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二次函数是初中数学的重点内容，也是中考的热点，下面就同学们应该掌握的三个重要方面予以举例说明.
一、 运用二次函数的对称性解题
例1 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，点A、B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）.
A. （2，3） B. （3，2）
C. （3，3） D. （4，3）
【评析】根据抛物线的对称性，点B就是点A关于直线x=2对称的点，因而点B的坐标为（4，3）.
例2 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
则m的值为_______.
【评析】本题的常规方法是先代入三个点求出函数解析式，然后取自变量x=4求出m的值. 此方法虽然可行，但有一定的计算量. 如果从该函数图象的对称性入手，可知抛物线的对称轴方程为x=■（1+3）=2. 横坐标为4与0的点恰为一对对称点，∴m的值为-1.
练习1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-2，6）、B（4，6）、C（1，-3），求该函数解析式.
【提示】可以用三点代入法，但考虑到抛物线的对称性也可以模仿上例判断出抛物线顶点为C，改用顶点式求出函数解析式y=x2-2x-2.
二、 判别由系数构成的代数式的符号
例3 右图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分. 图象经过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1. 给出四个结论：①b2>4ac； ②bc<0； ③2a+b=0； ④a+b+c=0. 其中正确的结论是_______.
【评析】学习二次函数时，要能够利用图象判别系数及其代数式的符号. 根据图象的开口方向确定二次项的系数a的符号，开口向下，a<0；根据对称轴的位置确定b的符号，直线x=-■=1>0，又a<0，所以b>0，等式-■=1变形后可知③成立；根据图象与y轴的交点位置确定c的符号，此题图象与y轴交于正半轴，c>0，所以②错误；根据图象与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号，此抛物线与x轴有两个交点（另一个交点延长抛物线即可得），所以b2-4ac>0，故①正确；把横坐标x=1代入y=ax2+bx+c，得y=a+b+c>0，故④错误. 用同样的方法还可以判断一些代数式的符号，如将x=3代入y=ax2+bx+c，得到y=9a+3b+c=0.
练习2 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）. 下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若（-5，y1）、（2，y2）是抛物线上两点，则y1>y2. 其中说法正确的是（ ）.
A. ①② B. ②③
C. ①②④ D. ②③④
【提示】根据图象得出a>0，b=2a>0，c<0，即可判断①②正确；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③错误，求出点（-5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x>-1时，y随x的增大而增大即可判断④正确. 本题答案为C.
三、 构造二次函数解非函数题
例4 已知关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-4=0有两个不等的实数根，且有一根1 【评析】若用求根公式，初中阶段无法解出所列的不等式组. 我们知道二次方程与二次函数有密切的联系，因此可以考虑构造二次函数，借助于抛物线求解.
令y=x2-（k-3）x-4.
∵x1x2=-4<0，1 ∴抛物线图象大致如图，由图象知，当x=1时，对应函数值小于0；当x=2时，对应函数值大于0，即1-（k-3）-4<0，4-2（k-3）-4>0，解得00，∴k的取值范围为0 练习3 已知方程x2+（2m+6）x+2m+4=0有两个实数根，且两个根都小于3，求m的取值范围.
【提示】令y=x2+（2m+6）x+2m+4，抛物线开口向上且与x轴有两个交点. 综合考虑x=3时函数值大于0、x1+x2<6、Δ>0这三个条件可得出m的范围为m>-■.
例5 如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=20，动点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q. 连PQ，M为PQ的中点，MN⊥QC，求线段BM的最小值.
【评析】线段BM的长度与点P的位置有关，若设DP=x，由图形关系可用含x的代数式表示MN和BN，由勾股定理BM2=BN2+MN2，可令y=BM2，重点在于建立y与x的函数关系，利用二次函数的最值求解.
【解答提示】设DP=x，BM2=y，则PC=20-x，易证MN是△PQC的中位线，∴MN=■=■，再由△ABQ∽△ADP，可得BQ=2x，QC=2x+10，QN=■=x+5，∴BN=BQ-QN=x-5，在Rt△BMN中，由勾股定理可得：
y=BM2=MN2+BN2=■2+（x-5）2=■（x-8）2+45.
∴当x=8时，y最小=45，故线段BM最小=■=3■.
练习4 如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AD上，MP⊥BP，求DM的最大值.
【提示】令AP=x，DM=y，易证△PDM∽△BAP，由相似三角形对应边成比例建立y与x之间的函数关系，利用二次函数最值求得线段DM的最大值为1.
一、 运用二次函数的对称性解题
例1 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，点A、B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）.
A. （2，3） B. （3，2）
C. （3，3） D. （4，3）
【评析】根据抛物线的对称性，点B就是点A关于直线x=2对称的点，因而点B的坐标为（4，3）.
例2 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
则m的值为_______.
【评析】本题的常规方法是先代入三个点求出函数解析式，然后取自变量x=4求出m的值. 此方法虽然可行，但有一定的计算量. 如果从该函数图象的对称性入手，可知抛物线的对称轴方程为x=■（1+3）=2. 横坐标为4与0的点恰为一对对称点，∴m的值为-1.
练习1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-2，6）、B（4，6）、C（1，-3），求该函数解析式.
【提示】可以用三点代入法，但考虑到抛物线的对称性也可以模仿上例判断出抛物线顶点为C，改用顶点式求出函数解析式y=x2-2x-2.
二、 判别由系数构成的代数式的符号
例3 右图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分. 图象经过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1. 给出四个结论：①b2>4ac； ②bc<0； ③2a+b=0； ④a+b+c=0. 其中正确的结论是_______.
【评析】学习二次函数时，要能够利用图象判别系数及其代数式的符号. 根据图象的开口方向确定二次项的系数a的符号，开口向下，a<0；根据对称轴的位置确定b的符号，直线x=-■=1>0，又a<0，所以b>0，等式-■=1变形后可知③成立；根据图象与y轴的交点位置确定c的符号，此题图象与y轴交于正半轴，c>0，所以②错误；根据图象与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号，此抛物线与x轴有两个交点（另一个交点延长抛物线即可得），所以b2-4ac>0，故①正确；把横坐标x=1代入y=ax2+bx+c，得y=a+b+c>0，故④错误. 用同样的方法还可以判断一些代数式的符号，如将x=3代入y=ax2+bx+c，得到y=9a+3b+c=0.
练习2 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）. 下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若（-5，y1）、（2，y2）是抛物线上两点，则y1>y2. 其中说法正确的是（ ）.
A. ①② B. ②③
C. ①②④ D. ②③④
【提示】根据图象得出a>0，b=2a>0，c<0，即可判断①②正确；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③错误，求出点（-5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x>-1时，y随x的增大而增大即可判断④正确. 本题答案为C.
三、 构造二次函数解非函数题
例4 已知关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-4=0有两个不等的实数根，且有一根1
令y=x2-（k-3）x-4.
∵x1x2=-4<0，1
【提示】令y=x2+（2m+6）x+2m+4，抛物线开口向上且与x轴有两个交点. 综合考虑x=3时函数值大于0、x1+x2<6、Δ>0这三个条件可得出m的范围为m>-■.
例5 如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=20，动点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q. 连PQ，M为PQ的中点，MN⊥QC，求线段BM的最小值.
【评析】线段BM的长度与点P的位置有关，若设DP=x，由图形关系可用含x的代数式表示MN和BN，由勾股定理BM2=BN2+MN2，可令y=BM2，重点在于建立y与x的函数关系，利用二次函数的最值求解.
【解答提示】设DP=x，BM2=y，则PC=20-x，易证MN是△PQC的中位线，∴MN=■=■，再由△ABQ∽△ADP，可得BQ=2x，QC=2x+10，QN=■=x+5，∴BN=BQ-QN=x-5，在Rt△BMN中，由勾股定理可得：
y=BM2=MN2+BN2=■2+（x-5）2=■（x-8）2+45.
∴当x=8时，y最小=45，故线段BM最小=■=3■.
练习4 如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AD上，MP⊥BP，求DM的最大值.
【提示】令AP=x，DM=y，易证△PDM∽△BAP，由相似三角形对应边成比例建立y与x之间的函数关系，利用二次函数最值求得线段DM的最大值为1.