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【摘要】二次函数是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想，不仅与高中知识有着密切的联系，而且还与生活中的实际问题有着极为广泛的联系，是联系数学知识与实际问题问的纽带和桥梁.本文从5个方面来谈谈中考中二次函数的应用.
【关键词】二次函数利润最大化市场经济
近年来，二次函数应用题，已成为中考数学试卷考查学生分析问题和解决问题能力的常见题型，这类题目的共同特点是把学生的学习生活作为数学问题的背景，并通过对题目的分析和探究，寻求解决问题的途径，易于学生体验和掌握。二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。利润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。
1.住宿问题
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）
分析：
因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，
现在增加x元，折合x10个10元，所以，有x10个房间空闲；
空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；
房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。
解：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式是：y=60-x10，
（2）宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-x10），
（3）宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式是：
W=（200+x）（60-x10）-20（60-x10），
整理，得：W=-110x2+42x+10800
=-110（x2-420x）+10800
=-110（x-210）2+15210，
因为，a=-110＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，
当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值是15210元。
2.投资问题
例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
图12（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年南宁市）
分析：
根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；
仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。
解：（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，
因为，图像经过点P(1，2)，所以，2=k，
所以，利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，x＞0；
因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，
因为，图像经过点Q(2，2)，
所以，2=4a，从而a=12，
所以，利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=12x2 ，x＞0；
（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，
他获得的利润是：
y=y1+ y2=12 x2 +2×（8-x）
=12 x2 -2x+16
=12（x-2）2+14，
因为，a=12＞0，所以，函数有最小值，
并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；
因为，对称轴是x=2，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
所以，当x=0时，y有最大值，且为y=12（x-2）2+14=16，
当2＜x≤8时，y随x的增大而增大，
当x=8时，y有最大值，且为y=12（x-2）2+14=32，
所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。
因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。
3.存放问题
例3我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）（08凉山州）
分析：
因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，
所以，x天就应该上涨x×1=x元；
市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，这样第一问就解决了；销售总额为P元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。
解：
（1）由题意得y与x之间的函数关系式是：y=x+30（1≤x≤160，且x整数）；
（2）由题意得P与x之间的函数关系式是：
P=(x+30)(1000-3x)=-3x2+910x+3000；
（3）由题意得：
W=(-3x2+910x+3000)-30×1000-310x
=-3(x-100)2+30000
因为，a=-3＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，
所以，当x时，W最大=30000，
因为，100天＜160天，
所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
4.定价问题
例4为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:ｗ=－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? （2008恩施自治州）
分析：利润=价格×销售数量，这是问题解答的关键。
解:
(1)y＝(x－20)·w
＝(x－20)(－2x＋80)
＝－2x2＋120x－1600，
所以，y与x的函数关系式为：y＝－2x2＋120x－1600．
(2)因为，y＝－2x2＋120x－1600
＝－2 (x－30) 2＋200，
因为，a=-2＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，
所以，当x＝30时，y有最大值200．
因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.
(3)当y＝150时，可得方程
－2 (x－30 )2＋200＝150．
解这个方程，得x1＝25，x2＝35．
根据题意，x2＝35不合题意,应舍去．
所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
5.补贴问题
例5某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．（2008年泰安市）
分析：惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。
解：
1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为
3000×800=2400000（元）；
（2）由题意可设y与x的函数关系为y=kx+800
将(50，1200)代入上式得1200=50k+800，
得k=8
所以种植亩数与政府补贴的函数关系为y=8x+800，
同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=－3x+3000，
（3）由题意，得：
u=yz=(8x+800)(－3x+3000)
=－24x2+21600x+2400000
=－24(x－450)2+7260000，
所以，当x=450，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大值为7260000元．
二次函数在现实生活当中有比较广泛的应用，也是最近几年中考的重要考点之一。对于二次函数的学习，有利于学生建立起函数方程、数形结合等重要数学思想，可以拓展学生的解题思路，对于中学生智力的发展以及思维能力的培养等都有着相当重要的意义。很久以来，二次函数都是中考命题的一大热点，它的灵活性比较大，涉及的知识面也比较广，能够同其他的知识紧密地联系起来。
参考文献
［1］戎利君，卢万兵.二次函数测试题［J］.数学大世界：初中生数学辅导版，2012（Z1）.
［２］张宏亮.二次函数考点“直通车”［J］.语数外学习：初中版九年级，2013（Z1）.
［3］王晓春.注重对称性在二次函数中的应用［J］.考试：中考版，2012（11）.
【关键词】二次函数利润最大化市场经济
近年来，二次函数应用题，已成为中考数学试卷考查学生分析问题和解决问题能力的常见题型，这类题目的共同特点是把学生的学习生活作为数学问题的背景，并通过对题目的分析和探究，寻求解决问题的途径，易于学生体验和掌握。二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。利润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。
1.住宿问题
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）
分析：
因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，
现在增加x元，折合x10个10元，所以，有x10个房间空闲；
空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；
房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。
解：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式是：y=60-x10，
（2）宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-x10），
（3）宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式是：
W=（200+x）（60-x10）-20（60-x10），
整理，得：W=-110x2+42x+10800
=-110（x2-420x）+10800
=-110（x-210）2+15210，
因为，a=-110＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，
当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值是15210元。
2.投资问题
例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
图12（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年南宁市）
分析：
根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；
仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。
解：（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，
因为，图像经过点P(1，2)，所以，2=k，
所以，利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，x＞0；
因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，
因为，图像经过点Q(2，2)，
所以，2=4a，从而a=12，
所以，利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=12x2 ，x＞0；
（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，
他获得的利润是：
y=y1+ y2=12 x2 +2×（8-x）
=12 x2 -2x+16
=12（x-2）2+14，
因为，a=12＞0，所以，函数有最小值，
并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；
因为，对称轴是x=2，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
所以，当x=0时，y有最大值，且为y=12（x-2）2+14=16，
当2＜x≤8时，y随x的增大而增大，
当x=8时，y有最大值，且为y=12（x-2）2+14=32，
所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。
因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。
3.存放问题
例3我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）（08凉山州）
分析：
因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，
所以，x天就应该上涨x×1=x元；
市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，这样第一问就解决了；销售总额为P元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。
解：
（1）由题意得y与x之间的函数关系式是：y=x+30（1≤x≤160，且x整数）；
（2）由题意得P与x之间的函数关系式是：
P=(x+30)(1000-3x)=-3x2+910x+3000；
（3）由题意得：
W=(-3x2+910x+3000)-30×1000-310x
=-3(x-100)2+30000
因为，a=-3＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，
所以，当x时，W最大=30000，
因为，100天＜160天，
所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
4.定价问题
例4为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:ｗ=－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? （2008恩施自治州）
分析：利润=价格×销售数量，这是问题解答的关键。
解:
(1)y＝(x－20)·w
＝(x－20)(－2x＋80)
＝－2x2＋120x－1600，
所以，y与x的函数关系式为：y＝－2x2＋120x－1600．
(2)因为，y＝－2x2＋120x－1600
＝－2 (x－30) 2＋200，
因为，a=-2＜0，所以，函数有最大值，
并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，
所以，当x＝30时，y有最大值200．
因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.
(3)当y＝150时，可得方程
－2 (x－30 )2＋200＝150．
解这个方程，得x1＝25，x2＝35．
根据题意，x2＝35不合题意,应舍去．
所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
5.补贴问题
例5某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．（2008年泰安市）
分析：惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。
解：
1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为
3000×800=2400000（元）；
（2）由题意可设y与x的函数关系为y=kx+800
将(50，1200)代入上式得1200=50k+800，
得k=8
所以种植亩数与政府补贴的函数关系为y=8x+800，
同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=－3x+3000，
（3）由题意，得：
u=yz=(8x+800)(－3x+3000)
=－24x2+21600x+2400000
=－24(x－450)2+7260000，
所以，当x=450，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大值为7260000元．
二次函数在现实生活当中有比较广泛的应用，也是最近几年中考的重要考点之一。对于二次函数的学习，有利于学生建立起函数方程、数形结合等重要数学思想，可以拓展学生的解题思路，对于中学生智力的发展以及思维能力的培养等都有着相当重要的意义。很久以来，二次函数都是中考命题的一大热点，它的灵活性比较大，涉及的知识面也比较广，能够同其他的知识紧密地联系起来。
参考文献
［1］戎利君，卢万兵.二次函数测试题［J］.数学大世界：初中生数学辅导版，2012（Z1）.
［２］张宏亮.二次函数考点“直通车”［J］.语数外学习：初中版九年级，2013（Z1）.
［3］王晓春.注重对称性在二次函数中的应用［J］.考试：中考版，2012（11）.