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二次函数是刻画现实世界和实际生活问题的一个有效数学模型，应用非常广泛.学习二次函数使我们在了解了一次函数、反比例函数之后，对函数有更进一步的认识. 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体函数，也是最重要的，在历年的中考题中占有较大比例.同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系，学习二次函数将为方程的解法提供新的途径，并使我们深刻地理解“数形结合”的重要思想，更是我们今后高中解一元二次不等式的基础. 要努力学好二次函数，先要深刻理解二次函数的相关概念.
一、 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零. 二次函数的定义域是全体实数，也就是说自变量x可以取一切实数. 我们把这个解析式叫做二次函数的一般式.
例1 判断下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c的值.
（1） y=3（x-1）2-1；（2） s=3-2t2；（3） y=（x+3）2-x2；（4） s=10πr2；（5） y=22+2x；（6） y=x4+2x2+1.
【解析】根据二次函数的概念我们可把上面的式子都化成形如y=ax2+bx+c的式子，从而知（3）和（5）不含x的二次项，故不是二次函数；（6）含x的四次项，故也不是二次函数；（1）是二次函数，其中a=3、b=-6、c=2；（2）是二次函数，其中a=-2、b=0，c=3；（4）是二次函数，其中a=10π、b=0、c=0.
例2 （1） 如果函数y=xk2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是______；
（2） 如果函数y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是______.
【解析】此题着重强调二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0，所以（1）中k2-3k+2=2，k=0或3，而（2）中，k-3≠0，k的值只能为0.
例3 用30 m长的护栏，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m2）与矩形边长x（m）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
【解析】一般二次函数自变量x的取值范围是一切实数，但具体到实际问题，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值. y=15x-■x2（0 二、 二次函数的另外两种表示方法
（1） 顶点式：y=a（x-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0），其中点（h，k）为二次函数图象（抛物线）的顶点.
（2） 交点式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2+k的形式，其中h=-■，k=■.
例4 根据下列条件求二次函数的表达式：
（1） 二次函数图象经过（0，-2），（1，2），（-1，3）三点；
（2） 二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴交点为（0，-2）；
（3） 二次函数图象的顶点坐标是-3，■，且图象过点2，■.
【解析】（1） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把（0，-2），（1，2），（-1，3）三点坐标代入得：c=-2，a+b+c=2，a-b+c=3. 解得a=■，b=-■，c=-2，从而解析式为y=■x2-■x-2；
（2） 已知交点坐标（-3，0）和（1，0），故设交点式y=a（x+3）（x-1），再把x=0、y=-2代入上式，得a=■，所以解析式为y=■（x+3）（x-1）；
（3） 已知顶点坐标-3，■，设顶点式y=a（x+3）2+■，再把x=2、y=■代入上式，得a=■，所以解析式为y=■（x+3）2+■.
【小结】根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便. 一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
三、 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征及a、b、c的意义
（1） 等号左边是应变量y，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
（2） a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；a的大小决定开口的大小，a大，开口小， 反之a小，开口大. 在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置，即对称轴h=-■. c决定了抛物线与y轴交点的位置，即抛物线与y轴交点坐标为（0，c）. 总之，只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
例5 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键.
由图象知h=-■=2，故a、b异号，且4a+b=0；当y=-2时，由对称知x的值有两个；所以②③正确，故选B.
总之，二次函数的相关概念有很多，我们要在数形结合的基础上来研究二次函数，只有这样才能迅速、便捷地解答二次函数的相关问题，锻炼我们的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.
一、 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零. 二次函数的定义域是全体实数，也就是说自变量x可以取一切实数. 我们把这个解析式叫做二次函数的一般式.
例1 判断下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c的值.
（1） y=3（x-1）2-1；（2） s=3-2t2；（3） y=（x+3）2-x2；（4） s=10πr2；（5） y=22+2x；（6） y=x4+2x2+1.
【解析】根据二次函数的概念我们可把上面的式子都化成形如y=ax2+bx+c的式子，从而知（3）和（5）不含x的二次项，故不是二次函数；（6）含x的四次项，故也不是二次函数；（1）是二次函数，其中a=3、b=-6、c=2；（2）是二次函数，其中a=-2、b=0，c=3；（4）是二次函数，其中a=10π、b=0、c=0.
例2 （1） 如果函数y=xk2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是______；
（2） 如果函数y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是______.
【解析】此题着重强调二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0，所以（1）中k2-3k+2=2，k=0或3，而（2）中，k-3≠0，k的值只能为0.
例3 用30 m长的护栏，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m2）与矩形边长x（m）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
【解析】一般二次函数自变量x的取值范围是一切实数，但具体到实际问题，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值. y=15x-■x2（0
（1） 顶点式：y=a（x-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0），其中点（h，k）为二次函数图象（抛物线）的顶点.
（2） 交点式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2+k的形式，其中h=-■，k=■.
例4 根据下列条件求二次函数的表达式：
（1） 二次函数图象经过（0，-2），（1，2），（-1，3）三点；
（2） 二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴交点为（0，-2）；
（3） 二次函数图象的顶点坐标是-3，■，且图象过点2，■.
【解析】（1） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把（0，-2），（1，2），（-1，3）三点坐标代入得：c=-2，a+b+c=2，a-b+c=3. 解得a=■，b=-■，c=-2，从而解析式为y=■x2-■x-2；
（2） 已知交点坐标（-3，0）和（1，0），故设交点式y=a（x+3）（x-1），再把x=0、y=-2代入上式，得a=■，所以解析式为y=■（x+3）（x-1）；
（3） 已知顶点坐标-3，■，设顶点式y=a（x+3）2+■，再把x=2、y=■代入上式，得a=■，所以解析式为y=■（x+3）2+■.
【小结】根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便. 一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
三、 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征及a、b、c的意义
（1） 等号左边是应变量y，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
（2） a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；a的大小决定开口的大小，a大，开口小， 反之a小，开口大. 在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置，即对称轴h=-■. c决定了抛物线与y轴交点的位置，即抛物线与y轴交点坐标为（0，c）. 总之，只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
例5 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键.
由图象知h=-■=2，故a、b异号，且4a+b=0；当y=-2时，由对称知x的值有两个；所以②③正确，故选B.
总之，二次函数的相关概念有很多，我们要在数形结合的基础上来研究二次函数，只有这样才能迅速、便捷地解答二次函数的相关问题，锻炼我们的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.