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【摘 要】在小学阶段，图形度量意识对发展学生的空间观念尤为重要。本文基于结构化视角，以人教版教材“面积”为例，从承上启下，建立多元化外在表征;直观感知，加强前后知识的对比;调动经验，感受螺旋上升的体系;归纳梳理，完善深度学习的结构等四个角度谈图形度量意识的培养。
【关键词】小学数学;面积教学;结构化;图形度量意识
史宁中指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。”所谓度量意识，就是自觉地感受和拥有、使用计量标准和计量工具的意识。而在小学阶段，图形度量意识在很大程度上影响着学生对物体距离、形状、大小等方面的判断。笔者认为，可以基于结构化视角，从以下四个方面培养学生的度量意识。
1 承上启下，建立多元外在表征，让图形度量意识“生根”
昂利·彭加勒在《科学与方法》一书中说道：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”这里的测量工具，就是指度量图形的标准，可以是长度、面积或体积等的测量标准。那么如何找到长度、面积、体积这三者之间的关系呢？从运动叠加角度来看，“点动成线，线动成面，面动成体”。
在学生掌握了长度的度量概念以及度量方法之后，要想让学生将长度的度量与面积的度量以及体积的度量有机结合，就要在揭示图形度量的本质上做文章。笔者认为，可以从回顾长度的度量经验入手，让学生在多元的具体感知活动中认识面积，实现知识与方法的正迁移[1]。
如在课堂开始前将“点动成线”的动画定格在一条线段上，提问“如何知道这条线段的长度”，并追问“如果只对一条1厘米的线段进行测量，该怎么办呢？”学生能想到把1厘米的线段不断累加，计算共有几段的方法。教师可引导学生回忆度量长度的原理，为后续做准备。接着，给学生各不相同的封闭图形，如长方形、正方形、圆形、三角形等，让学生选择一个图形，并进行涂色比赛。在涂色时，引导学生发现除了不同图形的涂色技巧不同之外，涂色部分的大小也不同，并让学生从中感悟到封闭图形有大小之分。利用课件呈现涂色过程就像是一条一条的线段不断进行运动形成面，也就是“线动成面”，能让学生初步感知线与面之间的联系与区别。
2 直观感知，加强前后知识对比，使图形度量意识“萌芽”
皮亚杰曾说：“智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发学生的好奇心和求知欲，产生学习的内驱力。”因此，教师要设计大量的实践操作活动，通过找、摸、比等行为，让学生通过身体感观初步感官用数描述面积的必要性。而学生在学习面积之前，已经学习了长度的度量及计算周长的方法。为了让学生能更好地构建认知结构，教师要引导学生区分与对比二者的异同，一方面避免学生混淆长度单位和面积单位，另一方面引领学生自觉地感受、体会面积单位产生的必要性，使学生在对比中找到零散知識间的联系。
如让学生用红笔描出所涂图形的一周，理解红笔描画部分是封闭图形的周长，并区分周长和面的不同。接着，引导学生发现生活中很多物体的表面也有大小，并让学生同桌两人为一组，找一找、摸一摸、比一比熟悉的物体的表面。让学生用手认真地触摸物体的表面，感受如桌子、椅子、课本、铅笔盒等物体的一个面的表面大小。此外，还可以让学生触摸感受足球表面、笔的侧面、水壶的表面、人的皮肤表面等，以引导学生辨别和分类平面及曲面。然后，让学生任选两种物体表面对比大小，从而引出观察比较法与重叠比较法。让学生对身边的事物进行自主选择、独立体验，并相互分享自己的感受，以加深学生对物体表面大小的理解。再与涂色的面结合起来，让学生回顾封闭图形有大小之分，从而丰富学生对面积的感知。
3 调动经验，感受螺旋上升体系，助图形度量意识“开花”
波利亚认为：“学生在学习知识、技能时，在头脑中贮存了大量经验，即‘相似块’，人的思维活动能使这些已存的‘相似块’在外界信息进入大脑后自动耦合、接通和激活。”学生在学习面积之前，已经有了大量的关于长度的度量经验，而且体会到了长度的度量需要有统一标准的长度单位，学会了在度量长度的情境中要选择合适的单位长度，在此基础上，教师可引导学生操作所提供的测量工具，进行合作探究，解决问题[2]。通过调动旧有的学习经验，促进新问题的解决，感悟数学思想方法，让这些“相似块”得以碰撞，能完善学生的图形度量认知体系，助力学生知识的迁移，并为其后续学习体积的度量奠定基础。
如出示教材中的长方形和正方形，比较哪个图形的面积大，学生会发现用观察法和重叠法都无法解决这个问题，个别学生还会想到用尺子测量长和宽。这时，教师可引导学生思考“线段有长度计量单位，那么面积该用什么面积单位合适呢？有没有测量面积的工具呢？”在激发认知冲突后，为学生提供圆片、三角形、正方形等学具，让学生选择喜欢的学具进行测量，把情况记录下来：选择的测量工具、方法、结果如何？让学生在汇报与对比中发现，选择的学具不同，拼摆的结果也不相同;圆片有缝隙，不准确;三角形和正方形都能密铺。随后继续追问“能否用其他图形作为测量工具？”通过再次比较，学生可以发现长方形也能密铺，但对比之下用正方形这一形状更便捷。
4 归纳梳理，完善深度学习结构，促图形度量意识“结果”
张奠宙指出：“长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念。这三者除了图形的维度不同，作为一种测量过程，其本质是一样的。”也就是说，它们都具有“数”的基本属性，即找到一个合适的数对其数学属性进行描述。因此，梳理、串联长度、面积的度量，区分长度与面积度量的联系，形成知识框架，有利于学生为日后学习体积的度量夯实基础。要帮助学生完善图形的度量结构，做到“学一点，连成线，见一片，形成体”。通过横纵对比，聚焦图形的度量本质，实现学生对面积、长度认识的层级发展，有利于提升学生的思维品质。要丰富学生的空间表象，使学生学会建立统一单位，掌握计算方法，增进对度量思想的认识[3]。
如通过游戏制造认知冲突，先要求男生闭眼，让女生看到由24个一样大的正方形组成的长方形，接着要求女生闭眼，让男生看到由6个一样大的正方形组成的长方形。让学生分别记住数据，对比谁看到的图形面积大？学生的思维定势会让他们认为24个正方形组成的长方形大。但是当教师揭示两个长方形其实一样大，只是作为测量工具的正方形大小不一样，导致正方形数量的不同时，会使学生感悟到统一面积单位大小的必要性，从而为学生学习面积单位做准备。总结时，引导学生思考面积单位和长度单位作为测量工具时有什么共同点和不同点？通过图形对比，引发学生关注到长度单位是一维的，对要测量的线段进行“有限可加”的覆盖，就可以测量长度;而面积单位是二维的，对要测量的图形表面进行不重叠的累加，得到的数量就是图形的面积。而共同点就是长度和面积都具有“数”的基本属性。这里还可以穿插介绍古代“称”面积的典故，让学生感受到不管是哪一种方法，其中都蕴含着转化思想以及“数”。如果说长度的测量是利用了等长变换，那么面积的测量就是利用了等积变换，二者都是图形中的等量代换。这样，就为学生后续学习面积计算奠定了基础。在课的结尾，还可播放“面动成体”的动画，引导学生思考以后还会遇到什么图形的度量知识，从而也为其高年级学习体积的度量埋下伏笔。
总之，度量意识的培养并非一朝一夕，教师要充分发展结构化意识，抓住图形度量知识之间的联系，使学生在具体操作、感知中，经历从具体到抽象、从感官到认知、从分析到拓展，从而逐步培养学生的度量意识，提升其图形度量的技能，促进其数学思维提升。
【参考文献】
[1]娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018（6）.
[2]顾晓金姿.小学中低年级数学课堂中的有效操作[J].数学大世界（中旬），2019（8）.
[3]王平.基于经验关联的小学数学结构化教学研究[J].新课程（小学），2019（12）.
【关键词】小学数学;面积教学;结构化;图形度量意识
史宁中指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。”所谓度量意识，就是自觉地感受和拥有、使用计量标准和计量工具的意识。而在小学阶段，图形度量意识在很大程度上影响着学生对物体距离、形状、大小等方面的判断。笔者认为，可以基于结构化视角，从以下四个方面培养学生的度量意识。
1 承上启下，建立多元外在表征，让图形度量意识“生根”
昂利·彭加勒在《科学与方法》一书中说道：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”这里的测量工具，就是指度量图形的标准，可以是长度、面积或体积等的测量标准。那么如何找到长度、面积、体积这三者之间的关系呢？从运动叠加角度来看，“点动成线，线动成面，面动成体”。
在学生掌握了长度的度量概念以及度量方法之后，要想让学生将长度的度量与面积的度量以及体积的度量有机结合，就要在揭示图形度量的本质上做文章。笔者认为，可以从回顾长度的度量经验入手，让学生在多元的具体感知活动中认识面积，实现知识与方法的正迁移[1]。
如在课堂开始前将“点动成线”的动画定格在一条线段上，提问“如何知道这条线段的长度”，并追问“如果只对一条1厘米的线段进行测量，该怎么办呢？”学生能想到把1厘米的线段不断累加，计算共有几段的方法。教师可引导学生回忆度量长度的原理，为后续做准备。接着，给学生各不相同的封闭图形，如长方形、正方形、圆形、三角形等，让学生选择一个图形，并进行涂色比赛。在涂色时，引导学生发现除了不同图形的涂色技巧不同之外，涂色部分的大小也不同，并让学生从中感悟到封闭图形有大小之分。利用课件呈现涂色过程就像是一条一条的线段不断进行运动形成面，也就是“线动成面”，能让学生初步感知线与面之间的联系与区别。
2 直观感知，加强前后知识对比，使图形度量意识“萌芽”
皮亚杰曾说：“智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发学生的好奇心和求知欲，产生学习的内驱力。”因此，教师要设计大量的实践操作活动，通过找、摸、比等行为，让学生通过身体感观初步感官用数描述面积的必要性。而学生在学习面积之前，已经学习了长度的度量及计算周长的方法。为了让学生能更好地构建认知结构，教师要引导学生区分与对比二者的异同，一方面避免学生混淆长度单位和面积单位，另一方面引领学生自觉地感受、体会面积单位产生的必要性，使学生在对比中找到零散知識间的联系。
如让学生用红笔描出所涂图形的一周，理解红笔描画部分是封闭图形的周长，并区分周长和面的不同。接着，引导学生发现生活中很多物体的表面也有大小，并让学生同桌两人为一组，找一找、摸一摸、比一比熟悉的物体的表面。让学生用手认真地触摸物体的表面，感受如桌子、椅子、课本、铅笔盒等物体的一个面的表面大小。此外，还可以让学生触摸感受足球表面、笔的侧面、水壶的表面、人的皮肤表面等，以引导学生辨别和分类平面及曲面。然后，让学生任选两种物体表面对比大小，从而引出观察比较法与重叠比较法。让学生对身边的事物进行自主选择、独立体验，并相互分享自己的感受，以加深学生对物体表面大小的理解。再与涂色的面结合起来，让学生回顾封闭图形有大小之分，从而丰富学生对面积的感知。
3 调动经验，感受螺旋上升体系，助图形度量意识“开花”
波利亚认为：“学生在学习知识、技能时，在头脑中贮存了大量经验，即‘相似块’，人的思维活动能使这些已存的‘相似块’在外界信息进入大脑后自动耦合、接通和激活。”学生在学习面积之前，已经有了大量的关于长度的度量经验，而且体会到了长度的度量需要有统一标准的长度单位，学会了在度量长度的情境中要选择合适的单位长度，在此基础上，教师可引导学生操作所提供的测量工具，进行合作探究，解决问题[2]。通过调动旧有的学习经验，促进新问题的解决，感悟数学思想方法，让这些“相似块”得以碰撞，能完善学生的图形度量认知体系，助力学生知识的迁移，并为其后续学习体积的度量奠定基础。
如出示教材中的长方形和正方形，比较哪个图形的面积大，学生会发现用观察法和重叠法都无法解决这个问题，个别学生还会想到用尺子测量长和宽。这时，教师可引导学生思考“线段有长度计量单位，那么面积该用什么面积单位合适呢？有没有测量面积的工具呢？”在激发认知冲突后，为学生提供圆片、三角形、正方形等学具，让学生选择喜欢的学具进行测量，把情况记录下来：选择的测量工具、方法、结果如何？让学生在汇报与对比中发现，选择的学具不同，拼摆的结果也不相同;圆片有缝隙，不准确;三角形和正方形都能密铺。随后继续追问“能否用其他图形作为测量工具？”通过再次比较，学生可以发现长方形也能密铺，但对比之下用正方形这一形状更便捷。
4 归纳梳理，完善深度学习结构，促图形度量意识“结果”
张奠宙指出：“长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念。这三者除了图形的维度不同，作为一种测量过程，其本质是一样的。”也就是说，它们都具有“数”的基本属性，即找到一个合适的数对其数学属性进行描述。因此，梳理、串联长度、面积的度量，区分长度与面积度量的联系，形成知识框架，有利于学生为日后学习体积的度量夯实基础。要帮助学生完善图形的度量结构，做到“学一点，连成线，见一片，形成体”。通过横纵对比，聚焦图形的度量本质，实现学生对面积、长度认识的层级发展，有利于提升学生的思维品质。要丰富学生的空间表象，使学生学会建立统一单位，掌握计算方法，增进对度量思想的认识[3]。
如通过游戏制造认知冲突，先要求男生闭眼，让女生看到由24个一样大的正方形组成的长方形，接着要求女生闭眼，让男生看到由6个一样大的正方形组成的长方形。让学生分别记住数据，对比谁看到的图形面积大？学生的思维定势会让他们认为24个正方形组成的长方形大。但是当教师揭示两个长方形其实一样大，只是作为测量工具的正方形大小不一样，导致正方形数量的不同时，会使学生感悟到统一面积单位大小的必要性，从而为学生学习面积单位做准备。总结时，引导学生思考面积单位和长度单位作为测量工具时有什么共同点和不同点？通过图形对比，引发学生关注到长度单位是一维的，对要测量的线段进行“有限可加”的覆盖，就可以测量长度;而面积单位是二维的，对要测量的图形表面进行不重叠的累加，得到的数量就是图形的面积。而共同点就是长度和面积都具有“数”的基本属性。这里还可以穿插介绍古代“称”面积的典故，让学生感受到不管是哪一种方法，其中都蕴含着转化思想以及“数”。如果说长度的测量是利用了等长变换，那么面积的测量就是利用了等积变换，二者都是图形中的等量代换。这样，就为学生后续学习面积计算奠定了基础。在课的结尾，还可播放“面动成体”的动画，引导学生思考以后还会遇到什么图形的度量知识，从而也为其高年级学习体积的度量埋下伏笔。
总之，度量意识的培养并非一朝一夕，教师要充分发展结构化意识，抓住图形度量知识之间的联系，使学生在具体操作、感知中，经历从具体到抽象、从感官到认知、从分析到拓展，从而逐步培养学生的度量意识，提升其图形度量的技能，促进其数学思维提升。
【参考文献】
[1]娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018（6）.
[2]顾晓金姿.小学中低年级数学课堂中的有效操作[J].数学大世界（中旬），2019（8）.
[3]王平.基于经验关联的小学数学结构化教学研究[J].新课程（小学），2019（12）.