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数学课要凸显数学学习的本质，要启发学生思维，培养学生自主探索能力，发展空间想象能力。这些方面怎样落实在课堂教学之中呢？经过实践，笔者认为数学教学要实行三个先后顺序转变，即变“有问先答”为“先探后答”，变“有疑先议”为“存疑后议”，变“先操作后想”为“先想后操作”。这样三个转变能有效提高课堂教学效率，下面加以具体阐述。
一、变“有问先答”为“先探后答”
建构主义学习理论认为，数学学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构知识。这就是说，我们的教学必须建立在学生已有的知识经验基础上，创设条件使新的学习材料与学生原有的认知结构相互作用，让学生主动建构新的数学认知结构。我发现在一些课堂教学中，教师揭示一个问题，往往没有给予学生探索的时间和空间，就急着提出问题，并要求学生回答，这样的结果是优秀学生撑门面，中后进学生坐冷板凳。为了改变这种现状，建议教师采用先探后说的策略，也就是当问题揭示以后，先让学生独立探索问题的答案，然后进行集体交流，修正和完善自己的见解，达成共识。如教学“百分数的意义”时，可以这样变“有问先答”为“先探后答”：
出示问题：学校有60%的学生参加了兴趣小组。
师：这里的60%表示什么意思呢？请你用自己的方法表示出来。
学生探索后展示。
（展示图1）
师：谁来说说这位同学的表示方法。
生：她用100个小圆点代表100个学生，60%就是有60人参加兴趣小组，所以框出60个小圆点。
（展示图2）
师：谁说说这位同学的表示方法。
生：把全校学生人数看成整体“1”，其中60/100参加兴趣小组，就是参加的学生占全校学生人数的百分之六十。
（展示图3）
师：谁说说这位同学表示什么方法。
生：参加兴趣小组的学生占了全校学生人数的6/10，就是百分之六十。
小学数学教学的基本特征就是对知识的认识过程转化为对问题的探究过程。儿童具有好奇、好问、好动的特点，具有探究的天性。这种天性只有通过教师的引导才能转化为对数学探究的热爱和兴趣，在课堂上教师给学生提供丰富的、充足的感性材料，放手让学生动手、动口、动脑，全方位参与教学活动，使学生亲身经历探究知识的过程。
学生已经掌握了分数的意义，这是学习百分数意义的基础。因此，“学校有60%的学生参加了兴趣小组。”这句话的含义，学生会有自己的认识，教师让学生通过画示意图、线段图方法来表示，借助对分数的认识来理解百分数的意义。这样，学生交流讨论有话可说，学习有了思维支撑，对于本来比较抽象的“60%”，通过直观的示意图变得更容易理解了。
总之，面对问题，让学生先探索后回答，能调动其参与的积极性。保证给足探索的时间和空间，经过探索之后，人人都有发言的素材和交流的机会，探索后的回答才会有深度。
二、变“有疑先议”为“存疑后议”
斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段：经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程，也就是数学再创造的过程，以再创造的方式进行数学学习，重视知识的发生发展过程，才能向下一阶段迈进。为此，建议教师在教学中遇到疑难问题时，先不要急于让学生集体讨论解答，而应该让学生在疑难问题之中思考，当思考后欲解不能之时再展开讨论，这时学生便会全身心投入，一旦茅塞顿开，会留下深刻记忆。如在教学“圆的认识”一课时，可以这样变“有疑先议”为“存疑后议”：
师：请同学们画一个同样大小的圆。
（学生有的动手画了，但一会儿又停了下来，随之发出了议论声。）
师：（故作不解）怎么又不画了呢？快画呀！
生1：不行，大家画出来不会同样大。
生2：对，我又不知道别人画的有多大。
师：那怎么办呢？
生1：要规定半径才能画得同样大。
生2：规定直径也可以。
师：那谁来规定一个半径试试。
生：我想规定画一个半径是1厘米的圆。
师：请画一画。
生：（展示）确实是同样大，同桌比较一下也是，大家高兴极了。
面对疑难问题发生思维冲突是激发学生思考的有效手段，上述片段中，教师的高明之处，就是“请同学们画一个同样大小的圆”以后，马上让学生动手画圆。“有的动手画了，但一会儿又停了下来，随之发出了议论声。”课堂教学要的就是这种议论，要的就是这种效果，让学生的认知思维产生冲突。这个时候，教师采用激将法：“（故作不解）怎么又不画了呢？快画呀！”学生的思维被激活，积极参与到讨论之中，得出要统一半径或直径后大家才能画出同样大小的圆。改变了学生为完成任务而机械操作，提升了思维含量，体现了设计的价值。其意义远远超出了解决这个问题本身，学生对于半径（或直径）确定圆的大小有了理解，对于圆的本质认识也更深入。
存疑后议是激发学生面对疑惑独立思考的内在动力。学生在带着疑问不断寻求解决策略的过程中，感受艰辛，体验喜悦，一旦产生顿悟，会把它永远铭记心中，成为永久的财富。
三、变“先操作后想”为“先想后操作”
认知心理学家认为，活动是认知的基础，智慧是从动作开始的。对于小学生来说，最深刻的体验莫过于自己双手实践过的东西。
纵观目前的数学课堂教学，教师都比较重视学生的实践操作，这是值得肯定的。但是，目前较多教师都是先让学生操作实物，然后交流操作的体会。这样降低了操作的思维价值，久而久之，学生的思维依赖于具体形象的实物操作，难以提升到抽象思维。因此，建议采用先想后操作的策略，即在学生需要动手操作之前，先进行想象可能会出现什么形状，交流想法之后，再进行操作验证，这样逐渐培养学生的空间想象能力。如在教学“平行四边形的面积”时，可以这样变“先操作后想”为“先想后操作”：
1．每人准备一个不同的平行四边形，让学生想一想：平行四边形的面积应该怎样计算？
2．反馈：出现两种不同的想法：平行四边形的面积=邻边×邻边；平行四边形的面积=底×高。两种不同的想法在学生中产生了矛盾冲突。
3．引导验证：提供格子图、剪刀等辅助工具，学生自己操作验证算法。反馈不同验证方法：
（1）数格子验证：初步验证平行四边形的面积=邻边×邻边；平行四边形的面积=底×高。哪种计算方法合理？
（2）把平行四边形割补成长方形再验证：重点演示两种割补方法，一种是沿高剪下三角形拼的，另一种是沿任意高剪成梯形拼的，明确正确计算平行四边形面积的方法是平行四边形的面积=底×高。
4．又一次验证确认两种方法哪种合理：让学生拉易变形的平行四边形，知道虽然两条邻边不变，但是随着高的变化，面积会发生变化。
平行四边形的面积是本单元的起始课，转化的思想是推导平行四边形、三角形、梯形等平面图形计算方法的重要思想，具有重要地位。如果掌握了转化的思想和方法，对后续学习具有重要作用。“活动、体验、探索、建构”是再创造的学习过程。教师要为学生创设这样的学习环境，让学生主动探索，建构起知识的轮廓。
教学让人眼前一亮，那就是从不轻易肯定或否定学生可贵的探索发现：先让学生想出不同的计算方法，两种不同的答案出来后，再进行操作验证：首先通过数格子初步验证各自的方法是否合理。接着引导学生把平行四边形割补成长方形验证是否合理，此时此刻，学生虽然已经基本确认“底×高=面积”是正确的，但是教师还是不要忙于下结论，又让学生通过拉易变形的平行四边形来进行验证，使学生心服口服，不仅知道了“邻边×邻边=面积”的方法是不正确的，同时又明白了平行四边形的面积与底和对应高的有关系，使每位学生的认识提高到了一个新的水平。
先想后操作的实质是教育思想和行为的转变，体现了以学生为主的原则，充分信任学生，尊重学生对学习方法的选择，从过程来看课堂气氛是民主的、活泼的、开放的，因此学生的学习兴趣是高涨的，课堂上留给了学生思考的时间和空间，让学生能在想象和操作中解决学习中的问题。这样一来，开放了学习空间，打开了学生思路，培养了空间想象能力，促进了学生思维向深度和广度拓展，有利于形象思维向抽象思维过渡。（作者单位：浙江省桐乡市实验小学）
附：沈坤华：“面积和面积单位”的教学设计
教学内容：课标《数学》教材（人教版）三年级下册第70页。
教学目标：1.理解并掌握面积的概念，初步认识面积单位，建立起1平方分米的概念；2.通过摸一摸、比一比、量一量、想一想等数学活动，培养学生的动手操作能力和初步的空间观念；3.初步培养学生独立思考，善于与人合作交流的良好习惯，逐步形成热爱学习的情感。
教学过程：
一、导入新课
1.同学们，请拿起自己的数学书摸一摸，你摸到了什么？（会摸到哪些面？具体说说）
2.你还能摸到其他物体的面吗？请认真地摸一摸。并体会面的特点。
[设计说明]从摸熟悉的数学书切入，使学生感到亲切自然，充满好奇心，在摸的过程中初步感知物体的面的特点，引发了学生感知其他物体面的积极性。问题：“你还能摸到其他物体的面吗？”诱发学生思考，促使学生带着问题学习。
二、新课展开
1.建构面积概念
（1）摸一摸物体的面（注意摸完整）。
（2）同学们，你们摸到了哪些物体的面呢？反馈、评价。（如果把一个物体所有摸到的面合起来，就是它的表面。）
（3）假如不直接摸，你能想到哪些物体的表面呢？（例如，音箱的表面，电扇开关盒的表面。）
（4）我们摸了、想了那么多的面，你能举例说明这些面有大小吗？
（5）揭示概念：物体表面的大小就是它们的面积。（例如，书本封面的大小就是封面的面积。）
（7）对下列图形进行分类。
①②④⑤号封闭图形的大小是指哪一部分呢？请想一想，再涂上颜色观察。封闭图形的大小是指里面包围的部分。（展示，纠正）
（8）概括：封闭图形的大小是它们的面积。
（9）师生概括完整的面积含义：物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。
[设计说明]面积概念的建立要通过一系列操作活动才能实现。学生通过大量的操作、体验，感受物体的面、表面以及它们的大小。尤其是要求学生不摸物体就进行想象物体的表面，培养了学生的想象力，使初步培养空间观念落到实处。“封闭图形的大小是指哪一部分呢？”“请想一想，再涂上颜色观察”，变“先操作后想”为“先想后操作”，使操作具有针对性和时效性。对封闭图形的面积这个概念，学生往往容易忽视 “封闭”这个问题，通过设置③号图和⑥号图，在对比中，使学生形成清晰的概念。涂一涂的活动，对于学生认识封闭图形的面积起到了积极作用。
2．初步认识面积单位
（1）刚才我们知道了什么是面积。下面请你说说家里正方形饭桌的桌面大约有多大。
（2）你知道家里的房子面积有多大吗？（可能会引出“平方米”——板书。）
（3）度量面积要有统一的单位。关于面积单位，你知道些什么呢？
（4）（出示1平方分米，学具每人一个）这是1平方分米，请量一量边长，是什么图形？摸一摸它是多大的一块？（边长为1分米的正方形的面积与周长的区别。）学生汇报、交流。
（5）边长2分米的正方形面积是多少呢？（学生可能会说2平方分米。）停一下，拿出2个1平方分米的正方形，让学生顿悟。边长为3分米的正方形面积是多少呢？（学生进一步提升认识。）
……
[设计说明]怎样让学生体验统一单位的必要性，有两种不同的做法：一是刻意通过操作活动，牵引出来；一是尊重学生的认知基础，先让学生想一想，再在交流中自然地引出。前者学生被动操作，不知教师的意图，往往效果不佳。后者，从实践来看，这里的尝试是成功的。变“有疑先议”为“存疑后议”，激发了学生探索的欲望。
1平方分米的探索也十分自然、成功，与学生的认识联系紧密。在认识面积单位时，侧重于对1平方分米形状、大小的感悟、体验，“边长2分米的正方形面积是多少？”这个问题具有挑战性，有的学生脱口而出：面积是２平方分米。很显然，这是学生是受了长度单位之间进率关系的负迁移影响，当学生产生矛盾冲突时，变“有问先答”为“先探后答”，先让学生进行探索，教师要求把两个１平方分米的正方形拼在一起，通过观察，学生顿悟，提升认识。不仅加深对1平方分米的理解，更重要的是，有利于学生建构1平方米、1平方厘米的概念以及面积单位之间的进率等。
□责任编辑 孙恭伟
E-mail:jxjymsdh@126.com
一、变“有问先答”为“先探后答”
建构主义学习理论认为，数学学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构知识。这就是说，我们的教学必须建立在学生已有的知识经验基础上，创设条件使新的学习材料与学生原有的认知结构相互作用，让学生主动建构新的数学认知结构。我发现在一些课堂教学中，教师揭示一个问题，往往没有给予学生探索的时间和空间，就急着提出问题，并要求学生回答，这样的结果是优秀学生撑门面，中后进学生坐冷板凳。为了改变这种现状，建议教师采用先探后说的策略，也就是当问题揭示以后，先让学生独立探索问题的答案，然后进行集体交流，修正和完善自己的见解，达成共识。如教学“百分数的意义”时，可以这样变“有问先答”为“先探后答”：
出示问题：学校有60%的学生参加了兴趣小组。
师：这里的60%表示什么意思呢？请你用自己的方法表示出来。
学生探索后展示。
（展示图1）
师：谁来说说这位同学的表示方法。
生：她用100个小圆点代表100个学生，60%就是有60人参加兴趣小组，所以框出60个小圆点。
（展示图2）
师：谁说说这位同学的表示方法。
生：把全校学生人数看成整体“1”，其中60/100参加兴趣小组，就是参加的学生占全校学生人数的百分之六十。
（展示图3）
师：谁说说这位同学表示什么方法。
生：参加兴趣小组的学生占了全校学生人数的6/10，就是百分之六十。
小学数学教学的基本特征就是对知识的认识过程转化为对问题的探究过程。儿童具有好奇、好问、好动的特点，具有探究的天性。这种天性只有通过教师的引导才能转化为对数学探究的热爱和兴趣，在课堂上教师给学生提供丰富的、充足的感性材料，放手让学生动手、动口、动脑，全方位参与教学活动，使学生亲身经历探究知识的过程。
学生已经掌握了分数的意义，这是学习百分数意义的基础。因此，“学校有60%的学生参加了兴趣小组。”这句话的含义，学生会有自己的认识，教师让学生通过画示意图、线段图方法来表示，借助对分数的认识来理解百分数的意义。这样，学生交流讨论有话可说，学习有了思维支撑，对于本来比较抽象的“60%”，通过直观的示意图变得更容易理解了。
总之，面对问题，让学生先探索后回答，能调动其参与的积极性。保证给足探索的时间和空间，经过探索之后，人人都有发言的素材和交流的机会，探索后的回答才会有深度。
二、变“有疑先议”为“存疑后议”
斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段：经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程，也就是数学再创造的过程，以再创造的方式进行数学学习，重视知识的发生发展过程，才能向下一阶段迈进。为此，建议教师在教学中遇到疑难问题时，先不要急于让学生集体讨论解答，而应该让学生在疑难问题之中思考，当思考后欲解不能之时再展开讨论，这时学生便会全身心投入，一旦茅塞顿开，会留下深刻记忆。如在教学“圆的认识”一课时，可以这样变“有疑先议”为“存疑后议”：
师：请同学们画一个同样大小的圆。
（学生有的动手画了，但一会儿又停了下来，随之发出了议论声。）
师：（故作不解）怎么又不画了呢？快画呀！
生1：不行，大家画出来不会同样大。
生2：对，我又不知道别人画的有多大。
师：那怎么办呢？
生1：要规定半径才能画得同样大。
生2：规定直径也可以。
师：那谁来规定一个半径试试。
生：我想规定画一个半径是1厘米的圆。
师：请画一画。
生：（展示）确实是同样大，同桌比较一下也是，大家高兴极了。
面对疑难问题发生思维冲突是激发学生思考的有效手段，上述片段中，教师的高明之处，就是“请同学们画一个同样大小的圆”以后，马上让学生动手画圆。“有的动手画了，但一会儿又停了下来，随之发出了议论声。”课堂教学要的就是这种议论，要的就是这种效果，让学生的认知思维产生冲突。这个时候，教师采用激将法：“（故作不解）怎么又不画了呢？快画呀！”学生的思维被激活，积极参与到讨论之中，得出要统一半径或直径后大家才能画出同样大小的圆。改变了学生为完成任务而机械操作，提升了思维含量，体现了设计的价值。其意义远远超出了解决这个问题本身，学生对于半径（或直径）确定圆的大小有了理解，对于圆的本质认识也更深入。
存疑后议是激发学生面对疑惑独立思考的内在动力。学生在带着疑问不断寻求解决策略的过程中，感受艰辛，体验喜悦，一旦产生顿悟，会把它永远铭记心中，成为永久的财富。
三、变“先操作后想”为“先想后操作”
认知心理学家认为，活动是认知的基础，智慧是从动作开始的。对于小学生来说，最深刻的体验莫过于自己双手实践过的东西。
纵观目前的数学课堂教学，教师都比较重视学生的实践操作，这是值得肯定的。但是，目前较多教师都是先让学生操作实物，然后交流操作的体会。这样降低了操作的思维价值，久而久之，学生的思维依赖于具体形象的实物操作，难以提升到抽象思维。因此，建议采用先想后操作的策略，即在学生需要动手操作之前，先进行想象可能会出现什么形状，交流想法之后，再进行操作验证，这样逐渐培养学生的空间想象能力。如在教学“平行四边形的面积”时，可以这样变“先操作后想”为“先想后操作”：
1．每人准备一个不同的平行四边形，让学生想一想：平行四边形的面积应该怎样计算？
2．反馈：出现两种不同的想法：平行四边形的面积=邻边×邻边；平行四边形的面积=底×高。两种不同的想法在学生中产生了矛盾冲突。
3．引导验证：提供格子图、剪刀等辅助工具，学生自己操作验证算法。反馈不同验证方法：
（1）数格子验证：初步验证平行四边形的面积=邻边×邻边；平行四边形的面积=底×高。哪种计算方法合理？
（2）把平行四边形割补成长方形再验证：重点演示两种割补方法，一种是沿高剪下三角形拼的，另一种是沿任意高剪成梯形拼的，明确正确计算平行四边形面积的方法是平行四边形的面积=底×高。
4．又一次验证确认两种方法哪种合理：让学生拉易变形的平行四边形，知道虽然两条邻边不变，但是随着高的变化，面积会发生变化。
平行四边形的面积是本单元的起始课，转化的思想是推导平行四边形、三角形、梯形等平面图形计算方法的重要思想，具有重要地位。如果掌握了转化的思想和方法，对后续学习具有重要作用。“活动、体验、探索、建构”是再创造的学习过程。教师要为学生创设这样的学习环境，让学生主动探索，建构起知识的轮廓。
教学让人眼前一亮，那就是从不轻易肯定或否定学生可贵的探索发现：先让学生想出不同的计算方法，两种不同的答案出来后，再进行操作验证：首先通过数格子初步验证各自的方法是否合理。接着引导学生把平行四边形割补成长方形验证是否合理，此时此刻，学生虽然已经基本确认“底×高=面积”是正确的，但是教师还是不要忙于下结论，又让学生通过拉易变形的平行四边形来进行验证，使学生心服口服，不仅知道了“邻边×邻边=面积”的方法是不正确的，同时又明白了平行四边形的面积与底和对应高的有关系，使每位学生的认识提高到了一个新的水平。
先想后操作的实质是教育思想和行为的转变，体现了以学生为主的原则，充分信任学生，尊重学生对学习方法的选择，从过程来看课堂气氛是民主的、活泼的、开放的，因此学生的学习兴趣是高涨的，课堂上留给了学生思考的时间和空间，让学生能在想象和操作中解决学习中的问题。这样一来，开放了学习空间，打开了学生思路，培养了空间想象能力，促进了学生思维向深度和广度拓展，有利于形象思维向抽象思维过渡。（作者单位：浙江省桐乡市实验小学）
附：沈坤华：“面积和面积单位”的教学设计
教学内容：课标《数学》教材（人教版）三年级下册第70页。
教学目标：1.理解并掌握面积的概念，初步认识面积单位，建立起1平方分米的概念；2.通过摸一摸、比一比、量一量、想一想等数学活动，培养学生的动手操作能力和初步的空间观念；3.初步培养学生独立思考，善于与人合作交流的良好习惯，逐步形成热爱学习的情感。
教学过程：
一、导入新课
1.同学们，请拿起自己的数学书摸一摸，你摸到了什么？（会摸到哪些面？具体说说）
2.你还能摸到其他物体的面吗？请认真地摸一摸。并体会面的特点。
[设计说明]从摸熟悉的数学书切入，使学生感到亲切自然，充满好奇心，在摸的过程中初步感知物体的面的特点，引发了学生感知其他物体面的积极性。问题：“你还能摸到其他物体的面吗？”诱发学生思考，促使学生带着问题学习。
二、新课展开
1.建构面积概念
（1）摸一摸物体的面（注意摸完整）。
（2）同学们，你们摸到了哪些物体的面呢？反馈、评价。（如果把一个物体所有摸到的面合起来，就是它的表面。）
（3）假如不直接摸，你能想到哪些物体的表面呢？（例如，音箱的表面，电扇开关盒的表面。）
（4）我们摸了、想了那么多的面，你能举例说明这些面有大小吗？
（5）揭示概念：物体表面的大小就是它们的面积。（例如，书本封面的大小就是封面的面积。）
（7）对下列图形进行分类。
①②④⑤号封闭图形的大小是指哪一部分呢？请想一想，再涂上颜色观察。封闭图形的大小是指里面包围的部分。（展示，纠正）
（8）概括：封闭图形的大小是它们的面积。
（9）师生概括完整的面积含义：物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。
[设计说明]面积概念的建立要通过一系列操作活动才能实现。学生通过大量的操作、体验，感受物体的面、表面以及它们的大小。尤其是要求学生不摸物体就进行想象物体的表面，培养了学生的想象力，使初步培养空间观念落到实处。“封闭图形的大小是指哪一部分呢？”“请想一想，再涂上颜色观察”，变“先操作后想”为“先想后操作”，使操作具有针对性和时效性。对封闭图形的面积这个概念，学生往往容易忽视 “封闭”这个问题，通过设置③号图和⑥号图，在对比中，使学生形成清晰的概念。涂一涂的活动，对于学生认识封闭图形的面积起到了积极作用。
2．初步认识面积单位
（1）刚才我们知道了什么是面积。下面请你说说家里正方形饭桌的桌面大约有多大。
（2）你知道家里的房子面积有多大吗？（可能会引出“平方米”——板书。）
（3）度量面积要有统一的单位。关于面积单位，你知道些什么呢？
（4）（出示1平方分米，学具每人一个）这是1平方分米，请量一量边长，是什么图形？摸一摸它是多大的一块？（边长为1分米的正方形的面积与周长的区别。）学生汇报、交流。
（5）边长2分米的正方形面积是多少呢？（学生可能会说2平方分米。）停一下，拿出2个1平方分米的正方形，让学生顿悟。边长为3分米的正方形面积是多少呢？（学生进一步提升认识。）
……
[设计说明]怎样让学生体验统一单位的必要性，有两种不同的做法：一是刻意通过操作活动，牵引出来；一是尊重学生的认知基础，先让学生想一想，再在交流中自然地引出。前者学生被动操作，不知教师的意图，往往效果不佳。后者，从实践来看，这里的尝试是成功的。变“有疑先议”为“存疑后议”，激发了学生探索的欲望。
1平方分米的探索也十分自然、成功，与学生的认识联系紧密。在认识面积单位时，侧重于对1平方分米形状、大小的感悟、体验，“边长2分米的正方形面积是多少？”这个问题具有挑战性，有的学生脱口而出：面积是２平方分米。很显然，这是学生是受了长度单位之间进率关系的负迁移影响，当学生产生矛盾冲突时，变“有问先答”为“先探后答”，先让学生进行探索，教师要求把两个１平方分米的正方形拼在一起，通过观察，学生顿悟，提升认识。不仅加深对1平方分米的理解，更重要的是，有利于学生建构1平方米、1平方厘米的概念以及面积单位之间的进率等。
□责任编辑 孙恭伟
E-mail:jxjymsdh@126.com