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学习《一元二次方程》，除了要掌握一元二次方程的解法与应用外，同学们还需要了解蕴含在这一章中的数学思想、方法.现举例说明如下.
一、整体思想
例1 已知m、n是方程x2－2x－1=0的两根，且（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，则a=_________.
解：因为m、n是方程x2－2x－1=0的两根，
所以m2－2m－1=0，n2－2n－1=0，
所以m2－2m=1，n2－2n=1.
又因为（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，
所以[7（m2－2m）+a][3（n2－2n）－7]=8，
所以（7+a）（3－7）=8，
所以a=－9.
二、分类讨论思想
例2 已知三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，则三角形的周长为________.
解析：方程x2－5x+6=0的解为x1=2，x2=3.
因为三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，
①当三角形的三边为2、2、2时，三角形的周长为6；
②当三角形的三边为3、3、3时，三角形的周长为9；
③当三角形的三边为2、2、3时，三角形的周长为7；
④当三角形的三边为3、3、2时，三角形的周长为8.
综上所述，三角形的周长分别为6、7、8、9.
三、数形结合思想
例3 若x1、x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1、x2、a、b的大小关系为（ ）.
A． x1＜x2＜a＜b B． x1＜a＜x2＜b
C． x1＜a＜b＜x2 D． a＜x1＜b＜x2
解析：抛物线y=（x－a）（x－b）与x轴的两个交点分别为（a，0）、（b，0）.
将抛物线y=（x－a）（x－b）向下平移一个单位，得y=（x－a）（x－b）－1，此时x1、x2就是抛物线y=（x－a）（x－b）－1与x轴的两个交点的横坐标（如图1）.
根据图1易知：x1＜a＜b＜x2.故选C.
四、转化思想
解析：原方程可转化为（x2+3x）2 +2（x2+3x）－3=0.
解得x2+3x=－3或x2+3x=1.
又因为x2+3x+3=0，b2－4ac=9－4×3＜0，
所以x2+3x=－3不合题意，所以x2+3x=1.
五、建模思想
例5 如图2，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD可利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，求AB的长度.（可利用的围墙长度超过6米）
解析：设AB=xm，那么BC=（6－2x）m.
根据题意，得x（6－2x）=4.
解得x1=1，x2=2.
当x=2时，BC=6－2×2=2，
因为矩形的邻边不相等，所以x=2（舍去）.
所以AB的长度为1米.
六、降次法
例6 若x2+x－1=0，则x3+2x2+3的值为
.
解析：因为x2=1－x ，x3=x·x2，
所以x3+2x2+3=x·（1－x）+2x2+3=x－x2+2x2+3=x2+x+3=1+3=4.
七、消元法
例7 已知实数a、b满足a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，则b的值为 .
解析：因为a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，消去a并整理，得b2+5b－6=0.
解得b1=－6，b2=1.
又因为a2=5b+5≥0，所以b≥－1，
所以b=－6（舍去），所以b的值为1.
八、配方法
例8 若a、b为实数，且2a2－2ab+b2+4a+4=0，则a2b +ab2的值为 .
解析：因为2a2－2ab+b2+4a+4=0，
即a2－2ab+b2+a2+4a+4=0，
（a－b）2+（a+2）2=0.
所以a－b=0，a+2=0，所以a=b=－2.
当a=b=－2时，a2b +ab2=（－2）2×（－2）+（－2） ×（－2）2 =－16.
九、换元法
例9 若（a2+b2）2－2（a2+b2）－8=0，则a2+b2的值为 .
解析：设a2+b2=x，
则原方程可化为x2－2x－8=0，
解得x1=4，x2=－2.
又因为a2+b2＞0，所以x=－2（舍去），
所以a2+b2的值为4.
十、因式分解法
例10 解方程（x+1）（x－2）=x+1.
解析：移项，得（x+1）（x－2）－（x+1）=0，
（x+1）（x－2－1）=0，
（x+1）（x－3）=0.
所以x+1=0或x－3=0，
所以x1=－1， x2=3.
一、整体思想
例1 已知m、n是方程x2－2x－1=0的两根，且（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，则a=_________.
解：因为m、n是方程x2－2x－1=0的两根，
所以m2－2m－1=0，n2－2n－1=0，
所以m2－2m=1，n2－2n=1.
又因为（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，
所以[7（m2－2m）+a][3（n2－2n）－7]=8，
所以（7+a）（3－7）=8，
所以a=－9.
二、分类讨论思想
例2 已知三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，则三角形的周长为________.
解析：方程x2－5x+6=0的解为x1=2，x2=3.
因为三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，
①当三角形的三边为2、2、2时，三角形的周长为6；
②当三角形的三边为3、3、3时，三角形的周长为9；
③当三角形的三边为2、2、3时，三角形的周长为7；
④当三角形的三边为3、3、2时，三角形的周长为8.
综上所述，三角形的周长分别为6、7、8、9.
三、数形结合思想
例3 若x1、x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1、x2、a、b的大小关系为（ ）.
A． x1＜x2＜a＜b B． x1＜a＜x2＜b
C． x1＜a＜b＜x2 D． a＜x1＜b＜x2
解析：抛物线y=（x－a）（x－b）与x轴的两个交点分别为（a，0）、（b，0）.
将抛物线y=（x－a）（x－b）向下平移一个单位，得y=（x－a）（x－b）－1，此时x1、x2就是抛物线y=（x－a）（x－b）－1与x轴的两个交点的横坐标（如图1）.
根据图1易知：x1＜a＜b＜x2.故选C.
四、转化思想
解析：原方程可转化为（x2+3x）2 +2（x2+3x）－3=0.
解得x2+3x=－3或x2+3x=1.
又因为x2+3x+3=0，b2－4ac=9－4×3＜0，
所以x2+3x=－3不合题意，所以x2+3x=1.
五、建模思想
例5 如图2，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD可利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，求AB的长度.（可利用的围墙长度超过6米）
解析：设AB=xm，那么BC=（6－2x）m.
根据题意，得x（6－2x）=4.
解得x1=1，x2=2.
当x=2时，BC=6－2×2=2，
因为矩形的邻边不相等，所以x=2（舍去）.
所以AB的长度为1米.
六、降次法
例6 若x2+x－1=0，则x3+2x2+3的值为
.
解析：因为x2=1－x ，x3=x·x2，
所以x3+2x2+3=x·（1－x）+2x2+3=x－x2+2x2+3=x2+x+3=1+3=4.
七、消元法
例7 已知实数a、b满足a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，则b的值为 .
解析：因为a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，消去a并整理，得b2+5b－6=0.
解得b1=－6，b2=1.
又因为a2=5b+5≥0，所以b≥－1，
所以b=－6（舍去），所以b的值为1.
八、配方法
例8 若a、b为实数，且2a2－2ab+b2+4a+4=0，则a2b +ab2的值为 .
解析：因为2a2－2ab+b2+4a+4=0，
即a2－2ab+b2+a2+4a+4=0，
（a－b）2+（a+2）2=0.
所以a－b=0，a+2=0，所以a=b=－2.
当a=b=－2时，a2b +ab2=（－2）2×（－2）+（－2） ×（－2）2 =－16.
九、换元法
例9 若（a2+b2）2－2（a2+b2）－8=0，则a2+b2的值为 .
解析：设a2+b2=x，
则原方程可化为x2－2x－8=0，
解得x1=4，x2=－2.
又因为a2+b2＞0，所以x=－2（舍去），
所以a2+b2的值为4.
十、因式分解法
例10 解方程（x+1）（x－2）=x+1.
解析：移项，得（x+1）（x－2）－（x+1）=0，
（x+1）（x－2－1）=0，
（x+1）（x－3）=0.
所以x+1=0或x－3=0，
所以x1=－1， x2=3.