超过了6，去除。所以，不能形成等腰梯形。
综上所述，对于初中数学中的动点问题，教师需要研讨出更多的方法，引领学生主动探索和研究，使学生多接触和了解一些动点题型，积累经验，这样在解题的时候，学生才可能想出更多的解答方法。教师也要多锻炼学生从不同角度、维度思考问题的习惯，提高其举一反三的学习能力，促进其数学学习能力的提高。
【参考文献】
[1]陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析[J].课程教育研究，2018（6）.
[2]杨道林.初中数学动点问题解析与思路探讨[J].新校园（中旬），2016（5）.
[3]张小娟.以“静”制“动”——初中数学中的动点问题分析[J].数理化解题研究，2020（11）.
【关键词】初中数学;动点;解题策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0174-02
动点問题是一类开放性题型，具有较强的灵活性，在解题时需要把握好动点问题的解题思路， 将问题主体拆分成若干个小问题，由浅入深，层层递进，将一切动点问题静点化，通过动中取静和动静互换的方式确定题中变量间的关系、把握运动位置、构建函数关系，以此探寻解决问题的思路和办法。动点问题对培养学生的动态思维具有重要帮助，借助该思维方式，学生可以有效地解决数学中的类似问题，提升分析和解决问题的能力。
1 明确问题中变量与不变量之间的关系
动点问题的解决需要借助空间想象力，学生要想象问题中的动点，在“动”中求“静”，教师要在课堂上给学生演示，让学生理解变量和不变量之间的关系[1]。在解决动点问题时，学生需要找出条件中变量与不变量之间的关系，确定图形运动中变量与不变量之间的关系，从而找到有效的解决方法。明确问题中的变量和不变量关系的解题方法，可以让学生迅速在脑海进行解决问题的构想，选择适合解决问题的方法，从而有效地提高解题的正确率。
2 构建图形中变量的函数关系
很多解题方法是通过动点运动轨迹来解题，如一只蚂蚁从点出发，均匀绕扇形的一端一周，蚂蚁爬行的时间为，蚂蚁到点的距离为，计算的函数图象。分析：→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随着爬行时间的增加而增加;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离几乎不变;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随爬行时间的增大而缩小。用这种思维方式思考问题可以解答很多相似的题，如移动点和点、点组成的的形状面积如何变化？
3 二次函数的动点问题
在中学数学中，二次函数的动点问题难度较大，很多学生在学习过程中遇到颇多困难。通过一个动点，将几何图形与二次函数有机结合，解这类题需要具有严谨的逻辑思维和较强的理解能力[2]。充分把握二次函数的动点知识，既能让已学知识得到有效巩固，还能提高思维能力，提高答题的准确率。数学是一门抽象且复杂的学科，不仅需要学生具有强大的空间、逻辑思维，还要求学生全面提高对数学知识的理解能力及数学计算能力。然而，部分学生并没有很好地掌握该知识点，也不能熟练地运用这个知识点，这就需要教师提高课堂质量，让学生在学习二次函数的动点问题的时候不那么困难。另外，教师的单一教学方式也是问题之一，数学的灵活性很强，很多数学题都有不同的解法，部分教师在上课时不仅缺乏多种方法，还缺乏引导学生去探索另一种解法的鼓励。要想提高学生的数学能力，教师就要进行多元化教学，培养学生的多种解题思维。在学习动点的时候，学生需要努力，教师也需要努力，应该激发学生的积极性，让学生有勇气面对动点难题，提高学习效率。
4 把握运动中的特殊位置
在利用动点求一个值或者一个图形时，学生应该注意动点运动的位置和规律，把运动轨迹连接起来，捕捉图形运动变化所隐藏的静态瞬间，将一般的问题特殊化，寻求动与静的内在关系。在动点问题上，就像探索二次函数的性质一样，为了说明这部分的知识，传统的教法是这样的：首先取5个以上的动点，在练习本上画图象，然后研究二次函数的性质。在新教材中，可调整这里的部分知识，有效地融合几何画板和数学教学，在教室里进行二次函数图象的几何画板授课[3]。
5 动点问题的解题策略与措施
5.1 灵活运用知识点，探索多种解题方法
数学问题的魅力在于其没有一种固定的解题思路，教师在教学中必须改变固有的思考方式，采取多元化的教学方法，明确地反映客观事实，帮助学生迅速、有效地理解其中的知识点。如果一板一眼地上课，学生迟早会感到厌倦。如针对初中函数的常见问题：如何把二次函数的图象移动到的图象的位置？看到问题后可以先作图，然后根据“左加右减”的法则，将向左平移2个单位变成，再根据“上增下减”的法则，将“+2”变为“-3”，必须将整个函数的图象向下平移5个单位。所以，答案是先向左移动2个单位，再往下移动5个单位。通过从不同角度思考问题来锻炼思维。
5.2 联系生活用辅助工具解题
生活中，有很多常见的东西可以让人联想到动点，利用生活中的事物辅助学生答题，能够让学生更加容易理解。对此，教师应在上课前做好充足准备，选用更加生活化的题，在准备教案时考虑学生的特性，使其掌握二次函数动点问题的整体内容。另外，教师也可以在课堂中将数学知识与生活联系，帮助学生更加形象地理解函数。如与几何图形结合，让学生更加直观地看到动点移动的轨迹，更加直观、方便地找出其中的数学规律，从而有效地完成解答。
5.3 引导探究，化复杂为简单
函数本身是很难理解的，在教授二次函数问题时，教师要尽量选择科学、恰当、通俗易懂的授课方式，简单、直观地教授学生。如在教授函数知识时，教师可以先把一条直线上两点之间的距离用代替，把复杂的坐标用数字标出来，方便学生直观理解，然后列举出一些组数值（注意选择简单、有特点的数值），让学生看到函数值的变化。如是二次函数的一般式，是带有二次函数根的表达式。教师可以利用不同的教授方法，引导学生掌握多种多样的思考方法，提高解题能力。 6 动点问题的解法
在初中数学学习中，经常会遇到题目中有这样一句话“加上，沿着某条线运动”，这样的问题叫做“动点问题”。动点问题与一般的几何问题不同，其图形形状会随着动点的运动发生变化。学生在遇到这样的问题时经常在两个地方出问题：一是不知道问题是什么;二是无法理解题目的意思。那么，要怎样避免这样的问题呢？在这里，笔者分享一下关于动点的学习经验。如题：在直角梯形中，、B=90°、=16cm、=6 cm、=24 cm，动点从点开始沿边向点以1 cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以4 cm/s的速度运动，若、分别从点、同时出发，当其中一点达到端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为秒。
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）四边形有可能是菱形吗？
（3）当为何值时，四边形是直角梯形？
（4）是否存在，使得四边形是等腰梯形？
针对这个例题，按照上述步骤进行尝试。
解析：
（1）点和点为动点，剩下的点为定点。点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是1 cm/s;点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是4 cm/s。可以看到两个点中，点的速度很快。另外，这里需要特别注意，点从移动到需要16秒，点从移到只需要6秒。条件是“其中一点到达终点后，另一個要点就是停止运动”，所以，题中总共的运动时间最多是6秒。
（2）表示线段。运动时间为时，=、=4、=16-、=24-4、=6、=10。
（3）列方程式。这里利用几何图形本身的性质，找出其中的等量关系，排列公式。
等边：=16-=4=3.2。
菱形：四边相等，===，即=3.2，所以=12.8，但==10，矛盾，故不可能形成
菱形。
直角梯形：根据四边形为矩形，矩形的对边也相等，得==24-4，即=4.8。
等腰梯形：等腰梯形的高度，基于两个三角形的联合。分别过点、做边上的垂线，垂足分别为、
，=-（24-4）=24-16=6。检验结果，发现结果超过了6，去除。所以，不能形成等腰梯形。
综上所述，对于初中数学中的动点问题，教师需要研讨出更多的方法，引领学生主动探索和研究，使学生多接触和了解一些动点题型，积累经验，这样在解题的时候，学生才可能想出更多的解答方法。教师也要多锻炼学生从不同角度、维度思考问题的习惯，提高其举一反三的学习能力，促进其数学学习能力的提高。
【参考文献】
[1]陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析[J].课程教育研究，2018（6）.
[2]杨道林.初中数学动点问题解析与思路探讨[J].新校园（中旬），2016（5）.
[3]张小娟.以“静”制“动”——初中数学中的动点问题分析[J].数理化解题研究，2020（11）.