论文部分内容阅读
【例题】已知抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3），求抛物线的解析式.
【解析】题目中给出的是一般式，如果将顶点代入顶点坐标公式，将交点（0，3）代入解析式，会得到二元一次方程组，求解过程麻烦，计算量也比较大. 根据顶点坐标为（4，-1），重新设解析式为顶点式y=a（x-4）2-1（a≠0），此时解析式中只含有一个待定系数a，只需将交点（0，3）代入其中，便会得到关于a的一元一次方程，很容易求出a =■，得出所求解析式为y=■（x-4）2-1.
【变式网络】
顶点式对称轴、最值→变式1
对称轴、任意两点→变式2
最高点→变式3
顶点在特殊直线上、对称轴→变式4
变式1 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为-2，且过点（0，1），求此函数的解析式.
【解析】此题条件中的对称轴为x=3，最小值为-2，其实就是告诉我们顶点坐标为（3，-2），将二次函数解析式重新设为y=a （x-3）2-2（a≠0），再代入点（0，1）即可求出a=■，得出所求解析式为y=■（x-3）2-2.
变式2 抛物线的对称轴是x=3，且过点（4，-4）、（-1，2），求此抛物线的解析式.
【解析】此题并没有完全给出顶点坐标，对称轴为x=3. 就是告诉了我们顶点的横坐标为3，同样设顶点式y=a（x-3）2+b （a≠0），代入（4，-4）、（-1，2）这两个点到解析式中，我们只需要解关于a、b的二元一次方程组a+b=-4，16a+b=2.求得a =■，b=-■，得出所求解析式为y=■（x-3）2-■.
变式3 二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点是（-1，-3），求b、c的值.
【解析】解析式中的a为-1，最高点（-1，-3）即为顶点坐标，不需要计算，直接表示出解析式为y=-（x+1）2-3，整理成一般形式，即可得到b、c的值分别为-2和-4.
变式4 二次函数y=ax2+bx+c的顶点在x轴上，对称轴为x=3且经过点（2，-1），求此函数的解析式.
【解析】解析式的顶点在x轴上，即可设为y=a（x-h）2. 又因为对称轴为x=3，则h=3，所以y=a（x-3）2，再代入点（2，-1），即可求得a=-1，从而求得解析式为y=-（x-3）2.
【解析】题目中给出的是一般式，如果将顶点代入顶点坐标公式，将交点（0，3）代入解析式，会得到二元一次方程组，求解过程麻烦，计算量也比较大. 根据顶点坐标为（4，-1），重新设解析式为顶点式y=a（x-4）2-1（a≠0），此时解析式中只含有一个待定系数a，只需将交点（0，3）代入其中，便会得到关于a的一元一次方程，很容易求出a =■，得出所求解析式为y=■（x-4）2-1.
【变式网络】
顶点式对称轴、最值→变式1
对称轴、任意两点→变式2
最高点→变式3
顶点在特殊直线上、对称轴→变式4
变式1 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为-2，且过点（0，1），求此函数的解析式.
【解析】此题条件中的对称轴为x=3，最小值为-2，其实就是告诉我们顶点坐标为（3，-2），将二次函数解析式重新设为y=a （x-3）2-2（a≠0），再代入点（0，1）即可求出a=■，得出所求解析式为y=■（x-3）2-2.
变式2 抛物线的对称轴是x=3，且过点（4，-4）、（-1，2），求此抛物线的解析式.
【解析】此题并没有完全给出顶点坐标，对称轴为x=3. 就是告诉了我们顶点的横坐标为3，同样设顶点式y=a（x-3）2+b （a≠0），代入（4，-4）、（-1，2）这两个点到解析式中，我们只需要解关于a、b的二元一次方程组a+b=-4，16a+b=2.求得a =■，b=-■，得出所求解析式为y=■（x-3）2-■.
变式3 二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点是（-1，-3），求b、c的值.
【解析】解析式中的a为-1，最高点（-1，-3）即为顶点坐标，不需要计算，直接表示出解析式为y=-（x+1）2-3，整理成一般形式，即可得到b、c的值分别为-2和-4.
变式4 二次函数y=ax2+bx+c的顶点在x轴上，对称轴为x=3且经过点（2，-1），求此函数的解析式.
【解析】解析式的顶点在x轴上，即可设为y=a（x-h）2. 又因为对称轴为x=3，则h=3，所以y=a（x-3）2，再代入点（2，-1），即可求得a=-1，从而求得解析式为y=-（x-3）2.