正确区分定义域为R与值域为R

• 作 者: 张厚恩
• 出 处: 中国教育发展研究
• 发表日期: 2010年2期

　　【摘要】针对文中所给出的已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)定义域或值域求实数a范围的问题,正确区分定义域为R与值域为R,准确使用△<0与△>0,是解决这类问题的必胜法宝。
　　【关键词】定义域 值域 正确区分
　　
　　Differentiate the field of definitions R from the field of numerical value R correctly
　　Zhang Hou’en
　　【Abstract】Aimed at the problem, evaluating the range of the real number a through the given field of definitions function or the field of numerical value of the known function f(x)=lg(ax2+2x+1), the best way for that is to differentiate the field of definitions R from the field of numerical value R correctly and use △<0 and △>0 correctly.
　　【Keywords】Field of definitions Field of numerical value Correct differentiation
　　
　　题目:已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)
　　(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
　　(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围。
　　在对数函数这一章里,这两个题始终象孪生兄弟一样,如影随形。也以孪生兄弟的面貌,干扰、混淆着同学们的思考。但认清实际,对症下药,问题也可迎刃而解。
　　解(1):根据定义域的意义,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集即为定义解,显然由题意可知不等式恒成立,所以 ,即 ,解得a>1。
　　所以,a的范围是(1,+∞)。
　　
　　解(2):此题同学们极易错解成第1个题,这种解法错误的原因在于没有准确地理解值域为R的意义,根据对数函数的图象和性质可知,当且仅当t=ax2+2x+1能取遍一切正数,即t的值域包含区间(0,+∞)时,函数y=lg(ax2+2x+1)的值域才能是R。而当△<0时,只能说明x的范围是R,而不能保证t的值域包含(0,+∞),如上图:
　　记t的值域为A,则A=( ,+∞),显然,该情况是(0,+∞)包含A,而达不到A包含(0,+∞)。这样解释,有同学可能还不理解。举个生活中的例子:要挑选5个人去办一件事,能从总数为4个人的人群里挑到吗?显然,应从不少于5个人的人群里去挑,才能达到。所以本题正确解法是:
　　A=0或 ,即a=0或 ,解得0≤a≤1。
　　所以,a的范围是[0,1]
　　正确区分定义域为R与值域为R,准确使用△<0与△>0,是解决这类问题的必胜法宝。